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第 18 讲 解三角形
真题展示
2022 新高考一卷第 题
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．
考查目标
试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境.解三角形本质上是在三角形内蕴方
程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理）的基础上，把试题设
定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而求得三角形的全部或者部分度量
关系.试题考查正弦定理、三角函数两角和公式、二倍角公式等基础知识；同时
以三角函数为载体，考查了均值不等式的应用．试题考查内容强调基础，服
务"双减".
试题考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及理性思维、数学探索等学
科素养．试题考查的内容是解三角形的重点知识，涉及的最值求解问题也是学
生常见的形式，符合基础性、综合性的考查要求.
知识要点整理
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦 语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的
叙述
两倍
a2＝b2＋c2－2bccos A，
公式
b2＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ，
定理 表达
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
cos A＝，
推论 cos B＝，
cos C＝
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的
几个元素求其他元素的过程叫做 ．
知识点三 正弦定理
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
条件
b，c
结论 ＝＝
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比
文字叙述
相等
知识点四 三角形中边与角之间的关系
1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
(1)cos A＝；cos B＝；cos C＝.
(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中R为△ABC外接圆的半径)
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，△ABC为 三角形；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，△ABC为 三角形；
(3)若a20，cos B＝>0，cos C＝>0，△ABC为
三角形．
三年真题
1．在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 .(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
2．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为
，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
3．在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
4．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
5．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；(2)若 ，求 的周长．
6．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
7．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
8．在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（I）求a的值；
（II）求 的值；
（III）求 的值．
9．在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
10．在 中， ， ．（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
11．记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
12．在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
13．在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
15．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形
存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
17． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
三年模拟
一、单选题
1．双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 两点，
的内切圆圆心分别为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．在 中，设角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最大值.3．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在
四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、
BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中 米， 米， .
(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1
米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉
观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
4．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小及a的值；
(2)求 面积的最大值，并求此时 的周长．
6．在 中，内角 的对边分别为 ， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
7．已知 分别为 内角 的对边，且(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
8．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，且 .
(1)求 的面积；
(2)若 是线段 的中点，求 的长.
9．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公
园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以 中点
A为圆心, 为半径的扇形草坪区 ,点 在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ
为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设 .
(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步
行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万
元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）
10．在 中， ， ， .
(1)求 的值.
(2)求 的周长和面积.12．已知 ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；
△
(1)若 ABC的面积 ，求B；
△
(2)若 ，求 ；
