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专题 26.3 反比例函数 k 的几何意义与面积之间的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】..................................................................................1
【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】..................................................................................8
【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】........................................................................11
【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】....................................................................15
【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】.......................................................................................20
【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】.......................................................................................24
【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】...........................................................................29
【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】...................................................................................34
【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】....................................................................................................39
【题型10 由直线分面积求参数的值】....................................................................................................................45
知识点：反比例函数的k的几何意义
由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
矩形PAOB
同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|.
△OPA △OPB
【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】
6
【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与反比例函数y= (x>0)相
x
6
交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，点B恰好落在双曲线y= (x>0)上，则△ABO
x的面积为（ ）
A．3 B．3❑√2 C．6❑√2 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质．
过点A作AC⊥x轴于点C，过带你B作BD⊥y轴于点D，过点O作OE⊥AB于点E，推出OE为反比例
6
函数y= (x>0)图象的对称轴，通过证明△AOC≌△AOE，得出△BOD≌△BOE，△ABO的面积
x
k k
=S +S =S +S = + ，即可解答．
△AOE △BOE △AOC △BOD 2 2
【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过带你B作BD⊥y轴于点D，过点O作OE⊥AB于点E，
由旋转可知OA=OB,∠AOB=45°，
∵OE⊥AB，
∴点A和点B关于OE对称，∠AOE=∠BOE=22.5°，
6
∴OE为反比例函数y= (x>0)图象的对称轴，
x
∴∠COE=∠DOE=45°，
∴∠AOC=∠COE−∠AOE=22.5°，
∵∠ACO=∠AEO=90°,OA=OA,∠AOC=∠AOE=22.5°，
∴△AOC≌△AOE，
同理可得：△BOD≌△BOE，
k k
∴△ABO的面积=S +S =S +S = + =6，
△AOE △BOE △AOC △BOD 2 2
故选：D．1 3
【变式1-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数y=− (x<0)与y= (x>0)
x x
的图象上，且OA⊥OB．若AB=6，则△AOB的面积为 ．
9❑√3
【答案】
2
【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意
义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．过点A作
AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应
1
角相等的两三角形相似得到三角形ACO与三角形ODB相似，由A、B分别在反比例函数y=− (x<0)与
x
3
y= (x>0)的图象上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形ACO与三角形ODB面积，进而得到面积
x
之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为OA与OB之比，设出OA=x，OB=❑√3x，在直
角三角形AOB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OA与OB的长，即
可求出三角形AOB的面积．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，
又∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°,∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO∽△ODB，1 3
∵点A，B分别在反比例函数y=− (x<0)与y= (x>0)图象上，
x x
1 1 1 3
∴S = ×|−1)= ，S = ×|3)= ，即S :S =1:3，
△AOC 2 2 △BOD 2 2 △AOC △BOD
∴OA:OB=1:❑√3，
在Rt△AOB中，设OA=x，则OB=❑√3x，
∵ AB=6，
根据勾股定理得：AB2=OA2+OB2，即36=x2+3x2，
解得：x=3（负值舍去），
∴OA=3,OB=3❑√3，
1 9❑√3
则S = OA⋅OB= ．
△AOB 2 2
9❑√3
故答案为： ．
2
【变式1-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形，
4
∠ACO=∠ADB=90∘ ，反比例函数 y= 在第一象限的图象经过点 B ，则 △OAC 与 △BAD 的面
x
积之差为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据
△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC=AC、AD=BD，设OC=a，BD=b，则点B的坐标为
(a+b,a−b)，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a2−b2=4，再根据三角形的面积即可得出
△OAC与△BAD的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OC=AC，AD=BD，
设OC=a，BD=b，
则点B的坐标为(a+b,a−b)，4
∵反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B，
x
∴(a+b)(a−b)=a2−b2=4，
1 1 1
∴S −S = a2− b2= ×4=2，
△OAC △BAD 2 2 2
故答案为：2．
1 k
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示：已知直线y= x 与双曲线y= (k>0)交于
2 x
A、B两点，且点A的横坐标为4．
(1)求k的值；
k
(2)若双曲线y= (k>0)上的一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积？
x
(3)在坐标轴上是否存在一点M使得MA+MC的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理
由．
【答案】(1)k=8
(2)S =15
△OAC
( 34)
(3)存在，M点坐标为 0, ，理由见解析
5
k
【分析】（1）利用一次函数求出A点坐标，再将其代入双曲线y= (k>0)中求解，即可解题；
x
（2）利用反比例函数求出点C，过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，FA，EC的延长
线相加于点D，连接OC，AC，结合k的几何意义根据S =S −S −S −S 求解，即
△OAC 矩形OEDF △OAF △OCE △ACD
可解题；
（3）根据点M在坐标轴上使得MA+MC的值最小分以下两种情况讨论，①当M点在x轴上时，②当M点
在y轴上时，根据以上两种情况结合轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，以
及一次函数与坐标轴交点情况分析求解，即可解题．1 k
【详解】（1）解：∵直线y= x 与双曲线y= (k>0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
2 x
1 1
将点A的横坐标代入y= x得y= ×4=2，
2 2
∴点A的坐标为(4,2)，
k k
将点A的坐标代入y= (k>0)得：2= ，
x 4
解得：k=8，
故k的值为8；
8
（2）解：由（1）可知：双曲线解析式为y= ，
x
8
∵点C在双曲线y= 上，点C的纵坐标为8，
x
8 8
将点C的纵坐标代入y= 得：8= ，
x x
解得：x=1，点C的坐标为(1,8)，
如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，FA，EC的延长线相加于点D，连接OC
，AC，
∴S =S −S −S −S
△OAC 矩形OEDF △OAF △OCE △ACD
8 8 1
=4×8− − − ×|4−1)×|2−8)
2 2 2
=32−4−4−9
=15；
（3）解：存在，理由如下：
①当M点在x轴上时，
如图，作C点关于x轴的对称点C′，连接AC′，交x轴于点M，连接CM，根据轴对称性质可知，CM=C′M，
∴ MA+MC=MA+MC′=AC′，
根据两点之间线段最短可知AC′即为MA+MC的最小值，与x轴的交点即为M点，
∵点C的坐标为(1,8)，
∴点C′的坐标为(1,−8)，
设直线AC′的解析式为y=k x+b，
1
10
{ k = )
{−8=k +b) 1 3
将A、C′坐标代入得： 1 ，解得： ，
2=4k +b 34
1 b=−
3
10 34
∴直线AC′的解析式为y= x− ，
3 3
10 34 10 34
令y=0，代入y= x− 得：0= x− ，
3 3 3 3
17
解得：x= ，
5
(17 )
∴M点坐标为 ,0 ．
5
此时最小值为=❑√(4−1) 2+(2+8) 2=❑√109.
