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热点专题系列(六)
电磁感应中的“杆和导轨”模型
热点概述：电磁感应中的“杆－轨”运动模型，是导体切割磁感线运动过程中
动力学与电磁学知识的综合应用，此类问题是高考命题的重点。
[热点透析]
单杆模型
初态
v0
≠0
v0
＝0
质量为m、电
轨道水平光
阻不计的单杆 轨道水平光 轨道水平光
滑，单杆ab质
示意图 ab以一定初速 滑，单杆ab质 滑，单杆ab质
量为m，电阻
量为m，电阻
量为m，电阻
度v0 在光滑水
不计，两平行
不计，两平行
不计，两平行
平轨道上滑
导轨间距为l，
导轨间距为l，
导轨间距为l
动，两平行导
拉力F恒定
拉力F恒定
轨间距为l
Δt时间内流入
电容器的电荷
当E ＝E时，
感
运动分析 导体杆做加速 量Δq＝CΔU
当a＝0时，v
度越来越小的
v最大，且vm
＝CBlΔ
v
最大，vm ＝，杆
减速运动，最 ＝，最后以vm
电流I＝＝CBl
开始匀速运动
终杆静止
匀速运动
＝CBla
安培力F ＝
安IlB＝CB2l2a
F－F ＝ma，
安
a＝，
所以杆以恒定
的加速度匀加
速运动
外力做功转化 外力做功转化
电能转化为动
动能转化为内 为动能和内 为电能和动
能和内能，E
能量分析 电
能，W ＝E ＋
能，m v＝Q 能，W
F
＝m v＋ F 电
＝m v＋Q
Q m v 2
注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用
分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。
(2020·山东省聊城市一模)(多选)如图所示，宽为L的水平光滑金属轨
道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电
容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应
强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨向
“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t 后，将开
0
关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的
是( )
A．开关拨向“1”时，导体棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．开关拨向“2”时，导体棒可能先做加速度逐渐减小的减速运动
C．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
D．t 时刻电容器所带的电荷量为
0
解析 开关拨向“1”时，经过Δt，电容器充电ΔQ＝C·ΔE＝CBL·Δ v，流过导体
棒的电流I ＝，对导体棒应用牛顿第二定律有 F－BI L＝ma ，联立得F－BL＝
0 0 0ma ，根据加速度的定义式a＝得a ＝，加速度为定值，所以导体棒做匀加速直线运
0 0
动，故A错误；开关拨向“2”时，某时刻导体棒受到的安培力表达式为F ＝BIL＝
A
BL＝，根据楞次定律可知安培力阻碍导体棒的相对运动，方向水平向左，若安培力
大于F，则导体棒做减速运动，根据牛顿第二定律F －F＝ma，导体棒速度减小，
A
加速度减小，所以导体棒可能做加速度减小的减速运动，故B正确；开关拨向“2”
后，导体棒匀速运动时，导体棒受力平衡，则F＝，解得v1 ＝，故C正确；开关拨向
“1”时，导体棒做匀加速直线运动，经过t 时间，导体棒产生的电动势E ＝BL·a t
0 0 0 0
＝，此时电容器所带的电荷量Q＝CE ＝，故D错误。
0
答案 BC
双杆模型
1.模型特点
(1)一杆切割时，分析同单杆类似。
(2)两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl( v1 －v2 )。
2．电磁感应中的“双杆”问题分析
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图
质量m ＝m 质量m ＝m
1 2 1 2
电阻r ＝r 电阻r ＝r
1 2 1 2
长度l ＝l 长度l ＝2l
1 2 1 2
运动分析 杆MN做变减速运动，杆PQ
做变加速运动，稳定时，两杆 稳定时，两杆的加速度均为
的加速度均为零，以相等的速 零，两杆的速度之比为1∶2
度匀速运动能量分析 一部分动能转化为内能，Q＝－ΔE
k
