文档内容
专题 5-1 解三角形十类题型汇总
近4年考情（2021-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年I卷第15题，13分
2024年II卷第15题，13分
2024年甲卷第11题，5分 高考对本节的考查不会有大的变
（1）正弦定理、余弦定理
化，仍将以考查正余弦定理的基
及其变形
2023年I卷II卷第17题，10分 本使用、面积公式的应用为主．
（2）三角形的面积公式并
从近五年的全国卷的考查情况来
2023年甲卷第16题，5分 能应用
看，本节是高考的热点，主要以
（3）实际应用
考查正余弦定理的应用和面积公
2023年乙卷第18题，12分
（4）三角恒等变换
式为主．
2022年I卷II卷第18题，12分
2021年I卷II卷第20题，12分
模块一 热点题型解读（目录）
总览
【题型1】拆角与凑角............................................................................................................................................2
类型一 出现了3个角（拆角）........................................................3
类型二 凑角........................................................................4
类型三 拆角后再用辅助角公式合并求角................................................6
类型四 通过诱导公式统一函数名......................................................8
【题型2】利用余弦定理化简等式.......................................................................................................................9
类型一 出现了角或边的平方.........................................................10
类型二 出现角的余弦（正弦走不通）.................................................12
【题型3】周长与面积相关计算.........................................................................................................................14
类型一 面积相关计算...............................................................15
类型二 周长的相关计算.............................................................18
【题型4】倍角关系..............................................................................................................................................21
类型一 倍角关系的证明和应用.......................................................21
类型二 扩角降幂...................................................................25
类型三 图形中二倍角的处理.........................................................26
【题型5】角平分线相关计算.............................................................................................................................30
【题型6】中线相关计算......................................................................................................................................35
【题型7】高线线相关计算.................................................................................................................................41
【题型8】其它中间线..........................................................................................................................................43
【题型9】 三角形解的个数问题.......................................................................................................................52
【题型10】解三角形的实际应用.......................................................................................................................56类型一 距离问题...................................................................56
类型二 高度问题...................................................................59
模块二 核心题型·举一反三(讲与练)
【题型1】拆角与凑角
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2） 内角和定理（结合诱导公式）：
①
同理有： ， .
② ；
③斜三角形中，
④ ；
类型一 出现了3个角（拆角）
1．在 中， ，求 的值
【答案】
【详解】因为 ，所以由正弦定理可得
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .【巩固练习1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 ，求C.
【答案】
解：因为 ，在△ABC中，由正弦定理得，
，又因为 ，
所以
展开得
因为sinA≠0，故
又因为 ，所以
【巩固练习2】（湛江一模）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
△
求A.
【答案】
【详解】 ，
所以 ，故 ．
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ，
故 ，
， ，所以 ，即 ， ，故 ．类型二 凑角
2．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，求角
【答案】(1)
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ,
由正弦定理得 ，
，
，即 ，且 ，
所以 ， ，则
【巩固练习 1】（2024届·广州·阶段练习）已知 中角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足
，求 的值
【答案】
【分析】已知等式利用正弦定理边化角,或利用余弦定理角化边,化简可求 的值；
【详解】（1）解法一：由 ，得 ．
由正弦定理 得 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，则 ．
因为 ，所以 ， ．
因为 ，所以 ．
解法二：由 ，得 ．
所以由余弦定理得 ，化简得 ，即 ，
因为 ，所以 ．
【巩固练习 2】在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，求
.
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
即 ，
，则 ，故 ，
即 ，也即 ， ，
所以 .
【巩固练习3】 ，求角C的大小.
【答案】
【巩固练习4】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，求C【答案】(1)
【详解】由正弦定理 ，得 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，则 ，可得 ，所以 ，
则 ，所以 ．
【巩固练习5】在 中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足 ，求A.
【答案】
【详解】 ，
所以 ，
由正弦定理得： ，
， ，
， ，
得 ，即 ， .
类型三 拆角后再用辅助角公式合并求角
3．（深圳一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，求A.【答案】 点评：拆角+辅助角公式
【解析】（1）由已知得， ，
由正弦定理可得， ，
因为 ，所以 ．代入上式，整理得
，
又因为 ， ，所以 ，即 ．
而 ，所以 ， ．
4．在 中， ，求A.
【答案】
【详解】在 中, ，
整理得 ，即
，于是
所以 ，
因为 ，所以 ，即
，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 . 点评：拆角+辅助角公式
【巩固练习1】锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，求A.