②当M点在y轴上时，
如图，作C点关于y轴的对称点C″，连接AC″，交y轴于点M，连接CM，根据轴对称性质可知，CM=C″M，
∴ MA+MC=MA+MC″=AC″，
根据两点之间线段最短可知AC″即为MA+MC的最小值，与y轴的交点即为M点，
∵点C的坐标为(1,8)，
∴点C″的坐标为(−1,8)，
设直线AC″的解析式为y=mx+n，
6
{ m=− )
{8=−m+n) 5
将A、C″坐标代入得： ，解得： ，
2=4m+n 34
n=
5
6 34
∴直线AC″的解析式为y=− x+ ，
5 5
6 34 34
令x=0，代入y=− x+ 得：y= ，
5 5 5
( 34)
∴M点坐标为 0, ，
5
此时最小值为❑√(4+1) 2+(8−2) 2=❑√61，且❑√61<❑√109.
( 34)
综上所述，M点坐标为 0, ．
5
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，k的几
何意义，以及一次函数与坐标轴交点情况，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性
质．
【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】
2
【例2】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，点A在函数y= (x>0)的图像上，点B在函数
x
3
y= (x>0)的图像上，且AB∥x轴，BC∥y轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
xA．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关
键．
1
延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到S = ×2=1，S =3，根据四边形
△ADO 2 矩形OCBD
ABCO的面积等于S −S ，即可得解．
矩形OCBD △ADO
【详解】解：延长BA交y轴于点D，
∵AB∥x轴，
∴DA⊥y轴，
2
∵点A在函数y= (x>0)的图象上，
x
1
∴S = ×2=1，
△ADO 2
3
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数y= (x>0)的图象上，
x
∴S =3，
矩形OCBD
∴四边形ABCO的面积等于S −S =3−1=2；
矩形OCBD △ADO
故选：B．
1
【变式2-1】（23-24九年级·北京·开学考试）如图，点A、B是函数y=x与y= 的图象的两个交点，作
x
AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为（ ）A．S>2 B．S>1 C．S<1 D．S=2
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式
根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形ABCD分为四个小三角形即可求出面积
【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，OB=OA,OD=OC，
1 1 1
∴S 、S 、S 、S 的面积都等于 |k)= ×1= ，
△AOC △ODA △ODB △OBC 2 2 2
1
∴四边形ABCD的面积为S=S +S +S +S =4× =2，
△AOC △ODA △ODB △OBC 2
故选：D.
1 3
【变式2-2】（23-24九年级·上海·阶段练习）如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB
x x
∥ x轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形ABCD的面积是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形
EODA的面积为1，矩形BCOE的面积是3，则矩形ABCD的面积为3−1=2．
【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，AB∥ x轴，则点E、A、B在同一直线上，
1 3
∵点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，
x x
∴矩形EODA的面积为1，矩形BCOE的面积是3，
∴矩形ABCD的面积为3−1=2，
故答案为：2．
2
【变式2-3】（2024春·山东烟台·九年级 统考期中）如图，反比例函数y= (x>0)的图象经过矩形
x
OABC对角线OB的中点P，与AB、BC交于E、F两点，则四边形OEBF的面积是 ．
【答案】6
【分析】设P点的坐标为(m，n)，根据矩形性质求得A，B的坐标，根据反比例函数k的几何意义可得
S =S =1，根据S =S −S −S ，即可求解．
△OCF △OAE 四边形OEBF 矩形OABC △OCE △OAD
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC⊥y轴，BA⊥x轴，
∵E,F在反比例函数图象上，
2
∴S =S = =1，
△OCF △OAE 2
设P点的坐标为(m，n)，而点P在反比例函数图像上，则mn=2，
又∵矩形OABC对角线OB的中点为P，
∴ B(2m，2n)，A(2m，0)，C(0，2n)，∵S =AB⋅OA=2n⋅2m=4mn=8，
矩形OABC
∴ S =S −S −S =8−1−1=6，
四边形OEBF 矩形OABC △OCF △OAE
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关
键．
【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】
【例3】（2024九年级·河南·专题练习）小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下
表数据：
x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12
y 12 6 4 3 2 1 0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的数据为 ．
（2）y与x之间的函数关系式为 （其中x＞0），且y随x的增大而 ．
（3）如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为
S，矩形ODEF的面积记为S，请判断S 和S 的大小关系，并说明理由．
1 2 1 2
2
（4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝ 的图象经过点G交AB于点H，连接OG、
x
OH，则四边形OGBH的面积为 ．
6
【答案】（1）1.5；（2）y＝ ；减少；（3）S＝S，理由详见解析；（4）4
x 1 2
【分析】（1）由表格直接可得；
6
（2）在表格中发现xy=6，故得到y= ；
x
（3）由反比例函数k的几何意义可知S=OA•OC=k=6，S=OD•OF=k=6；
1 2（4）根据反比例函数k的几何意义，得到S OCBA=6，S OCG=1，S OAH=1；
四边形 △ △
【详解】（1）从表格可以看出s=6，
∴墨水盖住的数据是6÷4=1.5；
故答案为1.5；
6
（2）由xy=6，得到y＝ ，
x
∴y是x的反比例函数，k=6＞0，当x>0时，y随x的增大而减少；
6
故答案为y= ；减少；
x
（3）S＝S．
1 2
S＝OA•OC＝k＝6，S＝OD•OF＝k＝6，
1 2
∴S＝S；
1 2
6
（4）∵点B在y＝ 上，
x
∴S = 6，
四边形OCBA
2
∵点G、H在y＝ 上，
x
S =1，S =1，
△OCG △OAH
∴S =S -S -S =6-1-1=4；
四边形OGBH 四边形OCBA △OCG △OAH
故答案为4．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，k的几何意义；理解反比例函数|k|与面积的关系是解题的关键．
k
【变式3-1】（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴
x
于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为
S ，△QMN的面积记为S ，则S 与S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2A．S S D．S =2S
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与
坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意
义．
设P(a,b)，Q(m,n)，根据三角形的面积公式和k的几何意义，即可求出结果．
【详解】解：设P(a,b)，Q(m,n)，
1 1 1 1
则S =S = AP⋅AB= a(b−n)= ab− an，
1 △ABP 2 2 2 2
1 1 1 1
S =S = MN⋅QN= (m−a)n= mn− an，
2 △QMN 2 2 2 2
∵点P，Q在反比例函数的图象上，
∴ab=mn=k，
∴S =S ．
1 2
故选：B．
k
【变式3-2】（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象上有三点
x
A，B，C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，连接OA
，OB，OC，记△OAD，△OBE，△OCF的面积分别为S ，S ，S ，则S ，S 和S 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3A．S >S >S B．S S >S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2
【答案】C
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解．
|k|
【详解】解：由函数系数k的几何意义可得，S，S，S 均为 ，
1 2 3 2
∴S=S=S，
1 2 3
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质和系数k的几何
意义．
5
【变式3-3】（2024·吉林长春·二模）已知点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，点B、C在反比例函数
x
1
y= (x>0)的图象上，点P、Q为x、y轴上任意一点，则△PAC和△QAB面积的大小关系为（ ）．
x
A．S >S B．S 0)上取点C 、C ，点P不变，发现△ACP的面积是在变化的，
x 1 2
同理分析可得△ABQ的面积也是变化的，从而得出选项．
1
【详解】如下图，在反比例函数y= (x>0)上取点C 、C ，点P不变
x 1 2则由图形可知：S ＞S ＞S
△APC △APC △APC
1 2
∵点C、P可任意选取，则△APC的面积可任意变化
同理，△ABQ的面积可任意变化
故选：D
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是判断出三角形的面积是始终变化的．
【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】
【例4】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分
别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从
左到右依次记为S ，S ，S ，其中OA:AB:BC=1:2:3，若S =2，则S +S =（ ）
1 2 3 2 1 3
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问
题．k 2 1 1 k
由OA:AB:BC=1:2:3，得S = ，S = k= k，S +S = k，所以S =S =2，S =S = ，根据
1 6 4 6 3 1 4 2 2 4 5 1 6
1
k=2，解得k=6，即得S =1，进而即可求得S +S =k−S =6−1=5．
3 5 1 3 5
【详解】解：如图所示，
∵OA:AB:BC=1:2:3，S =2，
2
k 2 1
∴S = ，S = k= k，
1 6 4 6 3
1
∴S +S = k，
1 4 2
1
∴S +S = k，
2 5 2
∴MN平分矩形OBQE，
k
∴S =S =2，S =S = ，
2 4 5 1 6
1
∴ k=2，
3
∴k=6，
∴S =S =1，
5 1
∵S +S +S =k，
1 5 3
∴S +S =k−S =6−1=5．
1 3 5
故选：B．
8
【变式4-1】（2024·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A、B、C在双曲线y=
x
上，BD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，点F在x轴上，且AO=AF，则图中阴影部分的面积之和为
．【答案】16
【分析】过A作AG垂直于x轴，交x轴于点G，由AO=AF，利用三线合一得到G为OF的中点，根据等
底同高得到三角形AOG的面积等于三角形AFG的面积，再由A，B及C三点都在反比例函数图象上，根
|k)
据反比例的性质得到△BOD，△COE及△AOG的面积都相等，都为 ，由反比例解析式中的k值代入，
2
求出三个三角形的面积，问题随之得解．
【详解】解：过A作AG⊥x轴，交x轴于点G，如图所示：
∵AO=AF，AG⊥OF，
∴G为OF的中点，即OG=FG，
∴S =S ，
△OAG △FAG
8
又∵A，B及C点都在反比例函数y= 上，BD⊥x轴，CE⊥y轴，
x
|k)
∴S =S =S = =4，
△OAG △BOD △COE 2
∴S =S =S =S =4，
△OAG △BOD △COE △FAG则S =S +S +S +S =16，
阴影 △OAG △BOD △COE △FAG
故答案为：16．
【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来解答本题关键．
4
【变式4-2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A、B在第一象限，且为反比例函数y= 图象上的两
x
点，点A、B关于原点对称的对应点分别为点C、D，若点B的横坐标是点A横坐标的4倍，则图中阴影
部分的面积为 ．
【答案】15
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的横坐标为a，则点B的横坐标为4a，根
15
据S =S +S −S 求出S = ，再根据点A、B关于原点对称的对应点分别为点C、D
❑△AOB ❑△AOE ❑四边形AEFB ❑△OBF ❑△AOB 2
15
，得到S =S = ，即可得到图中阴影部分的面积．
❑△COD ❑△AOB 2
【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
设点A的横坐标为a，则点B的横坐标为4a，
4
∵点A、B在第一象限，且为反比例函数y= 图象上的两点，
x
( 4) ( 1)
∴点A的坐标为 a, ，点B的坐标为 4a, ，
a a
4 1
∴AE= ,BF= ，
a a∴S =S +S −S
❑△AOB ❑△AOE ❑四边形AEFB ❑△OBF
1 1(4 1) 1
= ×4+ + ×(4a−a)− ×4
2 2 a a 2
15
=
2
∵点A、B关于原点对称的对应点分别为点C、D，
15
∴S =S = ，
❑△COD ❑△AOB 2
15 15
∴图中阴影部分的面积为S +S = + =15，
❑△COD ❑△AOB 2 2
故答案为：15．
1
【变式4-3】（2024·山东济宁·二模）如图，在反比例函数y= 的图象上有P ,P ,P ,…，P 等点，它
x 1 2 3 2024
们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积
从左到右依次为S ,S ,S …,S ，则S +S +S +...+S 的值为（ ）
1 2 3 2023 1 2 3 2023
1 2023
A．1 B．2024 C． D．
2024 2024
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
将面积为S ,S …,S 的矩形向左平移到面积为S 的矩形的下方，然后再利用
2 3 2023 1
S =S −S 求解即可．
矩形ABP D 矩形OCP D 矩形OABC
1 1
【详解】解：∵P ,P ,P ,…，P 的横坐标依次为1，2，3，…，2024，，
1 2 3 2024
∴阴影矩形的一边长都为1，
如图：记P D⊥y轴于点D，P C⊥x轴于点C，P A⊥x轴于点A，且交P C于点B，
1 1 2024 1将面积为S ,S …,S 的矩形向左平移到面积为S 的矩形的下方，则S +S +S +…+S =S ，
2 3 2023 1 1 2 3 2024 矩形ABP D
1
1 1 1
把x=2024代入y= 得：y= ，即OA= ，
x 2024 2024
1
∴S =OA⋅OC= ，
矩形OABC 2024
根据反比例函数中 的几何意义，可得：S =1，
矩形OCP D
1
1 2023
S =S −S =1− = ．
矩形ABP 1 D 矩形OCP 1 D 矩形OABC 2024 2024
故选D．
