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专题 04 解三角形
一、单选题
1．（全国甲卷数学（理）（文））在 中内角 所对边分别为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理得 ，再利用余弦定理有 ，再利用正弦定理得到
的值，最后代入计算即可.
【详解】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
二、填空题
2．（新高考上海卷）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， ,存在点A满足
，则 (精确到0.1度)【答案】
【分析】设 ，在 和 中分别利用正弦定理得到 ，
，两式相除即可得到答案.
【详解】设 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ’
即 ①
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，即 ，②
因为 ， 得 ，
利用计算器即可得 ，
故答案为： .
三、解答题3．（新课标全国Ⅰ卷）记 内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出 ，最后结合已知 得 的值即
可；
（2）首先求出 ，然后由正弦定理可将 均用含有 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程
求解.
【详解】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
4．（新课标全国Ⅱ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
5．（新高考北京卷）在△ABC中， ，A为钝角， ．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．
① ；② ；③ ．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) ；(2)选择①无解；选择②和③ ABC面积均为 .
△
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得 ，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出 ，再代
入式子得 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先
得到 ，再利用正弦定理得到 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 ，最后利用三角形
面积公式即可；
【详解】（1）由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，则 ，解得 ，
因为 为钝角，则 .
（2）选择① ，则 ，因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；
选择② ，因为 为三角形内角，则 ，
则代入 得 ，解得 ，
,则 .
选择③ ，则有 ，解得 ，
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
因为 为三角形内角，则 ，
则
，
则
6．（新高考天津卷）在 中， ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1） ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出 ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出 ，则得到 ；
（3）法一：根据大边对大角确定 为锐角，则得到 ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）设 ， ，则根据余弦定理得 ，
即 ，解得 （负舍）；
则 .
（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，
再根据正弦定理得 ，即 ，解得 ，
法二：由余弦定理得 ，
因为 ，则
（3）法一：因为 ，且 ，所以 ，
由（2）法一知 ，
因为 ，则 ，所以 ，
则 ，
.
法二： ，
则 ，因为 为三角形内角，所以 ，
所以
一、单选题
1．（2024·江西赣州·二模）记 的内角A，B，C的对边分别为 ， ， ，若 ， ，
则A＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得 ，又余弦定理可得 ，结合 ，即可求解
【详解】由 有 ，即 ，
又因为 ，上式可化为 ，
又余弦定理得 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：A
2．（2024·山西太原·三模）已知 中， 是 的中点，且 ，则 面积的最大
值（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用中线得到 ，结合不等式得出 ，进而得到面积的最大值.
【详解】因为 所以 ，因为 是中线，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立；
面积为 .
故选：A
3．（2024·贵州遵义·三模）在 中，角 的对边分别为 ，D为 的中点，已知 ，
，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理化边为角求出角 ，在向量化求出边 ，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，D为 的中点，则 ，
则 ，
即 ，解得 （ 舍去），
所以 .故选：D.
4．（2024·宁夏银川·三模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，若
有两解，则c的取值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由题意可得 ，计算即可得.
【详解】由题意可得 ，即 .
故选：A.
5．（2024·河北秦皇岛·二模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化边为角，得出 ，再利用余弦定理求出角 即可得解.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，则 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：C.
6．（2024·北京东城·二模）在 中， ， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】由题意可得： ，结合正弦定理运算求解.
【详解】由题意可得： ，
由正弦定理 可得 .
故选：D.
7．（2024·海南海口·二模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．-2
【答案】B
【分析】利用余弦定理将条件式化简得 ，再根据正弦定理和三角变换可得
，求得答案.
【详解】由 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
由正弦定理得 ，即 ，
化简得 ，即得 .
故选：B.
8．（2024·河南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理化简已知式可得 ，由余弦定理即可求出 ，由正弦定理可求出 的
值.
【详解】由 及正弦定理，得 ，可得 ，
由余弦定理得 ，又 ，
所以 ．又 ， ，由 ，
得 ．
故选：D．
9．（2024·青海·二模）在 中，角 的对边分别是 ，若 ，
，则（ ）
A． B．
C． D． 的面积为
【答案】C
【分析】根据 及余弦定理可判断A；根据 及正弦定理可判
断B；由 的
值及同角三角函数的基本关系可求 ， ，根据正弦定理求出 ，代入 求出 可
判断C；
根据三角形面积公式可判断D.
