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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
用样本估计总体专题
【基础知识回顾】
一、数据的代表：
1、平均数：⑴算术平均数 如果有n个数x1 ,x2 ,x3 …xn那么它们的平均数
=
⑵加权平均数：若在一组数据中x1出现f1次，x2出现f2次...... xk出现fk次,则其平均数 =
（其中f1+ f2+...... fk=n）
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 或 叫做这组数据
的中位数。
3、众数：在一组数据出现次数 的数据，称为该组数据的众数
【名师提醒：1、平均数：中位数和众数从不同的角度描述了一组数据的
2、在一组数据中，平均数、中位数都是唯一的，而众数可能 ，求中位数时 一定要
先将原数据 】
二、数据的波动：
1、极差：一组数据中 与 的差，叫做这组数据的极差
2、方差：n个数据x1 ,x2 ,x3 …xn的平均数为 ，则这组数据的方差
S 2=
3、标准差：方差的 叫做标准差。
【名师提醒：极差、方差、标准差都是反应一组数据 大小的，其值越大，说明这组数
据波动 】
【典型例题解析】
考点二：算术平均数与加权平均数
例1 2013•牡丹江）若五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，则这五个数的平均数是
．
思路分析：首先根据众数与中位数的定义，得出这五个数据中的三个数，再根据一组数据由
五个正整数组成，得出其它两个数，最后由平均数的意义得出结果．
解：∵五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，
∴知道的三个数是3，7，7；
∵一组数据由五个正整数组成，
∴另两个为1，2；
∴这五个正整数的平均数是（1+2+3+7+7）÷5=4；
故答案为：4．
点评：本题考查了平均数、众数与中位数的意义，掌握平均数、众数与中位数的计算公式是解
题的关键．
例2 （2013•北京）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结
果如下表所示：
时间（小时） 5 6 7 8
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人数 10 15 20 5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）
A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时
思路分析：根据加权平均数的计算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算
即可．
解：根据题意得：
（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50
=（50+90+140+40）÷50
=320÷50
=6.4（小时）．
故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．
故选B．
点 评 ： 此 题 考 查 了 加 权 平 均 数 ， 用 到 的 知 识 点 是 加 权 平 均 数 的 计 算 公
式，根据加权平均数的计算公式列出
算式是解题的关键．
对应训练
1．（2013•张家界）若3，a，4，5的众数是4，则这组数据的平均数是 。
1．4
2．（2013•大连）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：
元）如下表所示：
金额/元 5 6 7 10
人数 2 3 2 1
]
这8名同学捐款的平均金额为（ ）
A．3.5元 B．6元 C．6.5元 D．7元
2．C
考点二：众数与中位数
例3 （2013•自贡）某班七个合作学习小组人数如下：4、5、5、x、6、7、8，已知这组数据的平
均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A ．5 B．5.5 C．6D．7
思路分析：根据平均数的定义先求出这组数据x，再将这组数据从小到大排列，然后找出最中
间的数即可．
解：∵4、5、5、x、6、7、8的平均数是6，
∴（4+5+5+x+6+7+8）÷7=6，
解得：x=7，
将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，
最中间的数是6；
则这组数据的中位数是6；
故选C．
点评：此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大
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（或从大到小 ）重新排列后，最中间的
那个数（最中间两个数的平均数）．
例4 （2013•成都）今年4月20日在雅安市芦山县发生了7.0级的大地震，全川人民众志成
城，抗震救灾．某班组织“捐零花钱，献爱心”活动，全班50名学生的捐款情况如图所示，则
本次捐款金额的众数是
元．
思路分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图即可作出判断．
解：捐款10元的人数最多，
故本次捐款金额的众数是10元．
故答案为：10．
点评：本题考查了众数及条形统计图的知识，解答本题的关键是掌握众数的定义．
对应训练
3．（2013•玉林）已知一组从小到大的数据：0，4，x，10的中位数是5，则x=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．B
4．（2013•铜仁地区）某公司80名职工的月工资如下：
月工资 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200
（元）
人数 1 2 3 4 10 20 22 12 6
则该公司职工月工资数据中的众数是
．
4．2000
考点三：极差与方差
例5 （ 2013 •乐山）乐山大佛景区2013
年5月份某周的最高气温（单位：℃）分别为：29，31，23，26，29，29，29．这组数据的极差为
（ ）
A．29 B．28 C．8 D．6
思路分析：根据极差的定义即可求解．
解：由题意可知，极差为31-2 3=8．
故选C．
点评：本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，解答本题的关键是掌
握求极差的方法：用一组数据中的最大值减去最小值．
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例6 （2013•茂名）小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成
绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是
．
思路分析：根据图中的信息找出 波动
性大的即可．
解：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大，
则这两人中的新手是小李；
故答案为：小李．
点评：本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组
数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这
组数据分布比较集中，各数据偏离平
均数越小，即波动越小，数据越稳定．
对应训练
5．（2013•贵港）若一组数据1，7，8，a，4的平均数是5、中位数是m、极差是n，则m+n=
．
5．12
6．（2013•营口）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差
分别为 ＝0.56， ＝0.45， ＝0.61，则三人中射击成绩最稳定的是
．
6．乙
考点四：统计量的选择
例7 （2013•德宏州）某品牌鞋店在一个月内销售某款女鞋，各种尺码鞋的销量如下表所示：
尺码/厘米 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量/双 35 40 30 17 8
通过分析上述数据，对鞋店业主的进货最有意义的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
思路分析：众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他