【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】
k
【例5】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数y= 的图象与正比例函数y=x的图象交于A，B
x
两点，点C在反比例函数第一象限的图象上且坐标为(m,4m)，若△BOC的面积为12，则k的值为
．
【答案】16
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接AC, 作AE⊥x轴于E, CD⊥x轴于F,则
1
S =S = |k|，根据题意求得A(2m,2m),由S =S +S −S =S ，即
△COD △AOE 2 △AOC △COD 梯形AEDC △AOE 梯形AEDC1
可得出 (4m+2m)(2m−m)=12，解方程求得m的值，从而求得 k=16．
2
1
【详解】连接AC, 作AE⊥x轴于E, CD⊥x轴于F,则S =S = |k|，
△COD △AOE 2
∴S =S +S −S =S ，
△AOC △COD 梯形AEDC △AOE 梯形AEDC
k
∵反比例函数y= 的图象与正比例函数y=x的图象交于A,B两点,
x
∴A、B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S =S =12，
△AOC △BOC
设A(a,a),
∴k=4m⋅m=a⋅a，
∴a=2m，
∴A(2m,2m)，
1 1
∴S = (CD+AE)⋅DE=12，即 (4m+2m)(2m−m)=12，
梯形AEDC 2 2
解得m=2，m=−2（舍去）
∴k=4m⋅m=16，
故答案为:16．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏镇江·期末）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，过点A、B分别作x
k
轴、y轴的垂线交于点C，反比例函数y= (k<0,x<0)的图像分别与AC、BC交于点D、E，连接
x
OD、OE、DE，若CE=3BE，且△ODE的面积是9，则k的值为（ ）9 27 24
A．− B．− C．− D．−12
2 4 5
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键设出点E的坐标．设BE=a，则CE=3a，用
a表示出E，D的坐标，利用面积求出ab即可解答．
【详解】解：设BE=a，OB=AC=b，
则CE=3a，
∴BC=4a，
( 1 )
∴E(−a,b)，D −4a, b ，
4
3
∴CD= b，
4
1 1 1 3
∴ ab+ ab+ × b×3a+9=4ab，
2 2 2 4
24
解得ab= ，
5
24
∴k=−ab=− ．
5
故选：C．
m
【变式5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，反比例函数y= (m>0)在第三象限的图象是l ，
x 1
n
y= (n<0)在第四象限的图象是l ，点A、C在l 上，过A点作AB∥x轴交l 于B点，过C点作CD⊥y轴
x 2 1 2
于D点，点P为x轴上任意一点，连接AP、BP、CP、DP，若S =5，S =2，则n= ．
△ABP △CDP【答案】−6
1
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，设点A(a,b)，得到S = (−n+m)=5，设设点C(r,s)
△ABP 2
1 1
，则rs=m，根据S = rs= m=2求出m=4，即可得到答案．
△PCD 2 2
【详解】解：设点A(a,b)，则rs=m，
∵AB∥x轴，
∴点B的纵坐标是b，
n
∵点B在l ：y= (n<0)上，
2 x
(n )
∴点B ,b ，
b
n
∴AB= −a，点P到AB的距离为−b，
b
1 1(n ) 1 1
∵S = AB⋅(−b)= −a ⋅(−b)= (−n+ab)= (−n+m)，
△ABP 2 2 b 2 2
1
∴ (−n+m)=5，
2
设点C(r,s)，则rs=m，
∵过C点作CD⊥y轴于D点，
∴CD=−r，点P到CD的距离为−s，
1 1 1 1
∴S = DC⋅(−s)= (−r)⋅(−s)= rs= m=2，
△PCD 2 2 2 2
即m=4，
1
∴ (−n+4)=5，
2
∴n=−6
故答案为：−6−6
【变式5-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点A(2,a)在双曲线y= (x>0)上，过D(−2,0)作直
x
k
线AD交双曲线y= (x>0)于点B，过A作AC⊥x轴于C，连接BC，若△ABC的面积为1，则k的值为
x
．
28
【答案】−
3
( 3 3)
【分析】本题考查已知图形的面积求k值，先求出A点坐标进而求出AD的解析式，设B n,− n− ，
4 2
根据三角形的面积公式，求出B点坐标，即可得出k值．
6
【详解】解：点A(2,a)在双曲线y=− (x>0)上，
x
∴2a=−6，
∴a=−3，
∴A(2,−3)
设直线AD的解析式为y=mx+n，
{2m+n=−3)
则： ，
−2m+n=0
3
{ m=− )
4
∴ ，
3
n=−
2
3 3
∴y=− x− ，
4 2
( 3 3)
设B n,− n− ，
4 2
1
∵S = AC⋅(x −x )=1，
△ACB 2 B A1
∴ ×3×(n−2)=1，
2
8
∴n= ，
3
3 3 7
∴− n− =− ，
4 2 2
(8 7)
∴B ,− ，
3 2
7 8 28
∴k=− × =− ．
2 3 3
28
故答案为：− ．
3
【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】
【例6】（23-24九年级·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴
k
上，对角线AC、OB交于点D，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A和点D，若菱形OABC的面积为
x
6，则k为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．6
【答案】A
( k )
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，设A m, ，C(n,0)，中点坐标公式求出
m
(m+n k )
D , ，根据点D在反比例函数图象上，以及菱形的面积公式进行求解即可．
2 2m
( k )
【详解】解：设A m, ，C(n,0)，
m
∵菱形OABC，
1
∴AD=CD，S = S =3，
△AOC 2 菱形OABC(m+n k )
∴D , ，
2 2m
∵点D在反比例函数图象上，
m+n k
∴ ⋅ =k，
2 2m
∴n=3m，
∴C(3m,0)，
1 k
∴S = ⋅3m⋅ =3，
△AOC 2 m
∴k=2；
故选：A．
k
【变式6-1】（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，直线y=2x与反比例函数y= (k≠0)交于A、B两
x
点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接AC，使得AC=AB，过点C作x轴的垂线
k
交y= (k≠0)于点D，以BC、CD为边作矩形BCDE，若S =32，则k= ．
x 矩形BCDE
【答案】6
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形三线合一的性质，反比例函数系数
k的几何意义，求得S =6是解题的关键．
矩形QOKD
作AM⊥BC于M，交ED于点N，利用等腰三角形三线合一的性质得出BM=CM，即可求得
S =16，由反比例函数的对称性得出OA=OB， BJ=JM，求得S =8,EQ=QN，进而求
矩形BENM 矩形EBJQ
得k=S =6．
矩形QOKD
【详解】解：作AM⊥BC于M，交ED于点N，∵AB=AC，
∴BM=CM，
∵S =32，
矩形BCDE
∴S =16，
矩形BENM
k
∵直线y=2x与反比例函数y= (k≠0)交于A、B两点，AM∥y轴，
x
∴OA=OB，BJ=JM，
∴S =8,EQ=QN，
矩形EBJQ
1
∴EQ= ED，
4
∵S =S =k，
矩形BPOJ 矩形OKDQ
∴S =2，
矩形EPOQ
∴S =6，
矩形QOKD
∴k=S =6，
矩形QOKD
故答案为：6．
【变式6-2】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，点B
k 8
在y轴上，点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，点C在反比例函数y= (x>0)的图象上．若平行四
x x