【答案】
【详解】∵ ，
而 .
【巩固练习2】已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 ，求角
的大小；
【答案】
【详解】由 及正弦定理，
得
即 ，
,
因为
所以 ，即 .
由于 ，所以 ， .
类型四 通过诱导公式统一函数名
5．在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，求 的值
【答案】
【详解】因为 ，所以由正弦定理可得: ，
在三角形 中， ，显然 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 或 （显然不成立），所以【巩固练习1】已知 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若满足
，求角 的大小.
【答案】
【详解】（1）由正弦定理知， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
化简得 ，
， （其中 舍去），即 ．
【 巩 固 练 习 2 】 在 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 . 已 知 ，
，求 的值.
【答案】
【详解】因为 ，所以由正弦定理可得: ，
在三角形 中， ，显然 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 或 （显然不成立），所以
【题型2】利用余弦定理化简等式
余弦定理
公式 ；；
.
；
常见变形 ；
.
类型一 出现了角或边的平方
6．已知 内角 所对的边长分别为 ，求 .
解：（1）由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，又 ，则 .
7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
8．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，则 ．【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 .
【巩固练习1】（2023年北京高考数学真题）在 中， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
则 ，故 ，
又 ，所以 .
【 巩 固 练 习 2 】 在 中 , 角 , , 的 对 边 分 别 为 , , , 已 知
，求 ；
【答案】4
解：(1)因为 由正弦定理得
由余弦定理得
所以
又因为 所以b=4
2024届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)【巩固练习3】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ，
且 ，求 的值
【答案】(1) ；
【详解】在 中，由三角形面积公式得: ，
由正弦定理得： ，
整理得： ，由余弦定理得： ，又 ，故 ．
2024·广东省六校高三第四次联考
【巩固练习4】已知 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，求角
【答案】
【详解】由余弦定理得 ，
所以 ，
可化为 ，
再由正弦定理得 ，得 ，
所以 ，因为 ，所以
【巩固练习6】记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，求 的值
【答案】
【详解】由余弦定理可得 ，
代入 ，得到 ，化简得 ，
即 .由正弦定理可得 ，即 ，展开得 ，
即 ，所以
类型二 出现角的余弦（正弦走不通）
9．记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ,求 .
【解答】
解：因为 ，
由余弦定理可得 ，
化简可得 ，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以， .
10．已知 分别为 三个内角 的对边，且 ，证明: .
【详解】（1）由 ，
得 ，
则 ，
由正弦定理和余弦定理得 ，
化简得
【巩固练习1】在 中，内角 的对边分别为 ， ，求 .
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理及 得：，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
【巩固练习2】记 的内角 的对边分别为 ， ，且 ，
求证
【详解】证明：
，即
由余弦定理得 ，即
整理可得 .
【巩固练习 3】已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，求
.
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
【巩固练习4】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ，求角A.
【答案】
【详解】
，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
【题型3】周长与面积相关计算
设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式
对于完全平方公式： ，其中两边之和 对应周长，两边平方和 在余弦定
理中，两边之积 在面积公式和余弦定理中都会出现
类型一 面积相关计算
11．已知 中角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，求的面积．
【答案】
【分析】已知条件结合余弦定理求出 ，由公式 求 的面积．
【详解】由余弦定理 ，及 ， ，得 ，
即 ，又 ，得 ，所以 ．
所以 的面积
12．（2024新高考一卷·真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；(2)若 的面积为 ，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出 ，最后结合已知 得 的值即
可；
（2）首先求出 ，然后由正弦定理可将 均用含有 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程
求解.
【详解】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得
【巩固练习1】记 的内角 的对边分别为 ， ，且 ，若 的面积为
，求
【答案】 .
【详解】由 ， 故 的面积为
得 ，解得 或 （舍），故 .
【巩固练习2】在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ABC的面积为
△ △
， ，求a．
【答案】
，所以 ．
由余弦定理可得 ，
所以【巩固练习3】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，当 时，
求 的面积S．
【答案】
【详解】由题意可得：
， ， ， ，
， ， ，
，
则
【巩固练习4】2024届·广东省六校第二次联考
已知 中角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，求
的面积．
【答案】
【分析】已知条件结合余弦定理求出 ，由公式 求 的面积．
【详解】由余弦定理 ，及 ， ，得 ，
即 ，又 ，得 ，所以 ．
所以 的面积
【巩固练习5】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，当 时，
求 的面积S．
【答案】
【详解】由题意可得：
， ， ， ，， ， ，
，
则
类型二 周长的相关计算
13．已知在 中，角 的对边分别是 ，且 ，若 ， 的面积为4，求
的周长.
