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专题 26.3 反比例函数与几何综合
◆ 典例分析
k
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (x<0)的图象与等边△OAB相交．
x
（1）如图1，当反比例函数的图象经过△OAB的顶点A时，若OB=6，求反比例函数的表达式；
（2）如图1，若点M是第（1）小题反比例函数图象上的一点，且满足△OAM的面积与△OAB的面积相
等，求点M的坐标；
（3）如图2，反比例函数的图象分别交△OAB的边OA,AB于C，D两点，连接CD并延长交x轴于点E，
连接OD，当AD=OC=4时，求S :S 的值．
△OCD △ODE
【思路点拨】
（1）过点A作AF⊥BO于点F，根据等边三角形的性质可得OA=OB=6,∠AOB=60°，再结合勾股定
理可得点A的坐标为 ，即可求解；
(−3,3❑√3)
（2）分两种情况，当点B，M在OA的同侧时；当点B，M在OA的两侧时，即可求解；
（3）过点C作 轴于点P，过点D作 轴于点Q，设 ，再求出点C的坐标为
CP⊥x DQ⊥x OB=a (−2,2❑√3)
，点D的坐标为( a ❑√3a )，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标
− −2, −2❑√3
2 2
为 ，从而得到 ，再求出直线 的解析式，可得点E的坐标为
(−2❑√2−2,2❑√6−2❑√3) CD2=80−48❑√2 CD
， 从而得到 ，即可求解．
(−2❑√2−4,0) DE2=40−24❑√2
【解题过程】（1）解：过点A作AF⊥BO于点F，
∵△ABO是等边三角形，OB=6，
∴OA=OB=6,∠AOB=60°，
又∵AF⊥BO，
1
∴OF= BO=3,∠AFO=90°，
2
∴ ，
AF=❑√AO2−OF2=❑√62−32=3❑√3
∴点A的坐标为 ，
(−3,3❑√3)
k
∵反比例函数y= (x<0)的图象经过点A，
x
∴k=−3×3❑√3=−9❑√3，
9❑√3
∴反比例函数表达式为：y=− ；
x
（2）解：当点B，M在OA的同侧时，如图，连接BM，分别过点B，M作BK⊥OA,MH⊥OA，垂足
分别为点K，H，则BK∥MH，
∵△OAM的面积与△OAB的面积相等，
1 1
∴ OA×MH= OA×BK，
2 2
∴MH=BK，
∴四边形BKHM是平行四边形，
∴BM∥OA，设直线OA的解析式为y=k x，
1
把点 代入得：
(−3,3❑√3)
3❑√3=−3k，解得：k=−❑√3，
∴直线OA的解析式为y=−❑√3x，
可设直线BM的解析式为y=−❑√3x+b，
∵OB=6，
∴点B的坐标为(−6,0)，
把点(−6,0)代入y=−❑√3x+b，得：
0=−❑√3×(−6)+b，解得：b=−6❑√3，
∴直线BM的解析式为y=−❑√3x−6❑√3，
{y=−❑√3x−6❑√3
)
联立得：
9❑√3
y=−
x
解得：{ x=−3+3❑√2 )（舍去）或{ x=−3−3❑√2 )，
y=−3❑√3−3❑√6 y=−3❑√3+3❑√6
∴点M的坐标为 ；
(−3−3❑√2,3❑√6−3❑√3)
当点B，M在OA的两侧时，如图，分别过点M，A作ML⊥y轴，AN⊥y轴，垂足分别为L，N，则
AN=3，ON=3❑√3，
设点M的坐标为( 9❑√3)，则 9❑√3，
m,− ML=−m,OL=−
m m
9❑√3
∴ln=− −3❑√3，
m
∵△OAM的面积与△OAB的面积相等，1
∴S = ×6×3❑√3=9❑√3，
△OAM 2
∴ ，
S +S −S =9❑√3
梯形AMLN △AON △MON
∴1 ( 9❑√3 ) 9❑√3 9❑√3 ，
×(−m+3)× − −3❑√3 + − =9❑√3
2 m 2 2
解得：m=3−3❑√2或3+3❑√2（舍去），
∴点M的坐标为 ；
(3−3❑√2,3❑√6+3❑√3)
综上所述，点M的坐标为 或 ；
(−3−3❑√2,3❑√6−3❑√3) (3−3❑√2,3❑√6+3❑√3)
（3）解：如图，过点C作CP⊥x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，设OB=a，
∵△ABO是等边三角形，，
∴∠AOB=∠ABO=60°,OA=AB=OB=a，
∴∠OCP=30°,∠BDQ=30°，
∵AD=OC=4，
1 1 a
∴BD=a−4，OP= OC=2，BQ= BD= −2，
2 2 2
❑√3a
∴CP=❑√OC2−OP2=2❑√3,DQ=❑√BD2−BQ2= −2❑√3，
2
(a ) a
∴OQ=a− −2 = +2，
2 2
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为( a ❑√3a )，
(−2,2❑√3) − −2, −2❑√3
2 2
∵点C，D均在反比例函数解析式上，
∴( a ) (❑√3a ) ，
− −2 × −2❑√3 =−2×2❑√3
2 2解得：a=−4❑√2（舍去）或4❑√2，
∴点D的坐标为 ，
(−2❑√2−2,2❑√6−2❑√3)
∴ ，
CD2=(−2❑√2−2+2) 2+(2❑√6−2❑√3−2❑√3) 2=80−48❑√2
设直线CD的解析式为y=k x+b ，
2 2
把点 ， 代入得：
(−2,2❑√3) (−2❑√2−2,2❑√6−2❑√3)
{2❑√6−2❑√3=(−2❑√2−2)k
2
+b
2
)，解得： {k
2
=❑√6−❑√3)，
2❑√3=−2k +b b =2❑√6
2 2 2
∴直线 的解析式为 ，
CD y=(❑√6−❑√3)x+2❑√6
当 时， ，
y=0 0=(❑√6−❑√3)x+2❑√6
解得：x=−2❑√2−4，
∴点E的坐标为 ，
(−2❑√2−4,0)
∴ ，
DE2=(−2❑√2−2+2❑√2+4) 2+(2❑√6−2❑√3) 2=40−24❑√2