边形OABC的面积为10，则k= ．【答案】−2
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，根据平行四边形的性质及全等三角形的
判定和性质得出△ABE与△COD的面积相等，△AOE与△CBD的面积相等，再由反比例函数k的几何意义
8
得出S =S = =4，确定S =S =5−4=1，再次利用反比例函数k的几何意义即可得出结
△ABE △COD 2 △AOE △CBD
果．
【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠AEB=∠CDO=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABE=∠COD，AB=CO，
∴△ABE≌△COD(AAS)，
∴△ABE与△COD的面积相等，
同理可得△AOE与△CBD的面积相等，
∵若▱OABC的面积为10，
1
∴S +S =S +S = ×10=5，
△ABE △AOE △CBD △COD 2
8
∵点C在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x8
∴S =S = =4，
△ABE △COD 2
∴S =S =5−4=1，
△AOE △CBD
k
∵点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，
x
∴|k)=2S =2，
△AOE
k
∵y= (x<0)在第二象限，
x
∴k=−2
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题
意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式6-3】（2024·江苏淮安·模拟预测）平面直角坐标系xoy中，已知点A(a，−4a)、B(2a，−2b)、
k
C(−a，4a)、D(−2a，2b)是函数y= (k≠0)图象上的四点．若四边形ABCD 的面积为4，则k的值
x
为 ．
4
【答案】−
3
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，坐标与图形，熟练掌握反比例
函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
分两种情况：若A、B在第四象限内，点C、D在第二象限内，即a>0时，若A、B在第二象限内，点C、
D在第四象限内，即a<0时，分别 求出a值，再根据k=−4a2求解即可．
k
【详解】解：∵A(a，−4a)、B(2a，−2b)、C(−a，4a)、D(−2a，2b)是函数y= (k≠0)图象上
x
的四点．
∴a⋅(−4a)=2a⋅(−2b)=k
∴k=−4a2<0，a=b，
k
∴函数y= (k≠0)图象在第二、四象限内，
x
若A、B在第四象限内，点C、D在第二象限内，即a>0时，
过点A、C分别作x轴的平行线EH、GF，过点B、D分别作y轴的平行线EF、GH，EH与EF相交于
E， GF与EF相交于F ， EH与GH相交于H， GF与GH相交于G ， 如图，∵A(a，−4a)、B(2a，−2b)、C(−a，4a)、D(−2a，2b)
∴S =S −S −S −S −S
四边形ABCD 矩形EFGH △AEB △BFC △CDG △ADH
1 1 1 1
=4a×8a− a⋅2a− ×3a⋅6a− a⋅2a− ×3a⋅6a
2 2 2 2
=12a2
∵S =4
四边形ABCD
∴12a2=4
❑√3 ❑√3
∴a = ，a =− （舍去）
1 3 2 3
❑√3
∴a=
3
❑√3
若A、B在第二象限内，点C、D在第四象限内，即a<0时，同理可求得a=−
3
❑√3
综上，a=±
3
∴k=−4a2=−4× ( ± ❑√3) 2 =− 4 ，
3 3
4
故答案为：− ．
3
【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】
【例7】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方
k
形OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，
x
QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（ ）A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【分析】设OA=4a，则AB=2a，从而可得A(4a,0)、B(6a,0)，由正方形的性质可得C(4a,4a)，由
( k ) 1
QN⊥y轴，点P在CD上，可得P ,4a ，由于Q为BE的中点，BE⊥x轴，可得BQ= AB=a，
4a 2
k k
则Q(6a,a)，由于点Q在反比例函数y= (k>0)的图象上可得k=6a2，根据阴影部分为矩形，且长为
x 4a
，宽为a，面积为6，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．
【详解】解：设OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B(6a,0)，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
∵Q为BE的中点，
1
∴BQ= AB=a，
2
∴Q(6a,a)，
k
∵Q在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C(4a,4a)，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
k
∵P点在反比例函数y= (k>0)的图象上，
xk
∴P点横坐标为x= ，
4a
( k )
∴P ,4a ，
4a
设PM、NQ交于点H，
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
k
∴NH= ，MH=a，
4a
k
∴S =NH×MH= ×a=6，
▭OMHN 4a
∴k=24，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形得判定及其面积公式，读懂题意，灵活运
用所学知识是解题的关键．
k
【变式7-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，点A，B在反比例函数y= (x<0)的图象上，过A，B
x
两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA,OB，若S +S =2（S ,S 分别为△BDO和△ACO
1 2 1 2
中空白部分的面积），S ＝1，则k的值为 ．
阴影
【答案】−4【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关
|k)
键；利用S =S = ，根据题意S +S =S +S −2S ，即可求解
△ACO △BDO 2 1 2 △ACO △BDO 阴影
【详解】解：由题意，知△ACO和△BDO都是直角三角形，
|k)
∴S =S = ，
△ACO △BDO 2
∵S +S =S +S −2S ，
1 2 △ACO △BDO 阴影
|k) |k)
∴ + −2=2，
2 2
∴|k)=4，
由图，可知k<0，
∴k=−4
故答案为：−4
【变式7-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，矩形OBCD、矩形OAPE在平面直角坐标系中的位置如图
所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为BC的中点，反比例函
k
数y= （x>0，k为常数，k≠0）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ．
x
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，中点坐标，矩形的性质，求出矩形的面积是解题的关
键；
根据题意，可设出点P、M的坐标，然后利用反比例函数的性质和矩形的性质即可求得k的值．
k
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象恰好经过点M、P，
x
k k
设点P的横坐标为a，则纵坐标为 ，点M的横坐标为b，则纵坐标为 ，
a b
在矩形OBCD和矩形OAPE中，BC⊥x轴，AP⊥x轴，
∵M为BC的中点，2k
∴点C的横坐标为b，则纵坐标为 ，
b
∵A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8，
k k
∴PA=a，PE= ，OB=b，CB= ，
a b
2k k
∴阴影面积=S −S =b× −a× =8，
矩形DOBC 矩形EOAP b a
解得：k=8，
故答案为：8.
