文档内容
专题 04 解三角形
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
正弦定 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
理的常 (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
见变形 (4)＝.
【考点2】余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.
【考点3】三角形的面积公式
(1)S
△ABC
＝ah
a
(h
a
为边a上的高)；
(2)S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
△ABC
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
三、解法解密
解法1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
解法2．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边
之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图
形恰当选择面积公式是解题的关键．
解法3．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
解法4. 以平面几何为载体的解三角形问题
解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多
个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形
中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于)确定角或边的范围。
四、考点解密
题型一:正、余弦定理的应用
例1．（1）、（2022·全国·模拟预测（文））在 中， ，则
（ ）A． B． C． D．
（2）、（2019·全国高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－
bsinB=4csinC，cosA=－ ，则 =（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式训练1-1】、在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，
，则角 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2022·山东济南·模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，c是a，b的等比中项，且 的面积为 ，则 _________．例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已
知 ， ， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
【变式训练2-1】、（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测）已知 的内角 的对边分别为
,且 .
(1)求 的值;
(2)给出以下三个条件:条件①: ;条件②: , ;条件③: .这三个条件中
仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
（i）求 的值;
（ii）求 的角平分线 的长.题型二:判断三角形的形状
例3．（1）、（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（理））在 中， ，
则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
（2）、（2022·浙江省江山中学模拟预测）非直角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【变式训练3-1】、（2018·广东·珠海市第二中学高二期中（理））在 中，若 ，则
为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【变式训练3-2】、（2022·山西大附中高一阶段练习）在 中，若 ，则 的形
状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形D．等边三角形题型三:三角形中的范围与最值问题
例3．（1）、（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知在 中， ．
若 与 的内角平分线交于点 ， 的外接圆半径为 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、已知在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（3）、（2022·全国·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中， ， ，
， ，则四边形ABCD面积的最大值为______．
【变式训练4-1】、（2022·安徽省舒城中学三模（文））我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边
求三角形面积的“三斜求积”，设 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则
“三斜求积”公式为 ，若 ， ，则用“三斜求
积”公式求得 的面积为（ ）
A． B． C． D．1【变式训练4-2】、已知 的面积为 ,且满足 ，则边 的最小值为_______.
【变式训练4-3】、（2022·江苏·苏州外国语学校模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为
为 的面积，且 ，则 的取值范围___________.
【变式训练4-4】、（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（文））在三角形 中，角A，B，C所对的
边分别为a，b，c，若 ，则该三角形周长的最大值为___________.题型四:解三角形的实际应用
例5．（1）、（2022·吉林长春·模拟预测（文））如图，从高为h的气球（A）上测量待建规划铁桥
（BC）的长，如果测得桥头（B）的俯角是 ，桥头（C）的俯角是 ，则桥BC的长为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2019·陕西·安康市教学研究室二模（理））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到
A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 （即 ）的方向上，行驶1公里后到达B处，测得山
顶D在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 ____________m．【变式训练5-1】、（2022·全国·模拟预测（文））某学习小组的学习实践活动是测量图示塔 的高度．
他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点 ， ，测得 ， ，且基点 ， 间
的距离为 ，同时在点 处测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】、（2022·浙江·镇海中学模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历
史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑
开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，阳
光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为 ），若伞柄底正好位
于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______________．五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·河北·模拟预测（理））已知 的内角 所对的边分别为 ， 的面积为 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知 中，设角 、B、C所对的边分别为a、b、c，
的面积为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，若 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2022·四川·模拟预测（文））在 中，角 的对边分别为 ，已知三个向量
， 共线，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是 的直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2021·山东·日照神州天立高级中学）在△ 中， ，则△ 的形状是
（ ）.
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
6．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
且 ，则 是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
7．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知 的内角 所对的边分别为 ，且
，若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
8．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 ABC的面积为____△_______．
△9．（2022·江苏南京·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，
，则A＝____________.
10．（2022·河南濮阳·模拟预测（理））已知a,b,c分别为 的三个内角A,B,C的对边,且
,则 的最小值为______．
11．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
满足 ，若 ，则 的取值范围是__________．
12．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））设 内角 所对边分别为 ，
已知 ， ．
(1)若 ，求 的周长；
(2)若 边的中点为 ，且 ，求 的面积．
13．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知在平面四边形ABCD中， ，
，连接AC．
(1)若 的面积为2，求 的周长；
(2)若 ， ，求 和 ．14．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理）） 的内角 所对边分别为 ， ， ，
已知 ， .
(1)若 ，求 的周长；
(2)若 边的中点为 ，求中线 的最大值.
15．（2022·河北·模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足
，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
16．（2022·山东济南·模拟预测）已知 ．
(1)求 在 上的单调递增区间；
(2)设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，求 的面积．B组 能力提升
17．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·模拟预测）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·吉林长春·模拟预测）文化广场原名地质宫广场，是长春市著名的城市广场，历史上地质宫广
场曾被规划为伪满洲国的国都广场．文化广场以新民主大街道路中心线至地质宫广场主楼中央为南北主轴，
广场的中央是太阳鸟雕塑塔，在地质宫（现为吉林大学地质博物馆）主楼辉映下显得十分壮观．现某兴趣
小组准备在文化广场上对中央太阳鸟雕塑塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为太阳鸟雕塑
最顶端，B为太阳鸟雕塑塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D
两点．测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有 、 、 、 、
，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出太阳鸟雕塑塔高度AB的是（ ）
A．m、 、 、 B．m、 、 、
C．m、 、 、 D．m、 、 、
20．（2022·江西师大附中三模（理））云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具
有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12
，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，
在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（ ）
（ ， ，精确到1 ）A．42 B．45 C．51 D．57
21．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在 中， ，点D在边BC上，若
，则 的最大值为________．
22．（2022·江西萍乡·三模（理））已知 分别为锐角 的内角 的对边，若 ，
则 面积的最大值为_________．
23．（2022·河南郑州·三模（理））在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．若
， ，则△ 面积的最小值是______．C组 真题实战练
24．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
25．（2017·全国·高考真题（文）） ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知
，a=2△，c= ，则C=
A． B． C． D．
26．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题
是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的
高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的
差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
27．（2014·四川·高考真题（文））如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 ，
，此时气球的高是
，则河流的宽度BC等于（ ）
A． B． C． D．
28．（2011·辽宁·高考真题（理）） ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin
AsinB+bcos2A= ，则 （ ）A． B． C． D．
29．（2021·全国·高考真题（理））记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 ________．
30．（2018·江苏·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分
线交 于点D，且 ，则 的最小值为________．
31．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
32．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得
AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________．
33．（2014·全国·高考真题（文））如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点，
从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得
．已知山高 ，则山高 __________ ．
35．（2019·全国·高考真题（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．36．（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
37．（2021·全国·高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