(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨 不光滑平行导轨
摩擦力F ＝F
f1 f2
示意图 质量m ＝m
1 2
质量m ＝m
1 2
电阻r ＝r
1 2
电阻r ＝r
1 2
长度l ＝l
1 2
长度l ＝l
1 2
开始时，若F≤2F，则PQ杆
f
先变加速后匀速运动；MN杆
运动分析
静止。若F>2F，PQ杆先变加
f
开始时，两杆做变加速运动；
速后匀加速运动，MN杆先静
稳定时，两杆以相同的加速度
止后变加速最后和PQ杆同
做匀加速运动
时做匀加速运动，且加速度相
同
外力做功转化为动能和内能
外力做功转化为动能和内能，
能量分析 (包括电热和摩擦热)，W ＝
F
W ＝ΔE ＋Q
F k
ΔE ＋Q ＋Q
k 电 f
(2020·山东省肥城市适应性训练)(多选)如图，平行光滑金属导轨M、N
固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中，完全相同的两金属棒P、Q搭放在
导轨上，开始均处于静止状态，给P施加一与导轨平行的恒定拉力作用，运动中两
金属棒始终与导轨垂直并与导轨接触良好。设导轨足够长，除两棒的电阻外其余
电阻均不计，则两棒的速度及棒中的感应电流随时间变化的图像正确的是( )解析 在恒定拉力的作用下，P向右运动切割磁感线，产生感应电流，由右手
定则判断知，回路中产生逆时针方向的感应电流，由左手定则判断可知，Q棒所受
的安培力方向向右，故Q向右做加速运动；Q向右运动后，开始阶段，两棒的速度
差增大，回路中产生的感应电动势增大，感应电流增大，两棒所受的安培力都增大，
则P的加速度减小，Q的加速度增大，当两者的加速度相等时，速度之差不变，感
应电流不变，安培力不变，两棒做加速度相同的匀加速运动。故A、D正确，B、C错
误。
答案 AD
[热点集训]
1. (2020·河北省石家庄市教学质量检测)如图所示，水平面内有一平行金属导
轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，且与导轨接触良好。
导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直。t＝0时，将开关S由1掷
向2，分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大小和
加速度大小，则下列图像中正确的是( )
答案 D
解析 分析导体棒的运动情况：开关S由1掷向2，电容器放电，会在电路中
产生电流，导体棒中有电流通过，会受到安培力的作用，会产生加速度而加速运动，
则导体棒切割磁感线产生感应电动势，速度增大，感应电动势增大，则电路中电流
减小，导体棒所受安培力减小，加速度减小，因导轨光滑，所以在有电流通过棒的过程中，棒一直加速运动，加速度逐渐减小，速度逐渐增大；当感应电动势等于电
容器两端的电压时，电路中无电流，导体棒做匀速运动，加速度为零，速度达到最
大值，此时电容器所带电荷量q＝CU不为零。综上所述，A、B、C错误，D正确。
2．(2021·福建省宁德市高三第一次质量检查)(多选)如图所示，有竖直向下的
匀强磁场穿过水平放置的光滑平行金属导轨，导轨左端连有电阻R，质量相等、长
度相同的铁棒和铝棒静止在轨道上。现给两棒一个瞬时冲量，使它们以相同初速
度v0 向右运动，两棒滑行一段距离后停下，已知铁棒和铝棒始终与导轨接触且垂
直，铁的电阻率大于铝的电阻率，则(不考虑磁化)( )
A．在速度为v0 时，两棒的端电压U
ab
＝U
cd
B．铝棒运动的时间小于铁棒运动的时间
C．运动过程中，铁棒中间时刻的加速度等于初始时刻加速度的一半
D．整个运动过程中，甲回路中磁通量的变化量大于乙回路中磁通量的变化量
答案 BD
解析 铁的密度大于铝的密度，铁棒和铝棒质量相等，长度相同，可知铁棒的
横截面积小于铝棒的横截面积，又由铁的电阻率大于铝的电阻率及r＝ρ可知，铁
棒电阻r
铁
大于铝棒电阻r
铝
，铁棒和铝棒的初速度均为v0 ，根据法拉第电磁感应定
律，棒中感应电动势均为E＝BL
v0
，由闭合电路欧姆定律知回路中电流为I＝，而
电阻R两端电压为U＝IR＝，由于铁棒和铝棒的电阻r不同，故铁棒和铝棒的端电
压U ≠U ，故A错误；由于铝棒的电阻小于铁棒的电阻，根据 ＝，可知铝棒受到
ab cd 安
的平均安培力大于铁棒受到的平均安培力，根据动量定理有－ 安 Δt＝0－m v0 ，可知
铝棒运动的时间小于铁棒运动的时间，故B正确；根据牛顿第二定律可知a＝，铁
棒做加速度减小的减速运动，铁棒在中间时刻的速度小于，则铁棒在中间时刻的
加速度小于初始时刻加速度的一半，故 C错误；根据动量定理可知－ Δt＝0－