【变式7-3】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴
k
上，顶点C在y轴上，矩形DEFG的边DE在BC上，AB=EF．反比例函数y= (k≠0)的图象经过点B，
x
若阴影部分面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数中k值的几何意义，全等三角形的性质和判定，不规则图形面积，掌握理
解k值的几何意义，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键．
转化阴影部分面积为△BCO的面积，与k值的几何意义结合，根据图象的位置确定k值的正负即可．
【详解】解：设OF与BC的交点为Q，
，设OA=a，AB=EF=b，
∴ ∠FQE=∠OQC，
∵四边形OABC和四边形DEFG是矩形，
∴ ∠BCO=∠≝=90°，
∵ AB=EF，AB=CO，
∴ EF=CO．
∴ △CQO≌△EQF(AAS)，
∴ S =S ．
△CQO △EQF
1 1 1
∵阴影部分面积为， S =S +S =S =6= S = OA⋅AB= ab，
阴 △EFQ △OBQ △BOC 2 矩形OABC 2 2
1
∴ ab=6，
2
∴ ab=12，
∵点B(a,b)在反比例函数图像上，且在第一象限，
k
∴ b= ，
a
∴ k=ab=12．
故选：D．
【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】
【例8】（2024·吉林长春·一模）如图，平行四边形ABCD中A点的坐标为(0,−2)，B在x轴的负半轴上，
C、D两点落在反比例函数y=kx−1上，且D点的横坐标为3，四边形AECD的面积是△ABE面积的3倍，
则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】先根据四边形AECD的面积是三角形ABE面积的3倍，结合平行四边形的性质得出E是BC的中点，B、C两点的横坐标互为相反数，设C点横坐标为m，则B点横坐标为−m．再由平行四边形ABCD中
A点的坐标为(0,−2)，D点的横坐标为3，求出m=1.5．设D(3,n)，根据反比例函数图象上点的坐标特
征得出C(1.5,2n)，再利用平行四边形的性质求出n=2，D(3,2)，那么k=3×2=6．
【详解】解：∵四边形AECD的面积是△ABE面积的3倍，
1 1
∴S = S = S ，
△ABE 4 平行四边形ABCD 2 △ABC
∴E是BC的中点，
∵E在y轴上，横坐标是0，
∴B、C两点的横坐标互为相反数，设C点横坐标为m，则B点横坐标为−m，
∵平行四边形ABCD中A点的坐标为(0,−2)，D点的横坐标为3，
∴ x −x =x −x ，即m−(−m)=3−0，
C B D A
解得m=1.5，
设D(3,n)，
∵C、D两点落在反比例函数y=kx−1上，
3n
∴C点纵坐标为 =2n，
1.5
∴C(1.5,2n)，
∵A(0,−2)，B(−1.5,0)，C(1.5,2n)，D(3,n)，且四边形ABCD是平行四边形，
∴y −y = y −y ，即2n−n=0−(−2)，
C D B A
∴n=2，
∴D(3,2)，
∴k=3×2=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的定义，平行四边形的性质，求出B、
C两点的横坐标是解题的关键．
k
【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，过y= (k≠0,x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴
x
2
的平行线交y=− 的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，
x
11
面积分别记为S ，S ，S ，S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
1 2 3 4 2 3 4 25 5 8
A． B． C．4 D．
2 3 3
【答案】D
( 2 ) ( 2) ( 2 2)
【分析】本题考查了反比例函数的性质，设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,− ，根据坐
b a b a
( 2) ( 2) 3
标求得S =ab=k，S =S =1，推得S = − × − = ，即可求得．
1 2 4 3 b a 2
( 2 ) ( 2) ( 2 2)
【详解】解：依题意，设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,−
b a b a
k
∵点A在y= (x>0)的图象上
x
则S =ab=k，
1
2
同理∵B，D两点在y=− 的图象上，
x
则S =S =2
2 4
11
∵S +S +S =
2 3 4 2
11 3
∴S = −2−2= ，
3 2 2
( 2) ( 2) 3
又∵S = − × − = ，
3 b a 2
8
故ab= ，
3
8
∴k= ，
3故选：D．
【变式8-2】（23-24九年级·浙江金华·期中）如图，四边形OABC、BDEF是面积分别为S 、S 的正方
1 2
k
形，点A在x轴上，点F在BC上，点E在反比例函数y= (x>0)的图象上，若S −S =4，则k值为
x 1 2
．
【答案】4
【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得出点D、E、F的坐标是解此
题的关键．设正方形OABC、BDEF的边长分别为a，b，则可表示出D(a,a+b)，F(a−b,a)，根据反
( k )
比例函数图象上点的坐标特征可得出E a−b, ，利用点E与点D的纵坐标相同，求解即可．
a−b
【详解】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a，b，
( k )
则D(a,a+b)，F(a−b,a)，E a−b, ，
a−b
∵点E与点D的纵坐标相同，
k
∴ =a+b，
a−b
∴a2−b2=k，
∵S −S =4，
1 2
∴k=4．
故答案为：4．
m
【变式8-3】（2024·山东济宁·一模）如图，点A(3,6)，B(6,a)是反比例函数y= 的图象上的两点，连接
x
OA、OB．(1)求a的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)若点C的坐标为(9,0)，点P是反比例函数图象上的点，若△POC的面积等于△AOB面积的3倍，求点P
的坐标．
【答案】(1)a=3
27
(2)△AOB的面积为
2
(3)点P的坐标为(2,9)或(−2,−9)
m 18
【分析】（1）将点A(3,6)，代入y= ，求出m，将点B(6,a)代入y= ，即可求解，
x x
（2）由反比例函数的几何意义得S =S ，由S −S =S −S ，可得
△AOD △BOE 四边形AOEB △BOE 四边形AOEB △AOD
S =S ，即可求解，
△AOB 梯形ADEB
( 18)
（3）设点P坐标为 p, ，作PE⊥x轴，用含p的代数式表示出PE的长度，代入
p
1 27
S = ×OC×PE=3S =3× ，即可求解，
△POC 2 △AOB 2
本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数
形结合的思想．
m
【详解】（1）解：∵点A(3,6)，B(6,a)是反比例函数y= 的图象上的两点，
x
m
∴6= ，解得：m=18，
3
18
∴反比例函数解析式为：y= ，
x18
∴a= ，解得：a=3，
6
故答案为：a=3，
（2）解：过点A，B，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为D，E，
18
由（1）可知，点A(3,6)，B(6,3)是反比例函数y= 的图象上的两点，
x
∴AC=6，OD=3，BD=3,OE=6，S =S ，
△AOD △BOE
∵S −S =S −S ，
四边形AOEB △BOE 四边形AOEB △AOD
1 1 1 27
∴S =S = (AD+BE)⋅DE= (AD+BE)⋅(OE−OD)= (6+3)(6−3)= ，
△AOB 梯形ADEB 2 2 2 2
27
故答案为：△AOB的面积为 ，
2
( 18)
（3）解：设点P坐标为 p, ，过点P，作PE⊥x轴，垂足为E，
p
|18 ) |18)
∴PE= −0 = ，OC=9，
p p
1 27
∴S = ×OC×PE=3S =3× ，
