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专题 13 椭圆、双曲线中离心率的求法
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题型01 利用a、b、c的齐次式................................................................................................................................1
题型02 利用勾股定理...............................................................................................................................................2
题型03 利用正、余弦定理.......................................................................................................................................3
题型04 利用相似和斜率乘积...................................................................................................................................4
题型05 利用双余弦定理...........................................................................................................................................5
题型06 利用点差法...................................................................................................................................................6
题型07 焦点弦定比分点和焦点三角形双角度.......................................................................................................8
题型08 求离心率的范围.........................................................................................................................................10
题型 01 利用 a、b、c 的齐次式
【解题规律·提分快招】
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式
两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·北京延庆·期末）已知椭圆 的左右焦点为 ， ，上下顶点为
， ，若 为等腰直角三角形，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江苏·期末）在矩形ABCD中， ，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东江门·期末）已知点 分别是双曲线 的左右焦点，以线段 为边作等边三角形 ，线段 的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知O为坐标原点，F是椭圆 的右焦
点，过点F且与长轴垂直的直线交C于A，B两点．若 为直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·贵州·开学考试）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，以 为
直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6．（24-25高三上·云南·期中）已知椭圆的左右焦点分别是 、 ，焦距为 ，若直线 与椭
圆交于 点，且满足 ，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
题型 02 利用勾股定理
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·云南丽江·阶段练习）已知 ， 分别为椭圆E： 的两个焦点，P
是椭圆E上的点， ，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆 的左焦点、右顶点， 满足
，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）设椭圆 （ ）的左焦点为 ， 为坐标原点，过点 且斜率为 的直线与 的一个交点为 （点 在 轴上方），且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）如图， 、 是椭圆 ： 与双曲线 ： 的公共
焦点，A、B分别是 、 在第二、四象限的公共点，若四边形 为矩形，则 的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·天津西青·期末）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过点
的直线与双曲线的左支相交于 两点，若 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知 ， 分别是双曲线 （a， ）的左、右焦点，A为
双曲线的右顶点，线段 的垂直平分线交双曲线于点P，其中 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型 03 利用正、余弦定理
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点，
为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．2．（24-25高三上·吉林四平·阶段练习）已知 是椭圆 的一个焦点， 是 的上顶
点， 的延长线交 于点 ，若 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线 的离心率为 为 的两个焦点，过 作 的一条
渐近线的垂线，垂足为 为坐标原点，则 （ ）
A． B．2 C． D．
4．（24-25高三上·浙江·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，焦距为 ，若
直线 与椭圆交于点 ，满足 ，则离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线 的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为
是 上一点， 为等腰三角形，且外接圆的周长为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）设椭圆 的焦点为 ， 是椭圆上的一点，且
，若 的外接圆和内切圆的半径分别为 ，当 时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型 04 利用相似和斜率乘积
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·吉林·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点