【详解】由余弦定理可得 ，解得 ，故A错误；由 及正弦定理，可得 ,
化简可得 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 且 ，代入 ，
可得 ，解得 ， .
因为 ， ， ，
所以由正弦定理可得 ，
由 ，可得 ，
化简可得 ，解得 或 （舍），故C正确；
，故D错误.
故选：C.
10．（2024·安徽合肥·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角 的大小，再由余弦定
理及基本不等式可得 的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值．
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
整理可得 ，
即 ，
在三角形中 ， ，
即 ， ,可得 ；
由余弦定理可得 ，当且仅当 时取等号，
而 ，
所以 ，
所以 ．
即该三角形的面积的最大值为 ．
故选：A．
11．（2024·广东韶关·二模）在 中， ．若 的最长边的长为 ．则最短边
的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】求出 ， 为钝角，故 ，确定 ，求出 ，由正弦定理求出答案.
【详解】因为 ，
又 ，故 为锐角， 为钝角，故 ，
因为 在 上单调递增， ，故 ，所以 ，
又 ， ，解得 ，同理可得 ，由正弦定理得 ，即 ，解得 .
故选：A
12．（2024·湖北黄石·三模）若 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据正弦定理和比例的性质可得 ，可得结果.
【详解】在 中， ，所以 ，所以 ，
由正弦定理以及比例的性质可得： .
故选：B
二、多选题
13．（2022·广东佛山·一模）在 中， 所对的边为 ，设 边上的中点为 ， 的面
积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
【答案】ABC
【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模的计算公式判
断C选项.
【详解】选项A，若 ，由余弦定理 ，得 ，所以 ，则三角形面积 ，A正确；
选项B，由基本不等式可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
由余弦定理可得 ，
则 ，B正确；
选项C，因为 边上的中点为 ，所以 ，
而 ，即 ，则 ，
所以
，故C正确；
选项D，因为 ，即 ，
所以由余弦定理得 ，
又 ，且函数 在 上单调递减，所以 ，D错误.
故选：ABC.
14．（2024·广东广州·二模）在梯形 中， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】在 中由正弦定理求解 判断A；利用两角和差公式求解 判断B；利用向量数量
积计算 判断C；利用数量积计算 判断D．【详解】在 中， ，
则 ，
由正弦定理知 ，
即 ，故A正确；
，
，
，故B正确；
，故C错误；
，故 ，即 ，故D正确．
故选：ABD
15．（2024·浙江·三模）已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，下列
结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解
C．当 时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通
过余弦定理及 可得 或 ，即可判断C；通过求 的取值范围 ，并将
即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以由 及正弦定理得， ，
由诱导公式得， ，
因为 ，故 ，所以 ，
化解得 ，即 ，
所以 或 ，即 （舍）或 ，故A正确；
对于B，由余弦定理得 ，即 ，得 ，由 ，所以 (负值舍)，即 有一解，故B错误；
对于C，因为 ，两边平方得 ，
由余弦定理得 ，
由两式消 得， ，解得 或 ，
由 解得 ，
由 解得 ;
故 为直角三角形，故C正确；
对于D，因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
16．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 的
面积为 .则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的取值范围为
C．若 ，则 的外接圆的半径为2D．若 ，则 的面积的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即
可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量 表示出
来，结合 的范围即可得解.
【详解】对A：由题意可得 ，由余弦定理可得 ，
即有 ，即 ，
由 ，故 ，即 ，故A正确；
对B：则 ， ，解得 ，故B正确；
对C：由正弦定理可得 ，即 ，故C错误；
对D：若 ，则 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
即
，
由 ，则 ，故 ，故D正确.故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量 表示出来，结
合 的范围即可得解.
17．（2024·新疆·二模）如图，在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且
，D是 外一点且B、D在直线AC异侧， ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A． 是等边三角形
B．若 ，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积的最小值为
D．四边形ABCD面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】由正弦定理的边角互化即可得到 ，从而判断A，由余弦定理即可得到 ，从而判断
B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD.