△POC 2 △AOB 21 |18) 27
即： ×9× =3× ，解得：p=2或p=−2，
2 p 2
∴P(2,9)或P(−2,−9)，
故答案为：点P的坐标为(2,9)或(−2,−9)．
【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】
m
【例9】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y= (x>0)的
x
图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽
度BD=2，S =5，则点C的坐标是 ．
△AOC
【答案】(6，2)
m
【分析】首先根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，AB=3．BD=2，即可求得A的坐标( ，3)
3
m 3m
，C的坐标( +2， )，关键是根据面积列出关于m的方程，求出m，即可求得C的坐标．
3 m+6
【详解】解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且AB=3，
m m
则B的坐标为( ，0)，则D的坐标为( +2，0)
3 3
m 3m
∴C( +2， )，
3 m+6
∵S =S +S −S =5，
ΔAOC ΔAOB 梯形ABDC ΔOCD
又∵S =S ，
ΔAOB ΔOCD
∴S =5，
梯形ABDC
3m 1
∴(3+ )×2× =5，
m+6 2
∴m=12，
∴C的坐标为(6,2)
故答案为：(6,2)．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数
的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积．
【变式9-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，A、B两点的坐标分别为(−2,0)，(0,3)，将线段AB
k
绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y= 的图象经过点C．
x
(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
k
(2)点P在反比例函数y= 的图象上，当△PCD的面积为9时，求点P的坐标．
x
3
【答案】(1)C(3,1)，y= ；
x
3 3
(2)(7, )或(−5,− )．
7 5
【分析】（1）根据图形旋转的性质可证明△ABO≅△BCD(ASA)，进而可推算出点C的坐标，再根据待
定系数法即可求出反比例函数解析式；
3 1
（2）设点P的坐标为(m, )，利用S = ×CD×|m−1)=9，建立关于m的方程解出m值即可．
m △PCD 2
【详解】（1）解：根据线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC可知：AB=BC，
∠ABO+∠CBD=∠ABC=90°，
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴ ∠ABO=∠OBC
又∵CD⊥OB
∴∠CDB=∠AOB=90°
∴ △ABO≅△BCD(ASA)，∴CD=OB=3，BD=AO=2，
∴OD=OB−BD=1，
∴C(3,1)．
k
∵C(3,1)在y= 上，k=3，
x
3
∴反比例函数解析式为：y= ．
x
3
（2）设点P的坐标为(m, )，
m
1
∵S = ×CD×|m−1)=9，
△PCD 2
3
∴ ×|m−1)=9，即：|m−1)=6，
2
m =7，m =−5，
1 2
3 3
∴这样的P点坐标为(7, )或(−5,− )．
7 5
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用面积求符合条件的点的坐标．
6
【变式9-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数
x
k 2
y= 的图象上，连接AB，且AB∥x．点P( ,0)是x轴上一点，连接PA，PB，若PA=PB，S =4
x 3 △PAB
，则PB与y轴交点C的坐标为 ．
( 3)
【答案】 0,
2
【分析】
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．
( 6) (kt 6) 1 6t−kt 6
设点A的坐标为 t, ，由AB∥x轴，得点B ， ，根据S =4，得 × × =4，由此解
t 6 t △PAB 2 6 t( 2) 2 (6) 2 ( t 2) 2 (6) 2
出k=−2，进而表示点B的坐标，再根据PA=PB得 t− + = − − + 由此解出t=2，进
3 t 3 3 t
而得点(−2，3)，然后利用待定系数法求出直线PB的表达式，据此可得点C的坐标，
6
【详解】∵点A在反比例函数y= 的图象上，
x
( 6)
∴设点A的坐标为 t, ，
t
∵ AB∥x轴，
6
∴点B的纵坐标为 ，
t
k
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
x
6 k
∴ = ，
t t
kt
解得：x= ，
6
(kt 6)
∴点B的坐标为 ， ，
6 t
kt 6t−kt
∴AB=t− = ，
6 6
∵ S =4，
△PAB
1 6t−kt 6
∴ × × =4，
2 6 t
解得：k=−2，
( t 6)
∴点B的坐标为 − ， ，
3 t
2
∵点P( ,0)，
3
∴PA2= ( t− 2) 2 + (6) 2 ，
3 t
PB2= ( − t − 2) 2 + (6) 2 ，
3 3 t
∵ PA=PB，
( 2) 2 (6) 2 ( t 2) 2 (6) 2
∴ t− + = − − + ，
3 t 3 3 t( 2) 2 (t 2) 2
整理得： t− = + ，
3 3 3
2 (t 2)
∴t− =± + ，
3 3 3
2 t 2
由− = + ，解得t=2，
3 3 3
2 t 2
由− = + ，解得t=0，不合题意，舍去
3 3 3
当t=2时，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(−2，3)，
设直线PB的解析式为y=ax+b，
( 2 ) (2 )
将B − ,0 ，P ,0 代入得，
3 3
2
{ a+b=0 )
3
，
2
− a+b=3
3
9
{ a=− )
4
解得： ，
3
b=
2
9 3
∴直线PB的表达式为：y=− + ，
4 2
3
当x=0时，y=
2
( 3)
∴点C的坐标为 0,
2
( 3)
故答案为： 0,
2
【变式9-3】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点
k
D(2,1)在对角线OB上，反比例函数y= (k>0,x>0)的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面
x
积是6，则点B的坐标为（ ）( 8) (24 12)
A． 4, B．(4,2) C．(5,2.5) D． ,
3 5 5
【答案】B
【分析】利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和
正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，
求解即可．
k
【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数y= (k>0,x>0)上，
x
∴k=2×1=2，
2
∴反比例函数解析式为：y= ，
x
设直线OB的函数解析式为y=mx，
∵点D（2，1）在对角线OB上，
1
∴2m=1，即m= ，
2
1
∴OB的解析式为：y= x,
2
∵点C在反比例函数图象上，
2
∴设点C坐标为（a， ），
a
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
2
∴点B的纵坐标为 ，
a
2 1
将y= 代入y= x，
a 2
4
解得：x= ，
a4 2
∴点B坐标为（ ， ），
a a
4
∴BC= −a，
a
∵平行四边形OABC的面积是6，
4 2
∴（ −a）× =6，
a a
解得：a=1或a=-1（舍去），
4 2
∴ =4， =2，
a a
∴点B坐标为：(4,2)，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利