最关注的是数据的众数．
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解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选B．
点评：考查了众数、平均数、中位数和标准差意义，比较简单．
对应训练
7．（2013•深圳）某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小
颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（
）
A．最高分 B．中位数 C．极差 D．平均数
7．B
【聚焦山东中考】
1 ． （ 2013• 莱 芜 ） 一 组 数 据 ： 10 、 5 、 15 、 5 、 20 ， 则 这 组 数 据
的平均数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，12.5 C．11，12.5 D．11，10
1．D
2．（2013•泰安）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统
计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
2．A
3．（2013•临沂）在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这
组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
3．D
4．（2013•潍坊）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终
成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还
要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
4．D
5．（2013•东营）一组数据1，3，2，5，2，a的众数是a，这组数据的中位数是
．
5．2
6．（2013•青岛）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期调高成绩进行统计分析，结果如下：
=1.69m， =1.69m，S2 =0.0006，S2 =0.00315，则这两名运动员中
甲 乙
的成绩更稳定．
6．甲
7．（2013•济南）甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
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经计算， =10， =10，试根据这组数据估计
甲 乙
中水稻品种的产量比较稳定．
7．甲
8．（2013•菏泽）在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成
绩如下表所示：
成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．1.70，1.65 B．1.70，1.70 C．1.65，1.70 D．3，4
8．A
9．（2013•威海）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均
为100分．前6名选手的得分如下：
序号 1 2 3 4 5 6
项目
笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80
面试成绩/分 90 88 86 90 80 85
根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为
100分）
（1）这6名选手笔试成绩的中位数是
分，众数是
分．
（2）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩个占的百分比．
（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．
9．解：（1）把这组数据从小到大排列为，80，84，84，85，90，92，
最中间两个数的平均数是（84+85）÷2=84.5（分），
则这6名选手笔试成绩的中位数是84.5，
84出现了2次，出现的次数最多，
则这6名选手笔试成绩的众数是84；
故答案为：84.5，84；
（2）设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意得：
，
解得： ，
笔试成绩和面试成绩各占的百分比是40%，60%；
（3）2号选手的综合成绩是92×0.4+88×0.6=89.6（分），
3号选手的综合成绩是84×0.4+86×0.6=85.2（分），
4号选手的综合成绩是90×0.4+90×0.6=90（分），
5号选手的综合成绩是84×0.4+80×0.6=81.6（分），
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6号选手的综合成绩是80×0.4+85×0.6=83（分），
则综合成绩排序前两名人选是4号和2号．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2013•宿迁）下列选项中，能够反映一组数据离散程度的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
1．D
2．（2013•陕西）我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：111、96、47、68、
70、77、105，则这七天空气质量指数的平均数是（ ）
A．71.8 B．77 C．82 D．95.7
2．C
3．（2013•株洲）孔 明同学参加暑假军
事训练的射击成绩如下表：
射击次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
成绩（环） 9 8 7 9 6
则孔明射击成绩的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．C
4．（2013•荆门）在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如
图所示．对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是90 B．中位数是90 C．平均数是90 D．极差是15
4．C
5．（2013•岳阳）某组7名同学在一学期里阅读课外书籍的册数分别是：14，12，13，12，17，
18，16．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．12，13 B．12，14 C．13，14 D．13，16
5．B
6．（2013•襄阳）七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我
做起”，下表是从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：
节水量（m3） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．0.4和0.34 B．0.4和0.3 C．0.25和0.34 D．0.25和0.3
6．A
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7．（2013•乌鲁木齐）种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，
李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上
所结黄瓜根数的中位数和众数分别是（ ）
A．13.5，20 B．15，5 C．13.5，14 D．13，14
7．C
8．（2013•昭通）已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是9 B．中位数是9 C．众数是5 D．极差是5
8．D
9．（2013•重庆）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两
名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩
都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
9．B
10．（2013•贵阳）在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，
以决定最终买哪种粽子．下面的调查
数据中最值得关注的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
10．D
11．（2013•巴中）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成
绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．频数分布 D．中位数
11．B
二、填空题
12．（2013•沈阳）一组数据2，4，x，-1的平均数为3，则x的值是
．
12．7
13．（2013•柳州）学校组织“我的中国梦”演讲比赛，每位选手的最后得分为去掉一个最低
分、一个最高分后的平均数．7位评委给小红同学的打分是：9.3，9.6，9.4，9.8，9.5，9.1，9.7，
则小红同学的最后得分是
．
13．9.5
14．（2013•株洲）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平
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均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是
分．
14．88
15．（2013•资阳）若一组2，-1，0，2，-1，a的众数为2，则这组数据的平均数为 ．
15．
16．（2013•内江）一组数据3，4，6，8，x的中位数是x，且x是满足不等式组 的整
数，则这组数据的平均数是
．
16．5
17．（2013•十堰）某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为
．
分数 5 4 3 2 1
人数 3 1 2 2 2
17．3.1
18．（2013•黔西南州）有5个从小到大排列的正整数，中位数是3，唯一的众数是8，则这5个
数的和为
．
18．22
19．（2013•崇左）据崇左市气象预报：我市6月份某天中午各县（区）市的气温如下：
地名 江州区 扶绥县 天等县 大新县 龙州县 宁明县 凭祥市
气温 37（℃） 33（℃） 30（℃） 31（℃） 33（℃） 36（℃） 34（℃）
则我市各县（区）市这组气温数据的极差是
．
19．7℃
20．（ 2013•铁岭）甲、乙两名射击手的
50次测试的平均成绩都是8环，方差分别是S 2＝0.4，S 2＝1.2，则成绩比较稳定的是
甲 乙
（填“甲”或“乙”）
20．甲
21．（2013•眉山）为筹备班级里的新年晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，
最终买什么水果，该由调查数据的
决定（在横线上填写：平均数或中位数或众数）．
21．众数
22．（2013•莆田）统计学规定：某次测量得到n个结果x ，x ，…，x ．当函数y=(x−x )2+
1 2 n 1
(x−x )2+…+(x−x )2取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量
2 n
得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为
．
22．10.1
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23．（2013•龙岩）下列说法：
①对顶角相等；
②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是必然事件；
③若某次摸奖活动中奖的概率是 ，则摸5次一定会中奖；
④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查；
⑤若甲组数据的方差s2=0.01，乙组数据的方差s2=0.05，则乙组数据比甲组数据更稳定．
其中正确的说法是
．（写出所有正确说法的序号）
23．①④
三、解答题
24．（2013•梧州）某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知
识 两种考核，现将甲、乙、丙三人的考
核成绩统计如下：
候选人 百分制
教学技能考核成绩 专业知识考核成绩
甲 85 92
乙 91 85
丙 80 90
（1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人
将被录取．
（2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权．
计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取．
24．解：（1）甲的平均数是：（85+92）÷2=88.5（分），
乙的平均数是：（91+85））÷2=88（分），
丙的平均数是：（80+90）÷2=85（分），
∵甲的平均成绩最高，
∴候选人甲将被录取．
故答案为：甲．
（2）根据题意得：
甲的平均成绩为：（85×6+92×4）÷10=87.8（分），
乙的平均成绩为：（91×6+85×4）÷10=88.6（分），
丙的平均成绩为：（80×6+90×4）÷10=84（分），
因为乙的平均分数最高，
所以乙将被录取．
25．（2013•遂宁）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成
绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手
的决赛成绩如图所示．
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（1）根 据图示填写下表；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
平均数 中位数 众数
（分） （分） （分）
初中部 85
高中部 85 100
25．解：（1）填表：初中平均数为： （75+80++85+85+100）=85（分），
众数85（分）；高中部中位数80（分）．
（2）初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
（3）∵ = （75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（85-85）2+（100-85）2=70，
= （70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2=160．
∴ ＜ ，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
26．（2013•曲靖）甲、乙两名工人同时加工同一种零件，现根据两人7天产品中每天出现的次
品数情况绘制成如下不完整的统计图和表，依据图、表信息，解答下列问题：
相关统计量 表：
众数 中位数 平均数 方差
量
数
人
甲 2
乙 1 1 1
次品数量统计表：
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天
1 2 3 4 5 6 7
数
人
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0
（1）补全图、表．
（2）判断谁出现次品的波动小．
（3）估计乙加工该种零件30天出现次品多少件？
26．解：（1）：从图表（2）可以看出，甲的第一天是2，
则2出现了3次，出现的次数最多，众数是2，
把这组数据从小到大排列为0，1，2，2，2，3，4，最中间的数是2，
则中位数是2；
乙的平均数是1，则乙的第7天的数量是1×7-1-0-2-1-1-0=2；
填表和补图如下：
众数 中位数 平均数 方差
量
数
人
甲 2 2 2
乙 1 1 1
次品数量统计表：
1 2 3 4 5 6 7
天
数
人
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0 2
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（2）∵S 2= ，S 2= ，
甲 乙
∴S 2＞S 2，
甲 乙
∴乙出现次品的波动小．
（3）∵乙的平均数是1，
∴30天出现次品是1×30=30（件）．
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