【详解】 ，
根据正弦定理得 ，
即 ，
，显然 ，则 ，根据题意，有 ，
又 ，可得 ， ， 为等边三角形，故A正确；
， ，在 中， ，当 时， ， ，即 ，
A，B，C，D共圆，B正确．
又 ，
四边形ABCD面积，
， ，
，则 ，
所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误．
当 ，即 时，四边形ABCD面积取最大值 ，故D正确．
故选：ABD．
18．（2024·河北·三模）已知 内角A、B、C的对边分别是a、b、c， ，则（ ）
A． B． 的最小值为3
C．若 为锐角三角形，则 D．若 ， ，则
【答案】BCD
【分析】由 ，得 ，由正弦定理得和余弦定理化简得 ，即可判断A；
将 代入 化简成 ，由基本不等式可得它的最小值，即可判断B；由正弦定理边化
角可得 ，再由 的范围可得 的范围，即可判断C；由正弦定理求出 ，再由余弦定
理可得 ，即可判断D.
【详解】由 ，得 ，由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，
则 ，当 时， ，即 ，
当 时， ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故选项A错误；
由 ，则 ，当且仅当 时，故选项B正确；
在 中， ，由正弦定理，
，
若 为锐角三角形，又 ，则 ，故 ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，故选项C正确；
在 中，由正弦定理 ，又 ， ， ，
得 ，则
由余弦定理， ， 得 ，
整理得 ，解得 ，或 ，
当 时，有 ，又 ，所以 ，
因为 ，则 不成立，故选项D正确.故选：BCD.
三、填空题
19．（2024·湖南长沙·三模）在 ，已知 ， .则 .
【答案】
【分析】先由 可得角 ，由 可得 ，结合角 的
关系，解方程即可得答案.
【详解】设 ， ， ，
由 得 ，所以 .
又 ，因此 ， .
由 ，得 ；
于是 ，
所以 ，
∴ ，即 .
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 或 ，∴ 或 .
又∵ ，∴ ， ， ，则 .故答案为：
20．（2024·四川雅安·三模）已知四边形 中， ，设 与 的
面积分别为 ，则 的最大值为 .
【答案】14
【分析】根据余弦定理可得 ，继而根据面积公式可得表达式，结合二次函数的性质即可
求解最值.
【详解】
四边形 中， ， ，
则 ， ．
在 中，利用余弦定理： ，
所以： ．
在 中，利用余弦定理： ，
所以： ．
所以： ．
则
当 时， 最大值，最大值为14，
故答案为：14．
21．（2024·江西·二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
若 的面积等于 ，则 的周长的最小值为 ．【答案】
【分析】首先由正弦定理、辅助角公式得 ，由三角形面积公式得 ，结合余弦定理以及基本不
等式即可求解.
【详解】由正弦定理结合 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
注意到 ，所以只能 ，解得 ，
若 的面积等于 ，
则 ，解得 ，
在三角形 中，运用余弦定理有 ，
三角形的周长 ，等号成立当且仅当 ，
综上所述，当且仅当三角形 是以顶角 的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为
.
故答案为： .
22．（2024·河南·三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，若
为 中点，则 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理可得 ，即可利用向量的模长求解 .
【详解】由余弦定理， ，将 ， 代入解得 ，因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为：
23．（2024·四川成都·三模） 的内角 的对边分别为 ，若 且 ，则
的值为
【答案】 /
【分析】根据题意，利用正弦定理，求得 ，再由余弦定理，即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
24．（2024·江苏·二模）设钝角 三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 .
【答案】
【分析】利用余弦定理表示出 ，再利用同角三角函数的平方关系，得到 ，建立方程，
求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.
【详解】由余弦定理得， ，
而由 ，得 ，
因为 是钝角三角形，且 ，故A为锐角，所以 ，
所以 ，解得 或 ，当 时，即 ， ，由大边对大角得：最大角为C，
，故C为锐角，不符合题意；
当 时，即 ， ，由大边对大角得：最大角为B，
，故B是钝角，符合题意，
故答案为：
四、解答题
25．（2024·北京·三模）在 中，
(1)求证 为等腰三角形;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一，求b的值.
条件①： 条件②： 的面积为 条件③： 边上的高为3.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦定理及已知可得 ，所以 ，可得结果；
（2）若选择条件①，可得 ，可得 ，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方
关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.
【详解】（1）在 中, ，设 ，
根据余弦定理 ，得 ，整理，得 ，
因为 , 解得 , 所以 ，
所以 为等腰三角形.