用反比例函数和一次函数将点C，点B的坐标统一表示出来．
【题型10 由直线分面积求参数的值】
k
【例10】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数y= 的图像交于A，B
x
k−16
两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数y= 的图像上，AC∥y轴，BD∥x轴，OD将四
x
边形ABDC的面积分成7：5的两部分，则△OCD的面积为 ，k的值为 ．
16 26
【答案】
5 5
( k) ( k) ( k−16) ( 16a k)
【分析】首先根据题意设出A a, ，B −a,− ，C a, ，D −a+ ,− ，然后表示出
a a a k a16 16a 16
AC= ，BD= ，然后利用OD将四边形ABDC的面积分成7：5的两部分列方程求出S = ，
a k △OCD 5
延长BD，AC交于点E，根据S −S −S −S =S 代入可求出k的值．
▭OFEG △OFD △OGC △CDE △ODC
k
【详解】∵经过原点O的直线与反比例函数y= 的图像交于A，B两点，
x
( k) ( k)
∴设A a, ，B −a,− ，
a a
k−16
∵点C，D在反比例函数y= 的图像上，AC∥y轴，BD∥x轴，
x
( k−16) ( 16a k)
∴C a, ，D −a+ ,− ，
a k a
k k−16 16 16a 16a
∴AC= − = ，BD=−a+ −(−a)= ，
a a a k k
1 1 16
∴S = ×AC×x = × ×a=8，
△AOC 2 A 2 a
1 1 16a k
∴S = ×BD×|y )= × × =8，
△BOD 2 B 2 k a
∵OD将四边形ABDC的面积分成7：5的两部分，
S +S 7 8+S 7
∴ △AOC △OCD= ，即 △OCD= ，
S 5 8 5
△BOD
16
∴解得S = ，
△OCD 5
如图所示，延长BD，AC交于点E，
∴S −S −S −S =S ，
▭OFEG △OFD △OGC △CDE △ODC
( k) 1 ( k) 1 k−16 1 2k−16 16
∴a× − − ×(−a)× − − ×a× − × ×2a= ，
a 2 a 2 a 2 a 526
∴解得k= ．
5
16 26
故答案为： ， ．
5 5
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积，解题的关键在于添加常用辅助线，熟练掌握
反比例函数的性质是解题的关键．
1 k
【变式10-1】（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，直线y= x+m与反比例函数y= (x>0)交于点
2 x
1
A(2,4)，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y= x+m于点E．若
2
OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，则点C坐标为 ．
【答案】(4,2)
1
【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质．先求得直线y= x+3，反比
2
8 ( 8)
例函数解析式y= ，设C n, ，根据OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，得到
x n
CE=OB=3，据此列出关于n的方程，解方程即可求解．
k 1
【详解】解：∵反比例函数y= (x>0)经过点A(2,4)，直线y= x+m经过点A(2,4)，
x 2
1
∴k=2×4=8，4= ×2+m，
2
∴m=3
1 8
∴y= x+3，y= ，
2 x
令x=0，则y=3，
即OB=3．( 8)
设C n, ，且n>0，
n
( 1 )
∴E n, n+3 ．
2
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S =S ，
△BOE △COE
∴CE=OB=3，
1 8
∴ n+3− =3，
2 n
解得n=4或n=−4（不符合题意，舍去），
经检验n=4是原方程的解，
∴点C的坐标为(4,2)．
故答案为：(4,2)．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由12个边长为1的正方形所
k
组成的图形，反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象与图形外侧两个交点记为A点，B点，若线段AB把该图
x
形分成面积为5:7的两部分，则k的值为 ．
9
【答案】3或
2
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数，解一元一次方程等．根据题意可
得线段AB把该图形分成面积为5和7的两部分，得出点A的纵坐标为1，点B的纵坐标为3，代入反比例解
k
析式求出点A和点B的坐标，得出BC= −1，AD=k−1，CD=2，求出梯形ABCD的面积，再加上3个
3
小正方形的面积，可得出线段AB的左侧部分图形的面积，据此列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：如图：∵线段AB把该图形分成面积为5:7的两部分，且图形的总面积是12，
∴线段AB把该图形分成面积为5和7的两部分，
根据题意可得点A的纵坐标为1，点B的纵坐标为3，
k
∵反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象与图形外侧两个交点记为A点，B点，
x
(k )
故A(k,1)，B ,3 ，
3
k
则BC= −1，AD=k−1，CD=2，
3
1 (k ) 4
故梯形ABCD的面积为： × −1+k−1 ×2= k−2，
2 3 3
4 4
即 k−2+3=5或 k−2+3=7，
3 3
9
解得：k=3或k= ．
2
9
故答案为：3或 ．
2
k
【变式10-3】（2024·山东聊城·中考真题）如图，直线y=px+3(p≠0)与反比例函数y= (k>0)在第一象
x
限内的图象交于点A(2,q)，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线
y=px+3于点E，且S :S =3:4．
△AOB △COD
(1)求k，p的值；(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
1
【答案】(1)k=8，p=
2
(2)点C的坐标为(4，2)
【分析】（1）先求出点B的坐标，得到OB=3，结合点A的横坐标为2，求出△AOB的面积，再利用
( k )
S :S =3:4求出S =4，设C m, ，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A
△AOB △COD △COD m
横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线y=px+3(p≠0)即可求解；
（2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列
出关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵直线y=px+3与y轴交点为B，
∴B(0,3)，
即OB=3．
∵点A的横坐标为2，
1
∴S = ×3×2=3．
△AOB 2
∵S :S =3:4，
△AOB △COD
∴S =4，
△COD
( k )
设C m, ，
m
1 k
∴ m⋅ =4，
2 m
解得k=8．
8
∵点A(2,q)在双曲线y= 上，
x
∴q=4，
1
把点A(2,4)代入y=px+3，得p= ，
2
1
∴k=8，p= ；
2
( k )
（2）解：由（1）得C m, ，
m( 1 )
∴E m, m+3 ．
2
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S =S ，
△BOE △COE
3 m(1 )
∵S = m，S = m+3 −4，
△BOE 2 △COE 2 2
3 m(1 )
∴ m= m+3 −4，
2 2 2
解得m=4或m=−4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函
数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