的直线与圆 相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．5
2．（24-25高三上·内蒙古包头·期中）已知 是椭圆 的焦点，若椭圆上存在一点 ，
满足线段 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·山东泰安·期末）已知 分别为椭圆 的左顶点和左焦点， 是
椭圆上关于原点对称的点，若直线 交线段 于 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）已知双曲线 的左顶点为 ，点 均在双
曲线上且关于 轴对称，若直线 的斜率之积为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知点P在双曲线 上，点A与点B是
C上关于原点O对称的两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆 ，过原点斜率不为0的直线交E于A，B
两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线 交椭圆E于另一点D，记直线 ， 的斜率分别为 ，
，若 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型 05 利用双余弦定理
【解题规律·提分快招】圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1.焦点四边形具有中心对称性质。
2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖北·期中）已知椭圆 为椭圆的左右焦点， 为椭圆上一点，
连接 并延长交椭圆于另一点 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知 ， 分别为双曲线 （ ， ）的左、
右焦点，P为第一象限内一点，且满足 ， ，线段 与双曲线C交于点Q，若
，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）设 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为
，点 在 的右支上，线段 与 轴交于点 ， ．过 作 ，垂足为 ，线
段 交 于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．2
4．（24-25高三上·四川泸州·期末）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点
在 上，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知 为平行四边形 的边 的中点，以B，E为焦点的椭圆
过点A，D，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
题型 06 利用点差法
【解题规律·提分快招】
中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线l交于AB两点，M为AB中点，且 与 斜率存在时，则 ；（焦点
在x轴上时），当焦点在 轴上时，
若AB过椭圆的中心，P为椭圆上异于AB任意一点， （焦点在x轴上时），当焦点在
轴上时，
下述证明均选择焦点在x轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设 ， ，因为AB过原点，由对称性可知，点 ，所以
y −y y +y
y
2
−y
2
k ⋅k = 0 1 ⋅ 0 1 = 0 1
PA PB x −x x +x x −x
0 1 0 1 0 2 1 2 ．又因为点 ， 在椭圆上，所以有
x y
{
2 2
0 0
+ =1(1)¿¿¿¿
2 2
a b
．
y
0
2
−y
1
2 b2 b2
=− −
两式相减得 x 0 2 −x 1 2 a2 ，所以 k PA ⋅k PB = a2 ．
， ， 则椭圆 两式相减得
中点弦问题证明：设
．2、双曲线中焦点在 轴上为 ，焦点在 轴上为 ，
3、设直线 与抛物线 相交所得的弦 的中点坐标为 ，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知椭圆E： 的右焦点为 ，过点F
的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·广西钦州·阶段练习）已知斜率为 的直线与双曲线 交于
两点，若 为线段 中点且 （ 为坐标原点），则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（24-25高三上·山西太原·期末）已知直线 与双曲线 相交于 、
两个不同点，点 是 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两
点，线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知椭圆 的右焦点和上顶点分别为点
和点A，直线 交椭圆于P，Q两点，若F恰好为 的重心，则椭圆的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知两点 在双曲线C： 的右支上，点M与点N关于原点对称， 交y轴于点T，若 ， ，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
题型 07 焦点弦定比分点和焦点三角形双角度
【解题规律·提分快招】
一、椭圆
1、已知椭圆方程为 ,两焦点分别为 ,
设焦点三角形 , ,则椭圆的离心率
以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点
2、
, 则
3、点 是椭圆的焦点,过 的弦 与椭圆焦点所在轴的夹角为 为直线 的斜率,且.
,则
轴上时,
当曲线焦点在
注: 或者 而不是 或
二、双曲线中
1、已知双曲线方程为 两焦点分别为 ,设焦点三角形,则
2、以双曲线 的两个焦点 及双曲线上任意一点 除实轴上两个端点外)为
顶点的 ,则离心率
3、点 是双曲线焦点,过 弦 与双曲线焦点所在轴夹角为 为直线 斜率,
,则 ,当曲线焦点在 轴上时,
注: 或者 而不是 或
【典例训练】
一、单选题
1.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点M在E上， 与x轴垂直， ，则
E的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
2.（23-24高三下·四川成都·开学考试）已知F ，F 分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且
1 2
π π π
FPF ，设 ，当 的范围为 , 时，双曲线C离心率的范围为（ ）
1 2 3 PFF 12 6
1 2
6 6 6
A． 2 , 3 B． 1, 2 C． (1, 3) D． 2 ,2
3．已知双曲线 的右焦点为F且斜率为 的直线交C于A、B两点，若
，则C的离心率为
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于
两点．若 ，则
A．1 B． C． D．2x2 y2
5.（23-24高三下·山西长治·模拟）已知椭圆C： 1（ ）的左、右焦点分别为 , ，P为
a2 b2 ab0 F
1
F
2
C上一点，且PFF 40，PF F 60，则C的离心率等于（ ）
1 2 2 1
|PF | |PF | 1 sin20sin40
A． 2 B． 2 C． D．
|FF | 2a 2sin40 sin40sin60
1 2
二、填空题
6.设 、 是椭圆 的左、右焦点，过 且斜率为 的直线l与椭圆C交于A、B
两点， ，则椭圆C的离心率为_______.
