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2.4 一元一次不等式
课堂知识梳理
1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫
做一元一次不等式.
2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以
一个负数时,不等号要改变方向.
3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项; ⑤系数化
为1(不等号的改变问题)
4. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、
“不大于”、“不小于”等含义;
②设: 设出适当的未知数;
③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;
④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1
1．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在x>0， <−1，2x<−2+x，
x
x+ y≥−3，x+1=0，x2>3，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022春·海南海口·七年级琼山中学校考阶段练习）不等式x+2≥3的解集在数轴上表
示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个
不等式可以是（ ）
1A．x−2<0 B．x−2>0 C．x+2<0 D．x+2>0
4．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，
如果商店要以不低于5%的利润销售，最低可打（ ）折出售．
A．7折 B．7.5折 C．8折 D．8.5折
x−1 3x+2
5．下列解不等式 − ≤1的过程中，出现错误的是（ ）
3 4
A．去分母，得4(x−1)−3(3x+2)≤12 B．去括号，得4x−4−9x−6≤12
22
C．移项，合并同类项，得−5x≤22 D．系数化为1，得x≤−
5
6．某苏州特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，
若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式
（ ）
1
A．150x−100≥100×5% B．150× x−100≤100×5%
10
1 1
C．150× x−100≥100×5% D．150× x−100>100×5%
10 10
7．已知关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．-7<a≤-5 B．-7<a<-5 C．-7≤a<-5 D．a≤-5
8．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．
不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．
x≤5
不等式的解集为 ．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是（ ）
A．-2x≥-10 B．2x≤10 C．-2x≥10 D．-2x≤-10
9．某种出租车的收费标准是：起步价5元（行驶距离不超过3km，只需付5元车费）；超
过3km以后，每增加1km，加收1.2元（不足1km按1km计）．小明乘这种出租车从甲地
到乙地共支付车费11元．设从甲地到乙地的车程为xkm，则x的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
10．一张试卷共20道题，做对一题得5分，做错或不做一题扣3分，小辛做了全部试题，若
要成绩及格(注：60分及以上成绩为及格)，那么小辛至少要做对______道题．
11．（2022秋·湖南益阳·八年级校联考期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，
一边靠墙，墙的长度 AC=30m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长
2x（m）的取值范围为（ ）
10 10 10
A．0≤x≤5 B．x≥ C．0≤x≤ D． ≤x≤5
3 3 3
12．商家花费960元购进某种水果80千克，在运输和销售过程中有20%的水果受损耗．为
了避免亏本，售价至少定为______元/千克．
13．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）不等式2x−6≤5的最大整数解是________．
14．（2022秋·北京·九年级校考期中）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，
D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变
的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车数量
260 330 300 360 240
（辆）
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是
_______．
15．已知(b+1)x|b+1|<−3是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不
等式．
16．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）求满足3(x+1)>5x+7的最大整数解．
17．（2023春·浙江·八年级开学考试）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
(1)9x−2≤7x+3
3x−1 x−3
(2) ≥ +1
3 2
18.有A、B两种型号呼吸机，若购买6台A型呼吸机和2台B型呼吸机共需12万元．若购买3
台A型呼吸机和5台B型呼吸机共需10.8万元．
(1)求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？
(2)采购员想采购A、B两种型号呼吸机共30台，预计总费用低于40万元，请问A型号呼吸
机最多购买几台？
培优第二阶——拓展培优练
19．平面直角坐标系内，点P（2m+1，m-3）不可能在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
20．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到
前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所
示：
4接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁
21．（2023春·湖南常德·八年级校考期末）关于x、y的二元一次方程组¿的解满足不等式x
＋y＞0，a的取值范围是（ ）
A．a＜－1 B．a＜1 C．a＞－1 D．a＞1
1+x 1+2x
22．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）我们知道不等式 ＜ +1的解集是
2 3
1+(3x−1) 1+2(3x−1)
x＞−5，则不等式 ＜ +1的解集是（ ）
2 3
4 4
A．x＞− B．x＜− C．x＞−2 D．x＜−2
3 3
23．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，
可又不想静静地等在A站，他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，
发现他与公交车的距离为720m（如图）．此时有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交
站之间的距离最大为（ ）
A．240m B．300m C．320m D．360m
24．某车工计划在15天内至少加工零件408个，前3天每天加工零件24个．该车工若在
规定的时间内完成任务，此后平均每天需要加工零件（ ）
A．最少28个 B．最少29个 C．最多28个 D．最多29个
25．定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b=a(a−b)+1，如：
2⊕5=2(2−5)+1=−5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5x 2x−7a a
26．已知关于x的不等式 <7的解也是不等式 > −1的解，则常数a的取值范围
a 5 2
是_____．
27．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市安吉路实验学校校考期中）小聪去商店买笔记本和
钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元．若笔记本和钢笔都购买，且
笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有___________种．
28．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）某次体育测试共有100名同学参与，在测试
（满分20分．分值为整数）中，有5名学生申请免考（得分16分）．要使得平均分达到
19.5，至少需要________名学生满分．
29．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）美术社团班的甲、乙、丙同学，
准备到文具店购买画笔，该文具店a种画笔可供选择， 每种画笔有粗、中、细三种型号，
且每种画笔的三种型号的价格每支分别为8元、m元、n元，其中 3≤n<m<8，m，n
均为整数，三人每种画笔的每种型号都选择了一支， 对于每一种画笔， 三人选择的型号
也各不相同．结账时，甲花费了85元，乙和丙两人共花费了110元，则甲买细型号的画笔
上共花费__________元．
30．清明将至，前去扫墓的人逐渐增多．某花店购进白菊，白百合，马蹄莲共计m捆．白
1 1
菊每捆20支，白百合每捆12支，马蹄莲每捆10支．现取出白菊的 ，白百合的 ，马蹄莲
2 3
1
的 ，全部用于扎成A、B两款花束销售．其中A款花束白菊2支，白百合3支，马蹄莲1支，
4
B款花束白菊5支，马蹄莲2支．如此取出后剩下的白百合支数不多于马蹄莲支数，则购进
的白菊捆数与白百合捆数之比至少为______．
31．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）规定：[k,b]是一次函数y=kx+b（a，b为实
数，且k≠0）的“特征数”．若“特征数”为[m+1,m2−4]的一次函数是正比例函数，且
y随x的增大而减小，则点(3+2m,1−m)所在的象限是第_________象限．
32．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x、y的二元一次方程组¿（k为常数）.