（2）若选择条件①：若 ，由（1）可知 ，及 ，
所以 ，
所以 不存在.
若选择条件②: 在 中, 由 ,
由（1） ，
所以 ，
解得 , 即 .
若选择条件③: 在 中, 由 边上的高为3, 得 ，
由 ，解得 .
26．（2024·湖南衡阳·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且
．
(1)求A；(2)如图所示，D为平面上一点，与 构成一个四边形ABDC，且 ，若 ，求AD的最
大值．
【答案】(1) .
(2)4
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果；
（2）方法一：根据题意，分别在 与 中由正弦定理化简，即可得到 ，从而得到结
果；方法二：由余弦定理可得 ，再由正弦定理 代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）方法一：设 ，则：
在 中， ，①，在 中， ，②
： ，所以 ，所以 ，所以AD的最大值是4
解法二：在 中，由余弦定理得， = ，
因为 ，
所以四边形 存在一个外接圆 ，所以圆 的直径为
因为 ，即 ，当AD为圆O直径时取等号，故 的最大值为4.
27．（2024·天津·二模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；(2)若 ，
①求 的值：
②求 的值.
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得 ，由此即可得解；
（2）①结合余弦定理可得 ，结合 即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得
，将 转换为 ，结合两角和的正弦公式即可得解.
【详解】（1）因为 ，利用正弦定理可得：
，
即 .
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，可得 .
（2）①由余弦定理及已知可得：
即 ，又因为 ，所以 ，
联立 或 （舍），②由正弦定理可知： ，
因为 ，则 ，故 为锐角， ，
.
28．（2024·湖南长沙·三模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是边 上的一点，且 平分 ，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得 ，边化角，可得 ，利用
三角恒等变换可求 ；
（2）由已知可得 ，利用 ，可得 ，可求解.
【详解】（1）由题意得 ，所以 .
由正弦定理，得 ，即 .
又 ，所以 ，又 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）由 ，得 ，解得 .
由 ，
得 ，
即 ，所以 .
29．（2024·湖北武汉·二模）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)已知 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得 ，则得到 的大小；
（2）利用正弦定理得到 ，再根据 关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三
角函数的性质即可得到最大值.
【详解】（1）∵ ，
由正弦定理得 ，
，即 ，
所以 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）由正弦定理，得 ，
∴
，又∵ ， 为锐角，∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 .
30．（2024·福建漳州·三模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 成等差数列，求 的面积；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据等差数列的性质得到 ，再利用余弦定理求得 的值，进而利用三角形的面积
公式求解；
（2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解.
【详解】（1）因为 成等差数列，所以 ，
又 ，所以 ①，
在 中，由余弦定理可得： ，
又 ，所以 ②，
由①②得 ，
所以 的面积 .
（2）因为 ，所以 ，
又因为 且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .
31．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知 的内角 的对边分别为 的面积为
．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的周长为5，设 为边BC中点，求AD.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出 ，再向量化即可得解.
【详解】（1）依题意， ，
所以 ，
由正弦定理可得， ，
由余弦定理， ，解得 ，
因为 ，所以 ；
（2）依题意， ，
因为 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
32．（2024·河北保定·二模）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为 边的中点，求 的长.
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解；
（2）根据余弦定理求出 边，再根据向量运算求 .
【详解】（1）因为 ，
根据正弦定理，得 ，
化简得 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ．因为 为 的中线，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .
33．（2024·江苏南通·三模）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 边上的高为1，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得 ，则得到 的大小；
（2）利用三角形面积公式得 ，再结合余弦定理得 的值，则得到其周长.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理，得 ，
即 ，即 .
因为在 中， ，
所以 .
又因为 ，所以 .
（2）因为 的面积为 ，
所以 ，得 .由 ，即 ，
所以 .由余弦定理，得 ，即 ，
化简得 ，所以 ，即 ，
所以 的周长为 .
34．（2024·江西鹰潭·二模） 的内角 的对边分别为 ， ， ，满足 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到 ，即可得证；
（2）由（1）知 且 ，利用正弦定理得到 ，结合基本不等
式，即可求解.
【详解】（1）证明：由 ，可得 且 ，
所以 ，
因为 为三角形的内角，可得 ，即 ，得证.
（2）解：由（1）知 ，且 ，
所以所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为