安m v0 ，而 安 Δt＝＝＝，解得ΔΦ＝，又因铁棒的电阻大，则整个运动过程中，甲回路中
磁通量的变化量大于乙回路中磁通量的变化量，故D正确。
3.(2020·山东省泰安市适应性训练)如图所示，在水平面上有两条导电导轨
MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小
为B。两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直，
它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆与导轨间的摩擦
不计。杆1以初速度v0 滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况
下，最初摆放两杆时的最小距离之比为( )
A．1∶1 B.1∶2
C.2∶1 D.3∶1
答案 C
解析 若杆2固定，设最初摆放两杆时的最小距离为x ，对杆1由动量定理得
1
－Bdt＝0－m
v0
，q＝t＝＝，解得x
1
＝；若杆2不固定，设最初摆放两杆时的最小距
离为x 2 ，两者最终速度为v，根据动量定理，对杆1有－B I′]dt′＝m v－m v0 ，对
杆2有B I′]dt′＝m v，电荷量q′＝ I′]t′＝＝，解得x
2
＝，则x
1
∶x
2
＝2∶1，故
C正确，A、B、D错误。
4.(2020·山东省枣庄市二调模拟)(多选)如图所示，足够长的水平光滑金属导轨
所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小
为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质
量为m；长度均为l，电阻均为r；其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行
于导轨水平向右的初速度v0 。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在
两导体棒运动过程中，下列说法正确的是( )A．任何一段时间内，导体棒b动能增加量跟导体棒a动能减少量的数值总是
相等的
B．任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相
等、方向相反
C．全过程中，通过导体棒b的电荷量为
D．全过程中，两棒共产生的焦耳热为
答案 BCD
解析 根据题意可知，两棒组成回路，电流大小相同，故所受安培力的合力为
零，动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总
是大小相等、方向相反，根据能量守恒定律可知，a动能减少量的数值等于b动能
增加量与系统产生的电热之和，故A错误，B正确；a、b最终共速，设最终速度为
v，由动量守恒定律有2m
v0
＝(2m＋m) v，对b棒由动量定理有m v－0＝Bl·t＝Blq，
联立解得q＝，根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为Q＝×2m v－(2m＋m)
v
2
＝，故C、D正确。
5．(2020·北京市海淀区查漏补缺)水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨
两导轨间距为d，在导轨上有质量为m的导体杆。整个装置处于方向竖直向下、磁
感应强度大小为B的匀强磁场中。现用一水平恒力F向右拉动导体杆由静止开始
运动，杆与导轨之间的摩擦和空气阻力，以及导轨的电阻均可忽略不计。假设导轨
长度足够长，磁场的范围也足够大，在整个运动过程中杆与导轨保持垂直且良好
接触。
(1)若在导轨之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆接入两轨道之间的电阻
为r，如图甲所示，求：
①导体杆所能达到的最大速度vm ；
②导体杆运动距离为s 过程中，通过电阻R的电荷量q。
0(2)若导体杆的电阻可忽略不计，在导轨之间接有一电容为C的不带电的电容
器，如图乙所示，在电容器不会被击穿的情况下，
①求电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小v的关系；
②请分析说明导体杆运动的性质，并求出导体杆在时间t内通过的位移s大小
答案 (1)① ②
(2)①Q＝CBd v ②匀加速直线运动
解析 (1)①当导体杆所受安培力与拉力 F大小相等时速度最大，即有 F＝F
A
＝BId
此时电流为I＝＝
联立解得vm ＝。
②由公式q＝Δt得q＝Δt＝Δt＝。
(2)①导体杆切割磁感线产生感应电动势，则电容器两端电压为U＝Bd
