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高中数学二轮复习讲义——选填题部分
第 7 讲 解三角形
解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形
的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇
命题成为高考的热点．
题型一、正、余弦定理基础
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（ ）
sinA cosB cosC
A．若 = = ，则A＝90°
a b c
a b+c
B． =
sinA sinB+sinC
C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinB
D．若sin2A＝sin2B，则a＝b
2
2．在△ABC中，cosC= ，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）
3
A．√5 B．2√5 C．4√5 D．8√5
1 b
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=− ，则 =（ ）
4 c
A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，acosc+√3asinC−b−c=0，则A＝（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（ ）
3π π π π
A． B． C． D．
4 3 4 6tanA 2c
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2√3，c=2√2则1+ = ，则∠C＝
tanB b
．
题型二、角平分线问题
1
1．△ABC中，cosA= ，AB＝4，AC＝2，则∠A的角平分线AD的长为（ ）
8
A．2√2 B．2√3 C．2 D．1
π
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A= ，a＝4√7，角A的平分线交边BC于点D，
3
其中AD＝3√3，则S△ABC ＝ ．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD
＝1，则4a+c的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．7
题型三、中位线问题
1．△ABC中，A，B，C的对边分别记a，b，c，若b＝5，c＝6，BC边上的中线AD＝3，则 → • → （
AB AC=
）
25 25
A．15 B．﹣15 C． D．−
2 2
2．在锐角△ABC中，D是线段BC的中点，若AD＝2，BD=√2，∠BAD＝30°，则角B＝ ，AC＝
．
3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是BC的中点，且AD=√10，若S△ABC ＝4，b＞
b−csinA
c，且 =cosC，则B的值为（ ）
a
A．60° B．120° C．45° D．90°
题型四、周长、面积问题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC
的面积为 ．
2．△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 b2＝accosB，D 为△ABC 所在平面上一点，且CA⊥CD，CA＝CD，BC＝BD，AD＝2，则△ABD的面积为 ．
3√3
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足面积为 ，√3sinC﹣cosB＝cos（A﹣
2
C），a=√7，则△ABC的周长为（ ）
A．2+√7 B．3+√7 C．4+√7 D．5+√7
题型五、最值问题
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣b）•sinA＝csinC﹣bsinB，若△ABC的面积
为3√3，则△ABC的周长的最小值为（ ）
A．4√3 B．3+4√3 C．6√3 D．3+6√3
2a−c cosC
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 = ，b＝4，则△ABC的面积的最大值
b cosB
为（ ）
A．4√3 B．2√3 C．2 D．√3
3．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b （4，6），sin2A＝sinC，则c的取值范围为
． ∈
a
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcosC＝0，则当cosB取最小值时， =
c
（ ）
√3 √2
A．√2 B．√3 C． D．
3 2
3
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA= c，则tan（A﹣B）的最大值
5
为（ ）
3 1 3 3
A． B． C． D．
5 3 8 4
tanA 2c−b
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足 = ，则
tanB b
△ABC面积的最大值为 ．
题型六、取值范围问题
sinA
1．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2﹣b2+ac＝0，则 的取值范围是（ ）
sinB√2 √2 √3 √3 √2
A．(0， ) B．( ， ) C．(√2，√3) D．( ， )
2 2 2 3 2
2．设锐角△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若√3（acosB+bcosA）＝2csinC，b＝1，则c
的取值范围为 ．
3．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，
若a=√3，则b2+c2的取值范围是 ．
4．已知△ABC的三个内角；A，B，C所对边分别为；a，b，c，若b2+c2＜a2，且cos2A﹣3sinA+1＝0，则
√3
sin（C﹣A）+ cos（2A﹣B）的取值范围为（ ）
2
1 √3 1 √3 √3 2 1
A．（− ，− ） B．（− ，− ] C．[0， ] D．（− ，− ）
2 4 2 4 4 3 2
1 1
5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则 − 的取值
tanA tanB
范围为 ．
6．已知△ABC的周长为6，且cos2B+2sinAsinC＝1，则 → → 的取值范围是 ．
BA⋅BC
题型七、解三角形实际问题
1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏
东60°，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°
2．如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了100米到山腰B，在B
处测得山顶P的仰角为75°，则山高h＝ 2 5√6 ．
27．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有
世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得CD=35m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A、B两点的距
离为 m．
一、单选题
1．在△ABC中，a+c=2b，则下列结论不成立的是（ ）
A−C A+C