∴CD2 80−48❑√2 ，
= =2
DE2 40−24❑√2
(CD) 2
即 =2，
DE
CD
∴ =❑√2
DE
∴ ．
S :S =CD:DE=❑√2
△OCD △ODE
◆ 学霸必刷
k
1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点B(−1,1)，C(1,4)，反比例函数y= 经过点C，点P在线段
x
BC上，过点P作直线PQ与x轴平行，交反比例函数图像于点Q，再分别过点P和点Q作x轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（ ）
121 125
A． B． C．4 D．5
24 24
2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 在双
xOy A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2
2 4
曲线y= 上，00)与双曲线y= (x>0)交于A，B两
x
点，连接OA，OB，AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N；有以下结论：①OA=OB；②
△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S =k；④ON−BN=1时，AB=❑√2，其中结论正确的是
△AOB
（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
k
5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数y= (x>0)的图象与直线AB交于点A(2, 3)，直
x
线AB与x轴交于点B(4, 0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面直角坐标系内
存在点D使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 ．
a
6．（2023·上海长宁·三模）如图， ▱OABC的顶点B，C分别落在反比例函数y= (a>0,x>0)和
x
b
y= (b<0,x<0)的图象上，连结OB，将△OBC沿着OB翻折，点C的对应点D恰好落在
xa a
y= (a>0,x>0)的图象上，OD与BA交于点E．已知△OBE的面积为6，OE=3DE，则 的值为
x b
．
7．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，
k
AB=2，∠AOB=30°，反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．D为该反比例函数图象上
x
的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
6
8．（23-24九年级下·山东济宁·自主招生）如图，点A是反比例函数y= (x>0)的图象上一点，过点A作
x
6
直线y=−x的垂线，垂足为点B，再过点A作AC⊥AB交y= (x>0)的图象于点C，若△ABC是等腰三
x
角形，则点B的坐标是 ．
2
9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，正方形A B P P 的顶点P 、P 在反比例函数y= (x>0)
1 1 1 2 1 2 x
的图象上，顶点A 、B 分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P P A B ，顶点P 在反比例
1 1 2 3 2 2 3
2
函数y= (x>0)的图象上，顶点A 在x轴的正半轴上．求点P ，P 的坐标．
x 2 2 310．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数
k
y= (x>0)的图像交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为2cm,AB=3cm,CD=1.5cm．
x
（1）求反比例函数解析式；
（2）连接OA,OC，求△OAC的面积；
k
（3）点P在反比例函数y= (x>0)的图像上，点Q在坐标轴上，若以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平
x
行四边形，请直接写出点Q的坐标．11．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在△ABO中，AO=AB，点A的坐标为(5,0)，点B(2,a)在
k
反比例函数y= 1(x>0)的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在
x
k
反比例函数y= 2(x>0)的图象上．
x
（1）求k ，k 的值；
1 2
k k
（2）若P，Q分别为反比例函数y= 1(x>0)，y= 2(x>0)图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的
x x
四边形为平行四边形，求点P的坐标．m
12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，一次函数y=kx+3与反比例函数y= 的图象交于点P，点
x
P在第四象限，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，点D，
且S =27，AO=3CO．
△DBP
（1）求反比例函数的表达式
（2）请写出当x取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？
（3）点Q是反比例函数图象上一个动点，连接AQ，PQ，并把△APQ沿AP翻折得到四边形AQPG，求