【答案】
【详解】 ，
，且 的面积为 ，解得 ，
所以 ，
解得 ，
故 的周长为 .
14．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角A的大小；(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）由 ，根据正弦定理化简得 ，利用余弦定
理求得 ，即可求解；
（2）由 的面积为 ，求得 ，结合余弦定理，求得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意及正弦定理知 ， ，，
， .
（2） ，
又 ，
由①，②可得 ，所以 的周长为 .
15．（2024·新高考二卷·真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A．(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
【巩固练习1】 的角 的对边分别为 的面积为 ，若 ，
求 的周长.
【答案】
【详解】因为 ，得 ①，
又因为 的面积为 ，所以有 ②，
显然 ，由①②得 ，
所以 ，代入 得 ，
在 中，因为 ，
所以 ，得 ，
所以 的周长为 .
【巩固练习2】在△ABC中，已知 ， ， ，则△ABC周长为______．
【答案】12
【分析】利用向量数量积的定义和余弦定理即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，
由余弦定理得， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
则△ABC周长为 .
【巩固练习3】在 中， 所对的边为 ， , ，求 的周长．【答案】 .
【详解】在 中,∵ , ,
∴ ,
∴由正弦定理可得： ,
即 ，
所以 的周长为 .
【巩固练习4】在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角A的大小；(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）由 ，根据正弦定理化简得 ，利用余弦定
理求得 ，即可求解；
（2）由 的面积为 ，求得 ，结合余弦定理，求得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意及正弦定理知 ， ，
，
， .
（2） ，
又 ，
由①，②可得 ，所以 的周长为 .
【题型4】倍角关系1、二倍角公式： ，
2、扩角降幂： .，
忘记了可以用二倍角公式推导:记 ，则
故 ，
3、倍角关系证明的方法技巧
解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个
角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性。
4、图形中出行二倍角条件时可以考虑构造等腰三角形
类型一 倍角关系的证明和应用
16．（ 黄 冈 中 学 · 三 模 ） 在 锐 角 中 ， 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 满 足
，且 ，求证： .
【详解】由题意得 ，即 ．
所以 ，
由正弦定理得 ，又由余弦定理得 ，
所以 ，故 ，
故 ，整理得 ．
又 为锐角三角形，则 ， ， ，
所以 ，因此 ．
17．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，求证： ；
【解析】 ，，
或
当 时， ， ， 即 ，
综上
【巩固练习1】（2024·吉林长春·模拟预测） 的内角 所对的边分别为 ，
则 （ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，故 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
故
由勾股定理可得 ，
所以 ，
【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相
等），且满足 ，求证： ；
【解析】证明：因为 ，由正弦定理，得 ，
所以 ，所以 .
又因为 ， ，所以 或 .
若 ，又 ，所以 ，与a，b，c互不相等矛盾，
所以 .
【巩固练习3】在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．若 ，且 的边
长均为正整数，求 ．【答案】6
【解析】由 ，得 ，由正弦定理，可得 ；
由余弦定理，得 ，∵ ， ．
若 ，则 ，故 ，
则 ， ，此时 ，不符合题意．
∴ ，由 ，得 ，
又 ，即 ，则 ．
∵ ， ，故当 时，有 ，而 ，故能构成三角形，故 ．
【巩固练习4】（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相
等），且满足 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 .
【解析】（1）证明：因为 ，由正弦定理，得 ，
所以 ，所以 .
又因为 ， ，所以 或 .
若 ，又 ，所以 ，与a，b，c互不相等矛盾，
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 .
因为 ，所以 ，则 ，
可得 .
又因为
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
解得 ，
又 ，得 .【巩固练习5】已知 分别是 的角 的对边， .
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理及知，
，
由余弦定理得， ，
或 .
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
设 ，则 ，则 ，
设 ，
则 在 上单调递增，则 ，
即 . 的取值范围为 .
类型二 扩角降幂
18．（ 2023· 重 庆 八 中 二 模 ） 记 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知
，证明：
【详解】
因为 ，则 ，即 ，
由正弦定理可得
，
因此， .
