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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范
围）问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
1.正弦定理
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
.（其中 为 外接圆的半径）
（边化角）
（角化边）
2.余弦定理：
3.三角形面积公式：
1 1 1
S = absinC= bcsinA= acsinB 1
ΔABC 2 2 2 (a+b+c)r(r为三角形ABC的内切圆半) 径
=2
4.三角形内角和定理：
在△ABC中，有 .
5.基本不等式（优先用基本不等式）
①
②
6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）
利用正弦定理 ， ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范
围，求面积或者周长的最值。
二、题型精讲精练【典例1】若 ， ，求 的最大值．建议使用两种方法来解决：
法一：余弦定理＋不等式．
法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．
【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得 ，代入三角形面积公式即可求得最大值；
方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到 ，结合 的范围，
由正弦型函数值域的求法可求得 的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值.
解：方法一：由余弦定理得： ，
（当且仅当 时取等号）， ，
（当且仅当 时取等号）， 的最大值为 ；
方法二：由正弦定理得： ，
；
， ， ， ，
， 的最大值为 .
【典例2】若 ， ，求 周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：
法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．
法二：正弦定理＋辅助角公式．
【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据 可求得 的最大值，结合三角形三边关系可
求得结果；
方法二：利用正弦定理角化边，可将 化为 ，结合 的范围，由正弦型函数值域的求
法可求得结果.解：方法一：由余弦定理得： ，
又 （当且仅当 时取等号）， ，
解得： （当且仅当 时取等号），
又 ， ， 周长 的取值范围为 ；
方法二：由正弦定理得： ，
，
， ， ， ，
即 周长的取值范围为 .
【题型训练1-刷真题】
1．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再
结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
2．（2020·全国·统考高考真题） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得 ；
（2）方法一：利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，
进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
，， .
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设 ，则 ，根据正弦定理可知 ，所以
，当且仅当 ，即
时，等号成立．此时 周长的最大值为 ．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得 ，即 ．
令 ，得 ，易知当 时，
，所以 周长的最大值为 ．
3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I） ；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形
为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由 ，得 ，即 .
结合余弦定理 ，
∴ ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
∵ 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，
所以 ，
又B为 的一个内角，故 .[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由 ，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故 .
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为 ，并利用余弦定理整理得 ，
即 .
结合 ，得 .
由临界状态（不妨取 ）可知 .
而 为锐角三角形，所以 .
由余弦定理得 ，
，代入化简得
故 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由 可得： ， ，则 ， .即 的取值范围是 .
【题型训练2-刷模拟】
1 . 面积的最值（范围）问题
一、解答题
1．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
.
(1)求角 ；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求 ABC面积的最小值.
△
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理边角化即可求解，
（2）由面积公式以及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由 可得： ，
由余弦定理知， ，
又 ，因此 .-
（2）∵ ，即 ，
∴ ≥
∴ab≥ ，当且仅当b=2a，即a= ，b= 取等号
∴ = ≥
∴△ABC面积的最小值为2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 .
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得 ，根据余弦定理求 的余弦值，进而
确定其大小；
（2）由已知和余弦定理得 ，再由 求面积最大值，注意取值条件.
【详解】（1）由已知 ，
即 ，由正弦边角关系得 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）由余弦定理，得 ，又 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故 的面积的最大值为 .
3．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知 内角 所对的边长分别为
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用余弦定理可得 ，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得 ，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得 即可得范围；
法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.
【详解】（1）由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，又 ，则 .
（2）法一： 为锐角三角形， ，则 ，
所以 ，可得 ，
又 ，则 ，故
由 ，即 而 ，
所以 ，故 面积的取值范围为 .
法二：由 ，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点 落在线段 （端点 除外）上，
当 时， ，当 时， ，
.
4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求∠C.
(2)若 ，求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合正余弦定理分析运算；
（2）根据题意利用正弦定理可得 ，结合基本不等式解得 ，进而可得结果.
【详解】（1）因为 ，
即 ，
整理得 ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，可得
（2）因为 ，由正弦定理可得 ，
整理得 ，当且仅当 时，等号成立，
解得 ，
则 面积 ，
所以 面积的最小值为 .
5．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知 的三个内角分别为 、 、 ，其对边分别为 、 、 ，若．
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 面积 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角
的值；
（2）利用余弦定理可求出 的最大值，再利用三角形的面积公式可求得 的最大值.
【详解】（1）解：因为 ，
所以，
，且 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
因为 ，则 ，则 ，
又因为 ，故 .
（2）解：由余弦定理 ，可得 .
当且仅当 时取得等号，所以 .
所以， 面积 ，
所以， 面积 的最大值为 ．
6．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦，利用正弦定理将已知等式统一用角表示，再利用两角和与差的正、余弦公式整理
可得角 .
（2）把 的面积表示为 的形式，代入已知量利用正弦定理将面积统一用角 、 表
示，再利用角 、 的关系消元转化为求一元函数的值域.