A．sinA+sinC=2sinB B．cos =2cos
2 2
A C A C A−C
C．sin2 +sin2 =cosB D．sin2 −sin2 =sin
2 2 2 2 2
π
2．在 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B= ,a=4，且该三角形有两解，则b的范围是
3
（ ）
A． B．
(2√3,+∞) (2√3,4)
C． D．
(0,4) (3√3,4)
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“acosA=bcosB”是“△ABC为等腰三角
形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”
之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC=30°，∠DBC=45°，
AB=14米，则岳阳楼的高度CD约（ ）（√2≈1.414，√3≈1.732）A．18米 B．19米 C．20米 D．21米
5．如图，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，BC，AB边上的两条中线AD，CE相交于点
P，则cos∠DPE=（ ）
3√21 √21 1 √7
A． B． C． D．
14 7 7 14
6．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，C的对边.若b2=ac，且a2+√3bc=c2+ac，则∠A的
大小是（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
π
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC= ，D为BC上一点，BD=2DC，
3
√3
AD=BD= ，则△ABC的面积为（ ）
2
3√3 9√3 9√3 9√3
A． B． C． D．
32 8 16 32
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，b=1且cosB=2cosA，则△ABC的面
积S=（ ）
√3 √2 1
A．1 B． C． D．
2 2 2
cosB b 3√3
9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 = ，S = ，且b=√3，
cosC 2a−c △ABC 4
则（ ）
1 √3
A．sinC= B．cosB= C．a+c=2√3 D．a+c=3√2
2 210．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面
3
积为 ，那么b等于（ ）
2
1+√3 2+√3
A． B．1+√3 C． D．2+√3
2 2
11．△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，BD⊥BC交AC于点D，且BD=1，
2a+c的最小值为（ ）
8 8√3
A． B． C．8 D．8√3
3 3
12．如果 内接于半径为 的圆，且 ，则角 为（ ）
△ABC R 2R(sin2A−sin2C)=(√2a−b)sinB C
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
acosB
13．在△ABC中，内角A、B、C对应边分别为a、b、c，已知 =−b−2c，且角A的平分线AD
cosA
交BC于点D，AD=1，则2AC+3AB的最小值为（ ）
A．5+2√6 B．6+2√6 C．5+2√5 D．6+2√5
14．在三角形ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c.且2sin A+sinB=asinB，则a+b最小值是（ ）
A．3+2√2 B．2+2√3 C．3 D．2√2
15．下列命题正确的是（ ）
①在△ABC中，“tan A>tanB”是“a>b”的既不充分也不必要条件．
②在△ABC中，cosAB⇔a>b．
③在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，当a2+c2−b2>0时，△ABC为锐角三角形．
a a+b−c
④在△ABC中， = ．
sin A sin A+sinB−sinC
⑤在三角形中，已知两边和一角，则该三角形唯一确定．
A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．①④⑤
16．记锐角 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 .则
△ABC c=2 (a2+b2−c2)(acosB+bcosA)=abc
△ABC周长范围为 （ ）
A．(2+2√3,6] B．(2+√3,6]
C．(2√3,6] D．(2+2√6,6
二、多选题17．下列命题中正确的是（ ）
A．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
B．在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件
π
C．函数y=sin2x的图象向左平移 个单位，得到函数y=cos2x的图象
4
√3 √3
D．在△ABC中，若AB=√3,AC=1,B=30°，则△ABC的面积为 或
4 2
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，sinB=√3sinC，则以下四个命题中正
确的是（ ）
A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
B．△ABC面积的最大值为√3
C．当A=C时，△ABC的内切圆的半径为2√3−3
D．若△ABC为锐角三角形，则c∈(1,√3)
19．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4，下列说法正确的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为8√3
2√21
B．该外接圆的半径为
3
C．⃗BO⋅⃗CD=−4
D．过D作DF⊥BC交BC于F点，则⃗DO⋅⃗DF=11
1
20．在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAsinBsinC= ，abc=16√2，则
8
（ ）
A．△ABC的面积为2 B．△ABC外接圆的半径为2√2
1 1 2
C．ab≤4 D．( + ) ≥32sinC
sin A sinB
三、填空题
21．如图，在平面凸四边形ABCD中，∠ADB=90°，CD=1，BC=2，AD=BD，∠BCD为钝角，
则对角线AC的最大值为 .2π
22．在△ABC中，D为BC边上一点，满足BD=6DC=6，∠BAC=∠ADC= ，则△ABC的面
3
积为 ．
1
23．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cos2C−cos2B+sin2A= sinAsinB= ，
2
且△ABC的面积为√3，则边c的值为 ．
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点
D，且BD=1，则4a+3c的最小值为 .
25．在△ABC中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，且a2=b2+c2+√3bc.已知a=√3，
S 为△ABC的面积，则S+3cosBcosC的最大值是 .
26．若锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其外接圆的半径为√3，且
b2+a2
acos(B−C)+acosA=2√3csinBcosA，则 的取值范围为 .
b