【 巩 固 练 习 】 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 ， ， ， 且
，求角 的大小；
【答案】
【解答】解：（1）因为
，
，
，
．
类型三 图形中二倍角的处理
广东省六校2024届第一次联考
19．在 中， 为 中点， ， ，求 的长．C
A
D B
【答案】
【详解】
法一：在 中，设 ,
则由正弦定理 ，
即 ，得 ，所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理得： ，即 ．
法二：可以延长DA至点E，使AE=AC，得出子母相似
【简析】
C
b
E b A 2 D B
【巩固练习】2024届·江苏扬州·高三统考
在 中， ，且 边上的中线 长为1.
(1)若 ，求 的面积；(2)若 ，求 的长.【答案】(1) ，(2)2
【分析】（1）由题可得 ，利用勾股定理可判断 是直角三角形，且 又
边上中线 ，运算可得解；
（2）方法一，设 ，在 ， 中，分别由正弦定理两式可得
，在 和 中，由余弦定理得 ，在 中，由余弦定理得
，运算可得解；方法二，作 的角平分线，交 与 ，在 和 中，
由正弦定理可得 ，再由 可得 ，计算得 ，在 和 中，
由余弦定理可求得结果；方法三，延长 到 ，使 ，由 ，可得 ，运
算得 ，在 和 中，由余弦定理可得结果.
【详解】（1）由题可知 ，
由勾股定理得， ，所以 是直角三角形，
又 ，所以 ，
又 边上中线 ，
所以 ， ， ，
所以 .
（2）方法一：由题可知 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，则 ，①
在 和 中，由余弦定理得
所以 ，②在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，③
将 代入得 ，④
由①④得 ，即 ，即 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 .
故 的长为2.
方法二：作 的角平分线，交 与 ，
设 ，则 ，
在 和 中，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
所以 .
由题可知 ，所以 ，
在 和 中， ，
所以 ，所以 ，
则 ，即 ，即 ，
所以 （舍）或 .在 和 中，由余弦定理得
所以 ，
则 ，解得 .
故 的长为2.
方法三：延长 到 ，使 ，连接 ，
由题可知 ，
设 ，则 ，
在 和 中， ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 （舍）或 .
在 和 中，由余弦定理得
所以 ，
则 ，解得 .
故 的长为2.
【题型5】角平分线相关计算
ABC中，AD平分∠BAC.
△A
1 2
3 4
B D C
策略一：角平分线定理：
证法1（等面积法） ，得
注： 为A到BC的距离， 为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图， ， ,而
整理得
策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理
1 1 A 1 A
S =S +S ⟹ ×AB×AC×sinA= ×AB×AD×sin + ×AB×AD×sin ，
∆ABC ∆ABD ∆ADC 2 2 2 2 2
策略三：角互补：
∠ABD+∠ADC=π⟹cos∠ABD+cos∠ADC=0,
DA2+DB2−AB2
在△ABD中，cos∠ABD= ,
2DA×DB
DA2+DC2−AC2
在△ADC中，cos∠ADC= ,
2DA×DC
20．（2024·辽宁丹东·二模）在△ 中，点D在 边上， 平分 ， ， ，，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题角平分线长问题，利用面积关系 ，结合面积公式，就能求解出 的长.
【详解】因为 ，
所以 ,
即 ，代入 ， ，
可得 ，则 ，
解得 ．
21．已知 中，角 所对的边分别为 ， ， ， ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，点 在边 上，且 平分 ，求 的长度.
【答案】(1) ;(2) .
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，找到边的关系，借助余弦定理计算即可；
（2）结合（1）问，求出 ，利用 ，计算出 的长度即可.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
在 中， ,
所以 .
（2）由（1）问可知 , ，
所以 ，解得 ，
设 ，由 平分 ，所以 ,即 ,
解得： ，
故 的长度为 .
2023年高考全国甲卷数学(理)真题·T16 角平分线相关计算
22．在 中， ， 的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【详解】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
【巩固练习1】（2024·厦门第四次质检）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，若
， ， 是 上一点， 为角 的平分线，求 .【答案】
【详解】 中， ， ， ， ，
所以 ，解得 ，则 .
又因为 为角 的平分线， ，
所以 ，
即 ，所以 .
【巩固练习2】已知 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，若 平分 交线段
于点 ，且 ， ，求 的周长.
