文档内容
第 18 讲 解三角形
真题展示
2022 新高考一卷第 题
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．
【思路分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出 ．
（2）利用诱导公式把 用 表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即
可得出结论．
【 解 析 】 （ 1 ） 【 解 法 一 】 ( 交 叉 相 乘 ) ： ，
，
化为： ， ，
， ， ，
， ．
【解法二(半角公式)：由诱导公式及二倍角公式可得
，
由二倍角公式得 ，∵ ，∴tan =tanB，
又 ∈(− )，B∈(0,π)，∴ =B，即A= 2B，从而C= +B，又C=
，∴ +B= ，解得B= .
（2）【解法一】(统一为 C)：由（1）可得： ， ， ，
，
为钝角， ， 都为锐角， ．A= >0，得 ，，
，当且仅当
时取等号．
的最小值为 ．
【解法二】法二(统一为B)：由(1)知A= −2B∈(0,π)，B∈(0,π)，C= +B∈(0,π)，
解得，B∈(0, )，从而cosB∈( ,1),
由 正 弦 定 理 得 =
−5≥4 −5,当且仅当 4 = ， =
时取等号。
故 的最小值为4 −5。
【试题评价】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、
基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
考查目标
试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境.解三角形本质上是在三角形内蕴方
程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理）的基础上，把试题设
定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而求得三角形的全部或者部分度量
关系.试题考查正弦定理、三角函数两角和公式、二倍角公式等基础知识；同时
以三角函数为载体，考查了均值不等式的应用．试题考查内容强调基础，服
务"双减".
试题考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及理性思维、数学探索等学
科素养．试题考查的内容是解三角形的重点知识，涉及的最值求解问题也是学
生常见的形式，符合基础性、综合性的考查要求.知识要点整理
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平
语言
方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的
叙述
两倍
a2＝b2＋c2－2bccos A，
余弦 公式
b2＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ，
定理 表达
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
cos A＝，
推论 cos B＝，
cos C＝
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的
几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
知识点三 正弦定理
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
条件
b，c
结论 ＝＝
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
文字叙述
相等
知识点四 三角形中边与角之间的关系
1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
(1)cos A＝；cos B＝；cos C＝.
(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中R为△ABC外接圆的半径)
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，△ABC为钝角三角形；
(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，△ABC为直角三角形；
(3)若a20，cos B＝>0，cos C＝>0，△ABC为锐
角三角形．三年真题
1．在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为 ，即 ，而 ，代入得 ，解得：
．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，所以
．
（3）因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以
， ，而 ，所以
，故 ．
2．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为
，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
3．在 中， ．
(1)求 ；(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
（2）解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
4．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．
【详解】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所
以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
5．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
6．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
7．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
8．在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（I）求a的值；
（II）求 的值；
（III）求 的值．
【答案】（I） ；（II） ；（III）
【详解】（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；（II）由余弦定理可得 ；
（III） ， ，
， ，
所以 .
9．在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
10．在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【详解】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
11．记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得 的值.
【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
12．在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【详解】（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得
，
又因为 ，所以 ；（Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ；
（Ⅲ）由 知角 为锐角，由 ，可得 ，
进而 ，
所以 .
13．在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） , ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） , .
【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 ,再根据正
弦定理求 ,最后根据三角形面积公式求结果；
选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和
正弦公式求 ，再根据三角形面积公式求结果.
【详解】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I） ；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形
为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由 ，得 ，即 .
结合余弦定 ，∴ ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
∵ 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，
所以 ，
又B为 的一个内角，故 .
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由 ，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故 .
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为 ，并利用余弦定理整理得 ，
即 .
结合 ，得 .
由临界状态（不妨取 ）可知 .
而 为锐角三角形，所以 .
由余弦定理得 ，
，代入化简得故 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由 可得： ， ，
则 ， .
即 的取值范围是 .
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得
，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为
最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接
使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
15．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形
存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，
设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理由 可得： ，不妨设 ，
则： ，即 .
若选择条件①：
据此可得： ， ，此时 .
若选择条件②：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
若选择条件③：
可得 ， ，与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由 ，得 ．
由 ，得 ，即 ，
得 ．由于 ，得 ．所以 ．
若选择条件①：
由 ，得 ，得 ．
解得 ．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．
若选择条件②：
由 ，得 ，解得 ，则 ．
由 ，得 ，得 ．所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
若选择条件③：
由于 与 矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本
题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角 ，可求出角 ，从而可得
，再根据选择条件即可解出．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 .
（2）方法一：根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得
的值，进而求得 的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
[方法二]【最优解】：几何法过点A作 ，垂足为E．在 中，由 ，可得 ，又 ，所以
．
在 中， ，因此 ．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由 ，可得 ，从而
．
又由（1）可得 ，所以 ．
[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得 ．
在 中， ，
所以 ．
在 中，由正弦定理可得 ，
由此可得 ．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作 ，垂足为E，作 ，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得 ．
由 ，可得 ．
在 中， ．
由（1）知 ，所以在 中， ，从而
．
在 中， ．
所以 ．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得 ，然后使用正弦定理求得 ；方法二：抓住45°
角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得 的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式
求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得 的正弦值，进而
得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有 的直角三角形，进而求解，也是很优美
的方法.
17． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）已知角 和 边，结合 关系，由余弦定理建立 的方程，求解得出 ，利用面积公式，
即可得出结论；
（2）方法一 ：将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关 角的三角函
数值，结合 的范围，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得 ，
的面积 ；
（2）[方法一]：多角换一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及 得 ．故 ．
由 ，得 ．又由余弦定理得 ，所以 ，解得 ．
所以 ．
18． 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设 ，则 ，根据正弦定理可知 ，所以
，当且仅当 ，即时，等号成立．此时 周长的最大值为 ．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得 ，即 ．
令 ，得 ，易知当 时，
，
所以 周长的最大值为 ．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
即 ①，又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
三年模拟
一、单选题
1．双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 两点，
的内切圆圆心分别为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意如图所示：由双曲线 ，知 ，
所以 ，
所以 ，
所以过 作垂直于 轴的直线为 ，
代入 中，解出 ，
由题知 的内切圆的半径相等，
且 ， 的内切圆圆心
的连线垂直于 轴于点 ，
设为 ，在 中，由等面积法得：
由双曲线的定义可知：
由 ，所以 ，
所以 ，
解得： ，
因为 为 的 的角平分线，
所以 一定在 上，即 轴上，令圆 半径为 ，
在 中，由等面积法得：
，
又所以 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以
，
故选：A.
二、解答题
2．在 中，设角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，
得
即 ，
从而 ，
由 ，得 .（2）由 得 ，
从而 ，即
又因为 ，得
所以 ，即 ，
从而 ，
而 ，故
解得 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .
3．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在
四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、
BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中 米， 米， .
(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1
米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉
观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】(1)247.4m(2)应使得 ， 来修建观赏步道.
【详解】（1） ，
解得： ，
因为C是钝角，所以 .
由余弦定理得：
，
故需要修建247.4m的隔离防护栏；
（2）解法一： ，
当且仅达 时取到等号，此时 m，设 ， ，
在 中， ，
解得： ，
故
，
因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取的最大值为1，，
当且仅当 时取到等号，此时
答：修建观赏步道时应使得 ， .
解法二： ，
当且仅达 时取到等号，此时 ，
设 ， .则由余弦定理，
，
故由平均值不等式， ，
从而 ，
等号成立当且仅当 .
答：修建观赏步道时应使得 ， .
4．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小及a的值；
(2)求 面积的最大值，并求此时 的周长．
【答案】(1) ，
(2) 面积的最大值为 ，此时 的周长为
【详解】（1）∵ ，
∴由正弦定理得 ，∴ ，又∵ ，∴ ．∵ ，∴ ，
∵ （舍去），∴ ，∵ ，∴ ．
（2）由（1）知， ， ．由余弦定理得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
当且仅当 时取等号，此时 的周长为 ．
5． 的内角 的对边分别为 ,已知 ,
(1)若 为 边上一点, ,且 ,求 ;
(2)若 为平面上一点, ,其中 ,求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 可得 ,
即 ,
, ,
, .
,
即 ,
则 ,, ,
在 中,由正弦定理可得 ,
即 ,
解得 .
（2） ,
即 ,
则 ,
,
(*),
根据已知条件 ,
,
代入(*)式得: ,
当 时, 取得最小值为 .
6．在 中，内角 的对边分别为 ， .(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理及 得：
，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
（2）由 ，
所以 ，由（1） ，
所以 ，
因为 为 边上的中线，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 边上的中线 的长为： .
7．已知 分别为 内角 的对边，且
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解： ，
由正弦定理得 ，
所以由于 ，所以 ，则 ，又 ，所以 ；
（2）解：由（1）得 ，
由余弦定理得 ，
，
.
8．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，且 .
(1)求 的面积；
(2)若 是线段 的中点，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，又 ， ，
故 的面积 .
（2）因为 是线段 的中点，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 的长为 .
9．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公
园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以 中点A为圆心, 为半径的扇形草坪区 ,点 在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ
为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设 .
(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步
行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万
元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）
【答案】(1) (米)
(2)2022万元
【详解】（1）解:由题 ,
,同理 ,故 ,
由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于 的角平分线上,
则 ,
,
因为 , ,
所以 为等边三角形,
则 ,
因此三条街道的总长度为 （米）.（2）由图可知 ,
,
,
,
在 中由余弦定理可知:
,
则 ,
设三条步行道每年能产生的经济总效益 ,则
,当 即 时 取最大值,
最大值为 .
答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.
10．在 中， ， ， .
(1)求 的值.
(2)求 的周长和面积.
【答案】(1)
(2)周长为 ；面积为
【详解】（1）因为 并且 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，所以
因为 由正弦定理得：
即 即
所以 或 ，又因为 ，所以 与 只能同正，所以 ，故
，又因为 ，所以 , .
（2）由（1）得 ，根据正弦定理得： ，所以 ，
又因为根据正弦定理：
所以 的周长为：
的面积为：
11．在 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量 ， ，且
．
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知 ， ，
， ，得 ， ， .
（2）已知 ，根据正弦定理得 ，即 .
根据余弦定理得 ，
将 代入得 ，解得 ，即得 .
.
12．已知 ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c；
△
(1)若 ABC的面积 ，求B；
△
(2)若 ，求 ；【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理，通过化简整理可求出 ，即可求出角 的值；
（2）首先由 根据正弦定理得 ，利用角 的余弦定理得 ，最
后联立方程组，解方程组即可求出 的值.
【详解】（1）已知 ，化简得 ，
即得 ，又 ，故 .
（2）已知 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
由 ，得 ，即 ，
由 ，解得 .
故得 .