(1)若该方程组的解x、y满足4x−y<4，求k的取值范围；
(2)若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤6，直接写出该方程组的解.
633．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量
和租金如表：
A B
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
某校根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，送七年级师生到基地参如社会实践活动，
设租用B型客车x辆，根据要求回答下列问题：
(1)用含x的式子填表：
车辆数（辆） 载客量
A
B x
(2)若要保证租车费用不超过1800元，求x的最小值，并写出此时的租车方案和租车费用．
34.某超市对 A，B 两种商品开展春节促销活动，活动方案有如下两种：
商品 A B
标价（单位：元） 110 160
方案
每件商品出售价格 按标价打7折 按标价打 a 折
一
方案 若所购商品超过10件（不同商品可累计）时，每件商品均按标价打8
二 折后出售
（同一种商品不可同时参与两种活动）
(1)某单位购买A商品5件，B 商品4件，共花费961元，求a的值；
(2)在（1）的条件下，若某单位购买A商品x件，购买B商品的件数比A商品件数的2倍还
多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由．
735．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）疫情期间某药店购进一批N95口罩，其中10
只/包与20只/包的口罩共有500包，已知10只/包的N95口罩进价为30元/包，20只/包的
N95口罩进价为55元/包．
(1)若购进这两种规格的N95口罩共花了2万元，请分别求出购进10只/包与20只/包口罩的
包数．
(2)该药店计划将10只/包的口罩销售价定为45元/包，20只/包的口罩销售价定为85元/包，
若购进的500包这两种规格的N95口罩全部售完，且至少盈利9000元，求购进的20只/包
的口罩至少多少包?
36．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段
函数，函数y=¿就是分段函数，我们把这个分段函数图像记为图象G．
(1)当m=0时，在平面直角坐标系中，画出图象G；
(2)当m=0时，结合图像G，回答下面问题：
①当函数值y=−4时，求自变量x的值；
②若M(b−1,y )和N(b,y )在图象G，且y <y ，则b的取值范围是___________．
1 2 1 2
(3)当−4≤x≤2时，m−4≤ y<0，求m的取值范围．
( 1 ) ( 1 )
(4)线段AB端点坐标分别为A −2, m ，B 2,− m ，当图象G与线段AB有一个公共
2 2
8点时，则m的取值范围是___________．
培优第三阶——中考沙场点兵
37．（2022·吉林·统考中考真题）y与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A．y−2>0 B．y−2<0 C．y−2≥0 D．y−2≤0
38．（2022·辽宁大连·统考中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2 B．x<−2 C．x>2 D．x<2
1 1
39．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： (x−3)< −2x ．
2 3
40．（2022·山东聊城·统考中考真题）关于x，y的方程组¿的解中x与y的和不小于5，则k
的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
41．（2022·四川雅安·统考中考真题）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（
）
A． B．
C． D．
1 3
42．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式 x−1≤7− x的解集在数轴上表示为（ ）
2 2
A． B．
9C． D．
43．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋
3
b＞0的不等式的解集为________．
2
44．（2022·北京·统考中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的
包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：
包裹编号 I号产品重量/吨 II号产品重量/吨 包裹的重量/吨
A 5 1 6
B 3 2 5
C 2 3 5
D 4 3 7
E 3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案
________（写出要装运包裹的编号）；
（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满
足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．
45．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中
A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，
A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这
个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品
至少要生产多少件？
1046．（2022·广西梧州·统考中考真题）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期
短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg的新鲜龙眼在无
损耗的情况下可以加工成1kg的龙眼干．
(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不
低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的
利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价
格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出100kg，超出部分平均售价是5元/
kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有akg新鲜龙眼，他全部加工
成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的
函数关系式．
11