题型 08 求离心率的范围
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 是椭圆 的左、右焦点，若 上存在不同
的两点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·浙江台州·期中）椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在
点 ，使 ，则椭圆离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，
若C上存在一点P，使得 ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点
， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．5．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知 的三个顶点都在椭圆 ： （ ）上，其中
为左顶点， 为上顶点，若以 为顶角的等腰三角形 恰好有3个，则 的离心率的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线 的焦点在圆 上，且圆 与
直线 有公共点，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点
在 的左支上，当 取最大值 时， 的离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）双曲线 的右顶点为 在 轴上，若 上
存在一点 （异于点 ）使得 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ，
，点 是 上一点，若 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·江苏常州·期中）设双曲线 ： 的右焦点为 ，双曲线 上的两
点 关于原点对称，且满足 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．一、单选题
1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
过 且斜率为 的直线交 的右支于点 ，且 ，则 的离心率等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，
点 为 在第一象限上的一点.若 为等腰三角形，且 ，则 的离心率为（ ）
A． 或 B．2或 C．2或 D． 或
3．（2024·全国·模拟预测）设椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，若椭圆上一点
P，使得 ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线 的离心率为2，其左右焦点分别为 ，
，过点 的直线与双曲线左支交于 ， 两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过
作 轴的垂线与椭圆 交于 ， 两点，若 为钝角三角形，则离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．7．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线 的左焦点为 为坐标原点，
若在 的右支上存在关于 轴对称的两点 ，使得 为正三角形，且 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作
倾斜角为 的直线与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（23-24高三上·浙江宁波·期末）过双曲线 内一点 斜率为 的直线交双
曲线于 两点，弦 恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别 ， .A是
C上的一点（在第一象限），直线 与y 轴的负半轴交于点B，若 ，且 ，则双曲
线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·天津南开·期末）过双曲线 的左焦点 作直线与它的两条渐近线
分别交于 ， 两点，且 ， ， 是坐标原点，则该双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
12．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知双曲线 的焦点为 ，以 为直径的圆与双曲线
的一个交点为 ，且有 ，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C．2 D．
13．（2024·山西晋中·三模）已知双曲线 的左焦点为 ，过点 且斜率为 的
直线与 的两条渐近线分别交于点 ，且 分别位于第二、三象限，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
为 所在平面内一点，线段 分别与 交于 两点，若 为 中点， 为 靠近 端的四等
分点，则 的离心率的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
15．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知 是双曲线 的左､右焦点，以 为圆心，
为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点，若 ，则双曲线的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与
椭圆 交于 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，抛
物线 ： ，椭圆 与抛物线 相交于不同的两点 ，且四边形 的外接圆直径为
，若 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 ，
，过点 的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且 .若过原点
O与点M的直线的斜率不小于 ，则双曲线E的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
19．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 作
轴垂线交椭圆于 ，若 ，则该椭圆的离心率是 .
20．（2025·吉林·二模）已知椭圆 的上顶点为A，点 均在C上，且关于x轴对
称.若直线 ， 的斜率之积为 ，则椭圆C的离心率为 .
21．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知双曲线 ： （ ， ）的右顶点为 ，以
为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点．若 ，则 的离
心率为 .
22．（2024高三·全国·专题练习）过点 作斜率为 的直线与椭圆 （ ）相交
于 ， 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率等于 ．
23．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为 ，若直
线 与椭圆的一个交点 满足 ，则该椭圆的离心率等于 .
24.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，过 且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两
点，若 是正三角形，则双曲线C的离心率为_______.
25．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，
过 的直线与曲线C的左右两支分别交于点 ，且 ，则曲线C的离心率为
．
26．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线
的两条渐近线的交点分别为 是线段 的中点，若 ，则 的
离心率为 ．
27．（24-25高三上·上海·课后作业）若斜率为 的直线l过双曲线 的上焦点 ，与双
曲线 的上支交于 两点， ，则 的值为 ．
28．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）过双曲线 的上焦点 ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ，直线 与双曲线的上､下两支分别交于 ，若 ，则双曲线的离心率
.
29．（2024·重庆·三模）已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆上存在不在 轴上的两
点A，B满足 ，且 ，则椭圆离心率 的取值范围为 .