出使四边形AQPG为菱形时点Q的坐标．13．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与坐标轴分别交于点A、点B，且与反
m
比例函数y= (m≠0)图象交于点C(1,4)、点D(−4,n)：
x
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
m
（2）如图2，点P为反比例函数y= (m≠0)图象在第一象限上的一点，且在点C的右边，当△ADP的面
x
积为6时，y轴上有一点Q，若|QD−QP)有最大值时，求出这个最大值：
（3）如图3，将△AOB沿着射线OC的方向平移2❑√17个单位，点B平移后的对应点为B′，y轴上有一点
E，平面中有一点F，当以点C、B′、E、F为顶点的四边形是以CB′为边的菱形时，直接写出点F的坐
标．k
14．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线y= 经过 ▱ABCD的C、D两点，且点
x
A(−1,0)，B(0,−2)，C(2,2)．
（1）求双曲线和直线DC对应的函数关系式；
k
（2）如图2，点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边是平行四边形，
x
请直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（3）如图3，以线段AB为对角线作正方形AFBH，点T是边AF（不含点A、F）上一个动点，点M是
HT的中点，MN⊥HT，交AB于点N．当T在AF上运动时，∠THN的度数是否会变化？若会的话，请
给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论．k
15．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知点A(3,m+2)，B(m+4,2)都在反比例函数y= 的图象
x
上．
（1）求m，k的值；
k
（2）如图②，点C为反比例函数y= 第三象限上一点，
x
①当△ABC面积最小时，求点C的坐标；
②若点B和点C关于原点O对称，点Q为双曲线AB段上任一动点，试探究∠ACQ与∠ABQ大小关系，并
说明理由．k
16．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数y=x+8的图象与反比例函数y= (x<0)的图象交
x
于A(a,6)，B(−6,b)两点．
（1）求此反比例函数的表达式：
（2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值．
（3）M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N；使△MBN是以MN为底的等腰
直角三角形?若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．k (8 )
17．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，函数y= (x>0)的图象过点A(n,2)和B ,2n−3 两点．点C
x 5
是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且S =6，
△AOC
（1）求反比例函数解析式及C点的坐标；
（2）过C点作CD∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△≝¿是以DE为
腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．k
18．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与正方形
x
1
OABC的边AB交于点E(−3，4)，与边BC交于点D，一次函数y= x+b的图象经过点D，与边AB交于
2
点F．
（1）求点F的坐标：
（2）连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明；
（3）在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使MN=2，且使四边形AMND的周长最小，则点M的坐
标为 ，四边形AMND的周长最小为 ．19．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图1，正方形ABCD中，C(−2,0)，D(0,3)．过A点作
AF⊥y轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF；
（2）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得以点
A、C、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理
由．20．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 在反比例函数
xOy A(❑√3,2)
k
y= (k>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，
x
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AB、OB，OB
交AC于点F，若点C是OD的中点，求△ABF的面积；
（3）点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如
果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）