【答案】
【详解】因为 平分 ，所以 ，
由 ，
得 ，
作 于 ，
则 ，
由 ，解得 ，
由余弦定理，得 ，所以 ，
故 的周长为 .【巩固练习3】在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ，作角A的平分线与
交于点 ，且 ，求 .
【答案】
【详解】因为 为角平分线，所以 ，
所以 .
因 ， ， ，则 ，
即 ，所以 .
又由余弦定理可得： ，
把 ， 分别代入化简得： ，
解得： 或 （舍去），所以 .
【巩固练习3】（2024届·云南省昆明市五华区高三上期中） 的内角 的对边分别为
平分 且交 于点 ．已知 的面积为1，若 ，求 ．
【答案】
【法一】面积+余弦（向量）
【简证】易知b=2c，延长AD至点E，使2AD=DE,易得CE=2AB=2c，
记∠BAC=α，∠ACE=π－α，则有 ，化简得
同除得 ，记 ，代入化简计算即可
A
c 1 b=2c
A
C
B D
c 1 b=2c
2
2c
B D C
E补充：也可以不做延长线直接用面积和向量得出等量关系
【法二等面积】设 ，根据三角形面积公式结合条件可得 ，然后利用二倍角公式即得.
【详解】因为 ，所以 ，
设 ，则
，得 ，
所以 ，所以
【总结】相比之下法二的计算量较小，所以还是优先角平分线的等面积计算会比较好
【题型6】中线相关计算
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD长．
A
A
B C
D
B C
D E
策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可策略二：向量法， ,等式两边再进行平方
策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即
补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“ ”也适用，此时需要倍长等分线构造相似
23．在 中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足 ， ， ，AD
是 的中线，求AD的长.
【答案】
【分析】由 可得 ，根据 以及余弦定理即可求出 .
【详解】 ,
,得 ，
由余弦定理得： ，
，
所以 ，
即AD的长为 .
2023年新课标全国Ⅱ卷真题：已知中线长
24．记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ， 为 中点，且
．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
【巩固练习1】（2024·安徽滁州·三模）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求 的大小；(2)若 ，且 边上的中线长为 ，求 的面积．
【解析】（1） ，
由余弦定理得 ，
化简得 ．
；
（2）由（1）可得 ①，
又 ②，
取 的中点 ，连接 ，
在 中， ③，
由②③得 ④，
由①④得 ，解得 或 （舍去），
，
.
【巩固练习2】在 中，内角 的对边分别为 ， ，
若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.【答案】
【详解】由 ，
所以 ，
由（1） ，
所以 ，
因为 为 边上的中线，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 边上的中线 的长为： .
【巩固练习3】在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，
的面积为 ，求边BC的中线AD的长.
【答案】
【详解】因为 ,所以 ,
因为余弦定理得 ,又已知 ,
可得 ,即得 .因为BC的中线AD,可得 ,
.
【巩固练习4】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，D为 的中点，且 ．(1)证明： ；(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）如图，在 中，由余弦定理可知：
，
在 中，由余弦定理可知：
，
因为 ，所以 ，
则 ，整理化简可得： ，
所以 .
（2）由（1）可知： ，因为 ，
在 中，由余弦定理可知：
，
整理可得： ，解得： ，因为 ，
所以 ，
则 ，所以 .
【巩固练习5】记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，若c＝3a，D为AC中点，
，求 的周长．
【答案】 ．【详解】 ，由余弦定理得 ， ，
是 中点，则 ，
在 中由余弦定理得， ，
在 中由余弦定理得， ，
， ，
∴ ，解得 ，
所以 的周长为 ．
【巩固练习6】 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ， ，D为AC的中点，
△
,求 的面积.
【答案】 或,
【详解】D为AC的中点， ,
, ,
, ,
或 ,
当 时, ，
时,
所以 的面积为 或 .【题型7】高线线相关计算
A
B D C
策略一：等面积法：
策略二：
策略三：
25．（ 2024· 山 东 青 岛 · 三 模 ） 设 三 角 形 的 内 角 、 、 的 对 边 分 别 为 、 、 且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 边上的高为 ，求三角形 的周长．
【解析】（1）因为 ， ， 为 的内角，所以 ，
因为 ，所以 可化为： ，
即 ，即 ，
因为 ，解得： ，即 ．
（2）由三角形面积公式得 ， 代入得： ，
所以 ，由余弦定理 得： ，
解得： 或 舍去，即【巩固练习1】已知 的内角A， ， 的对边分别为 ， ， ， ， .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 边上的高为 ，求 的周长.