v
电荷量为Q＝CU＝CBd v。
②对导体杆由牛顿第二定律得F－Bid＝ma
其中i＝＝＝CBda
整理得a＝
则导体杆做匀加速直线运动，导体杆在时间t内通过的位移s＝at2＝×＝。
6．(2021·八省联考河北卷)如图1所示，两条足够长的平行金属导轨间距为0.5
m，固定在倾角为37°的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为1 Ω的电阻。在MN下方
存在方向垂直于斜面向上、大小为1 T的匀强磁场。质量为0.5 kg的金属棒从AB
处由静止开始沿导轨下滑，其运动过程中的v t图像如图2所示。金属棒运动过程
中与导轨保持垂直且接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，取g＝10 m/s2，sin37°＝
0.6，cos37°＝0.8。(1)求金属棒与导轨间的动摩擦因数；
(2)求金属棒在磁场中能够达到的最大速率；
(3)已知金属棒从进入磁场到速度达到5 m/s时通过电阻的电荷量为1.3 C，求
此过程中电阻产生的焦耳热。
答案 (1)0.25 (2)8 m/s (3)2.95 J
解析 (1)由图2可知，金属棒在0～1 s内做初速度为0的匀加速直线运动，1
s后做加速度减小的加速运动，可知金属棒第1 s末进入磁场。
在0～1 s过程中，由图2可知，金属棒的加速度
a＝＝4 m/s2
在该过程中，沿斜面只有重力的分力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律有
mgsin37°－μmgcos37°＝ma
联立解得，金属棒与导轨间的动摩擦因数
μ＝0.25。
(2)金属棒在磁场中达到最大速率时，金属棒处于平衡状态，设金属棒的最大
速率为vm
金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E＝BL
vm
根据闭合电路欧姆定律有I＝
根据安培力公式有F ＝ILB
A
根据平衡条件有F ＋μmgcos37°＝mgsin37°
A
联立并代入数据解得vm ＝8 m/s。
(3)根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律，可得金属棒从进入磁场至
速度达到v2 ＝5 m/s通过电阻的电荷量为
q＝t＝＝＝＝解得金属棒在磁场下滑的位移x＝＝2.6 m
在该过程中，对金属棒，由动能定理有
mgxsin37°－μmgxcos37°－W
A
＝m v－m
v
此过程中电阻产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W
A
联立以上各式，解得此过程中电阻产生的焦耳热
Q＝2.95 J。
7．(2020·湖北省武汉市六月模拟)如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨
固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L。导轨所在空间被分成区域
Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，
Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B。在区域Ⅰ中，
将质量为m、电阻为R的导体棒ab放在导轨上，且被两立柱挡住，在区域Ⅱ中将
质量为2m、电阻为R的导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，经时间t，ab刚好
离开立柱。ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。
试求：
(1)t时刻cd棒的速度大小vt ；
(2)在时间t内cd棒产生的电能E ；
cd
(3)ab棒中电流的最大值。
答案 (1) (2)－ (3)
解析 (1)t时刻cd棒的速度大小为vt ，由法拉第电磁感应定律，得E＝BL vt
由闭合电路欧姆定律，得I＝
分析ab棒受力，得BIL＝mgsin30°
联立解得vt ＝。
(2)设在时间t内cd棒下滑的距离为x，由动量定理得
(2mgsin30°)t－t＝2m
vt
－0又＝BL
＝＝
由能量守恒定律，得E
cd
＝(2mgsin30°)x－·2m
v
联立解得E ＝－。
cd
(3)两根棒均切割磁感线时，有i＝
对ab棒有BiL－mgsin30°＝ma
ab
对cd棒有2mgsin30°－BiL＝2ma
cd
当电流最大时，vcd －vab 最大，a
ab
＝a
cd
联立解得I ＝。
m
