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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、三角形中线问题
如图在 中， 为 的中点， ，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常
用）
二、角平分线问题
如图，在 中， 平分 ，角 , , 所对的边分别为 ， ，
①等面积法
（常用）
②内角平分线定理：
或
③边与面积的比值：
二、题型精讲精练
【典例1】在 中，内角 的对边分别为 ， .
(1)求 ；(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出
，最后利用求模公式即可求 边上的中线 的长.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
由余弦定理及 得：
，又 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
（2）由 ，所以 ，
由（1） ，所以 ，因为 为 边上的中线，
所以 ，所以 （通过平方，将向量转化为数量）
，所以 ，
所以 边上的中线 的长为： .
【典例2】在 中.AB＝2，AC＝ ，BC＝4，D为AC上一点.
(1)若BD为AC边上的中线，求BD；(2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD.
【分析】（1）利用余弦定理，先求得 ，然后求得 .
（2）利用余弦定理，先求得 ，即可求得 、 ，利用等面积法求得 .
【详解】（1）在 中， ，
因为BD为AC边上的中线，所以 ，
在 中， ，所以 （活用两次余
弦定理）
（2）在 中， ，
由于 ，所以 .
因为BD为 的角平分线，所以 .
由 ，得 （等面积法）
即 ，解得 .
【题型训练-刷模拟】
1 . 中线问题
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知
．
（1）求 ；
（2）若 边上的中线 的长为 ，求 面积的最大值．2．（青海省海东市2023届高三第三次联考数学试题）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 边上的中线 的最大值．
3．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 边中线 的取值范围．
4．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角A的值；
（2）若 边上的中线 ，求 的面积．
5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知 为 的内角 所对的边，向
量 , ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，且 ，求线段 的长．
6．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线， ，求△ABC的面积.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 的三个内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ，
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 边上的中线 长为 ，求 的周长．
8．（2023·全国·高三专题练习） 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若 边上的中线 ，求 的面积.
9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知 中， ， ，
(1)求 ；
(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求 的余弦值．
10．（2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，角 所对的边分别为 ，已知
△
.
(1)求 的大小；
(2) 的面积等于 ，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
11．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.(1)求角A；
(2)若 ， 的面积为 ，求边BC的中线AD的长.
12．（2023·全国·高三专题练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C的值；
(2)若 ，D为AB的中点，求中线CD的范围．
13．（浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2023届高三下学期6月适应性考试数学试题）在 中，角
的对边分别为 且 ，
(1)求 ；
(2)求 边上中线长的取值范围．
14．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
（I）求△ABC的面积；
（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长．
15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
16．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，点 满足 ，点 满足 ，求 .
17．（2023·全国·高三专题练习）在 中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线 ，且 ，求 的周长
18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的取值范围.
2 . 角平分线问题
一、解答题
1．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在 中，角 所对的边分别为 ．
，角 的角平分线交 于点 ，且 ， ．
(1)求角 的大小；
(2)求线段 的长．
2．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测） 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， ， 边上的高为 ，
(1)求c的值；
(2)设 是 的角平分线，求 的长.
3．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若角 的角平分线 与 交于点 ， ， ，求 的面积．
4．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， 且满足
.
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，点 在边 上， 是 的角平分线，且 ，求 的周长.
5．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 的大小；
(2)若 边上的高为 ，且 的角平分线交 于点 ，求 的最小值.
6．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小，
(2)若 ，角 的角平分线交 于 ，且 ，求 的面积．
7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，， ， ， 外接圆面积为 .
(1)求 ；
(2)若 为角 的角平分线，交 于 点，求 的长.
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 是 的角平分线，求 的长．
9．（2023·全国·高三专题练习） 中， ， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长度；
(2)若 为角平分线，且 ，求 的面积.
10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
(1)若 ，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 求△ABC的面积．
11．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，
① 的角平分线交 于M，求线段 的长；②若D是线段 上的点，E是线段 上的点，满足 ，求 的取值范围．
12．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角B；
(2)设 的角平分线 交 于点D，若 ，求 的面积的最小值.
13．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知
，
(1)求角 的大小；
(2)若 的角平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值，
14．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）
cosC+ccosA=0.
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
15．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长
的三个正三角形的面积依次为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 外接圆面积为 ，求 的最大值；
(3)若 ，且 的角平分线 ，求 ．16．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角 ，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 为 的角平分线，交AB于D点，且 ．求 的值．