【解析】（1）由已知可得 ，
由正弦定理 可得， ，
所以有 .
又 ，所以 ， .
又 ，所以 .
，
，
.
又 ， ，函数 在 上单调递减，
则 .
（2）由题意得 的面积 .
又 ，则 .
由余弦定理 ，
得 ，
所以， .
所以， 的周长为 .【巩固练习2】已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)若 ，且BC边上的高为 ，求a．
【解析】（1）因为 ，
所以由余弦定理得 ，
由正弦定理得 ，
由于 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
（2）由 得 ，
又 ，所以 ， ，
由余弦定理知
【题型8】其它中间线
26．如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 .若 为线段 延长线上一点，且
，求 .
【答案】
【详解】设 ，在 和 中，由正弦定理可得于是 ，又 ，
则 ， ，
；
综上， ， .
2021新高考一卷T20：三等分线相关计算
27．记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得 的值.
【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．下同解法1．
【巩固练习1】如图，在 中，若 ，D为边 上一点， ， ，
，则 ．
【答案】6
【分析】利用正弦定理解出 ，再利用 ，结合余弦定理即可求出结果.
【详解】 中，由正弦定理得 ，
，则 ，
设 ，则 ，
又 中，由余弦定理得
．
在 中，由余弦定理得
，
又因为 ，
即： ，则 ，
故 ．
【巩固练习2】（2024·安徽芜湖·三模）已知 分别为 三个内角 的对边，且
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 边上一点，满足 ，求 的长．
【解析】（1）由正弦定理有 ，
因为 ，
所以 ，
化简得 ，
由 有 ，可得 ，
因为 ，
所以 ，则 ．
（2）由 有
又 可得 ，
联立 解得 ，所以 为正三角形，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ．
故 的长为 .【巩固练习3】记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ，点 在 边上，且
， ，求 .
【答案】
【分析】求出 、 的值，设 ，则 ，分别在 和 中，利用正弦
定理结合等式的性质可得出 、 的等式，即可求得 的值，即为所求.
【详解】解：因为 ，则 为锐角，所以， ，
因为 ，所以， ，
所以， ，
设 ，则 ，
在 和 中，由正弦定理得 ， ，
因为 ，上面两个等式相除可得 ，
得 ，即 ，
所以， .
法二：作垂线，用三边之比
1
3
2
2
6
2 2如图，再继续求出AD用余弦定理即可求出
AD的3种求法：1、向量数量积；2、倍长构造相似再用余弦；3、两次余弦定理
【巩固练习4】已知 的三内角A， ， 所对边分别是 ， ， ，且满足 ，若点 是边 上
一点， ， ， ，求边 的大小.
【答案】
【详解】 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
在 和 中用余弦定理得：
则 解得 或 （舍），
【巩固练习5】已知 的内角 对应的边分别为 ， 的面积为 ，点 在边
上，若 ，求 ．
【答案】
【详解】由 ，由（1）可知 ，
则 ，可得 为等边三角形，
则 ，从而 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
又 ，所以 ，所以 .
【巩固练习6】如图，在 中，若 ，D为边 上一点， ， ，
，则 ．
【答案】6
【详解】 中，由正弦定理得 ，
，则 ，
设 ，则 ，
又 中，由余弦定理得
．
在 中，由余弦定理得
，
又因为 ，
即： ，
则 ，
故 ．
【巩固练习7】已知 分别为 三个内角 的对边，且 ，若 ， ，
，求AM的长度.
【答案】
【详解】在 中， ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，
在 中， ，
所以 .
【巩固练习8】在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，若点 为边 上的一个点，
且满足 ，求 与 的面积之比.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，即 .
在三角形中， ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
所以 ；
所以由正弦定理得： 与 的面积之比等于
.
【题型9】 三角形解的个数问题
三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，
该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
28．在 中， ， ，若当 时的 有两解，则 的取值范围是 ．
【答案】 ，
【解答】解： ，由正弦定理可得： ， ，
， ．
．
当 时的 有两解，
，解得 ，
则 的取值范围是 ，
29．设在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足 的 不唯一，则
m的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理 ，即 ，所以 ，
因为 不唯一，即 有两解，所以 且 ，即 ，
所以 ，所以 ，即
【巩固练习1】若满足 ， ， 的 恰有一解，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解： ， ， ，
由正弦定理得： ，
，
若 ，即 时， 为直角，只有一解；
若 ，即 时， 有两种情况为 或 ，三角形就有两
解；
若 ，即 时， 只有一种情形为 ，
综上， 的范围为 ， ．
【巩固练习2】 中，已知 ， ， .
（1）若 恰有一解，则实数 的取值范围是 ；
（2）若 有两解，则实数 的取值范围是 ；（3）若 无解，则实数 的取值范围是 ；
【答案】（1） （2） （3）
【解答】解： ， ， ，
由正弦定理得： ，
，若 ，即 时， 为直角，只有一解；
若 ，即 时， 有两种情况，三角形就有两解；
若 ，即 时， 只有一种情形，
若 ，即 ， 无解
【巩固练习3】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若 ，且 有唯一解，
则 的取值范围是 .
【答案】 或
【解析】由正弦定理得 ，
因为 有唯一解，当 时，即 ，
唯一，符合题意，得 ；
当 时， 有两个值， 不唯一，不合题意；
当 时， ，
所以 ， 唯一，符合题意，得 .
所以 的取值范围为 或 .
故答案为： 或 .
【巩固练习4】在 中，已知 ， ， ，若存在两个这样的三角形 ，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】由正弦定理，要使 有两解，则 ，即 ，所以 ，即 的取值范围是 .
法二：由正弦定理 可得 ，
由题意可知：关于 的方程： 在 有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线 ， 和水平直线 ，
因为它们有两个不同的交点，所以 ，所以 .
【 巩 固 练 习 5 】 已 知 的 内 角 、 、 所 对 的 边 分 别 是 ， ， ， ， 若
，当 有且只有一解时，求实数 的范围及 面积 的最大值．
【答案】
【解答】由已知，当 有且只有一解时 或 ，
，
①当 时， 为直角三角形 ；
②当 时， ，
由余弦定理可得 ，
，当且仅当 时等号成立，
三角形面积为 ，
面积的最大值 ．【题型10】解三角形的实际应用
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角
(如图①).
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角. 北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). 北
偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. 南偏西等其他方向角类似.
(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角). 坡度指坡面的铅直高度
与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ). 坡度又称为坡比.
类型一 距离问题
30．一游客在 处望见在正北方向有一塔 ，在北偏西45°方向的 处有一寺庙，此游客骑车向西行 后
到达 处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔 与寺庙 的距离为______ .
【答案】
【解析】如图，在 中，由题意可知 ， ，可得 .在 中， ， ， ，∴ ，
∴ .
在 中，
，
∴ .
【巩固练习1】（2024·陕西西安·模拟预测）在 高的楼顶 处，测得正西方向地面上 两点
与楼底在同一水平面上）的俯角分别是 和 ，则 两点之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
而 ，
所以 .
【巩固练习2】山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形
设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为
了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为
75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，
B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.【答案】
【解析】由题意， ，所以 ，
所以在 中， ， ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得，
，
所以 .
【巩固练习3】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东 方向上，匀速向北航
行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东 方向上，测得塔顶P的仰角为 ，已知灯塔高为
．则巡逻船的航行速度为______ ．
【答案】
【解析】由题意知在 中， ,故 ,即 ，
解得 ，
在 中， ，
则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，即船的航行速度是每小时 千米
类型二 高度问题
（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小
镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移 ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 ，
已知人的眼睛距离地面的高度为 ，则钟楼的高度大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图，设钟楼的高度为 ，
由 ，可得： ，
由 ，可得： ，
故 ，
故 ，
故选：D.
【巩固练习1】如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚 处测得山顶
处的仰角为 ，又利用无人机在离地面高 的 处（即 ），观测到山顶 处的仰角为，山脚 处的俯角为 ，则山高 _________m．
【答案】
【解析】依题意 ，则 ， , ，
故 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
解得 ，则 .
【巩固练习2】中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作
《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物
，高约为 ，在地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 ，鹳雀楼顶部 的仰角分
别为 和 ，在 处测得楼顶部 的仰角为 ，则鹳雀楼的高度约为 ．
【答案】74
【解析】由题设及图知： ，则 ，
在 中 m.【巩固练习3】中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两
表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末
参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的
一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800
步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退
行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）
【答案】3280
【解析】由题可知 步， 步， 步. 步.
在Rt AHF中 ，在Rt AHG中 .
所以 ， ，
则 .
所以 步.