【详解】（1）解：根据题意 ，
由正弦定理得 ，
，
，故 ，
.
（2）因为 是锐角三角形，由（1）知 得到 ，
故 ，解得 .
又由正弦定理得：又 ，
故 .故 的取值范围是
7．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，
，D为 边上一点， 平分 ．
(1)求角A；
(2)求 面积的最小值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用题给条件和正弦定理余弦定理即可求得角A；
（2）利用题给条件求得 ，再利用均值定理求得 最小值，进而求得 面积的最小值．
【详解】（1）由 ，可得 ，
整理得 ，则 ，
又 ，则 .
（2）过点D作 于E，作 于F，
又 ，则 ，
则 ，
则 ，又 （当且仅当 时等号成立），
则 ，则 ，则 （当且仅当 时等号成立），
则 面积的最小值为 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系将切化弦得到 ，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，即可求出 ，再由余弦定理及基本不等式求出 ，由对数的运算性质
及诱导公式得到 ，即可求出 的取值范围，在结合三角形面积公式计算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
在 中， ，所以 ，则 ．
因为 ，所以 ．
（2）由 及正弦定理得 ，
所以 ．
由余弦定理得 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，因为 的面积为 ，
所以 面积的取值范围是 ．
9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .
(1)若 外接圆的半径为 ，求 面积的最大值；
(2)若 内切圆的半径为 ，求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件可得角 ，用面积公式 表示出 面积，用余弦定理找到 、 的关
系式，然后用基本不等式即可求解；
（2）求得角 后，由 内切圆的半径为 ，可得边长的关系式，然后用基本不等式化和为积，进而
解不等式即可求解.
【详解】（1）由 得， ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
由 外接圆的半径为 ，则得 ，
由余弦定理得， ，即 ，
所以 ，解得所以 ，故 面积的最大值为 .
（2）如图，圆 是 的内切圆，切点分别是 、 、 ，
由 ，内切圆的半径为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ，
即得 ，
而 ，所以 ，
所以 ，解得 舍去），
所以 ，
故 面积的最小值为 .
10．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 得出 ，结合 ，即可得出答案；（2）由 得出 ，由余弦定理得出 ，再由 及 得出
，结合三角形面积公式，即可得出面积的范围．
【详解】（1）因为 ，
所以 ．
由余弦定理得 ．
因为 ，
所以 ．
（2）由 及正弦定理，得 ，
所以 ，
由余弦定理得， ，
所以
当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
因为 的面积为 ，
所以 面积的取值范围是 ．
11．（2023·江西·校联考二模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
.
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可；
（2）由题知 ，进而结合正弦定理得 ，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）解：因为
所以
整理可得 ，
所以，由正弦定理可得： .
由余弦定理知， ，
因为 ，所以
（2）解：由（1）知， ，所以 ，
又 是锐角三角形，
所以， 且 ，解得 ，
因为，由正弦定理知： ， ，
所以
所以
因为 ，
所以 ，所以所以， 面积的取值范围为 .
12．（2023·广东茂名·统考二模）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，点 、 在边 上， ，求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 用余弦定理将 用边表示后，再用余弦定理即可求得角 ；
（2） ，用面积公式将 的面积表示为角 的函数进行求解.
【详解】（1）因为 ，由余弦定理，得 ，
化简整理得： ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，即角 的大小为 .
（2）如图：
设 ，
在 中，由正弦定理，得 ，
由（1）和 可知， ， ，
所以 ，在 中，同理可得 ，因为 ，所以
，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时 面积取得最小值为 .
13．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，已知 ，其中， ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；
方法二：利用余弦定理化角为边，即可得解；
（2）利用余弦定理结合已知及基本不等式求出 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）方法一：由 ，
根据正弦定理边化角得： ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ；
方法二：由 ，
根据余弦定理：得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，得 ；
（2）由（1）及余弦定理知 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
．
(1)求A；
(2)点D在边 上，且 ， ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边再结合余弦定理求得A即可；
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得 面积的最大值即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
（2）根据题意可得 ，
所以平方可得 ．
又 ，所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
所以 ，
即 面积的最大值为 ．
15．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求三角形ABC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边即可得解；
（2）先利用余弦定理求出 ，再根据平方关系求出 ，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性
质即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，所以 ，所以 ；
（2） ，故 ，
则 ，
则 ，
当 时， ，
所以三角形ABC面积的最大值为 ．
16．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出 ，即可求得
的值；
（2）分析可知 、 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出 ，求出 的
最小值，即可求得 的最小值.
【详解】（1）解： ，
.
由正弦定理得 ..
因为 ，则 ，
， ，
则 ，
所以， ，即 ，
所以， ，
，即 .
（2）解：由（1）得 .
若 ，则 、 均为钝角，则 ，矛盾，
所以， ， ，此时 、 均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当 时，等号成立，且 为钝角.
，则 ，且 为锐角，
由 ，解得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
， .因此， 面积的最小值为 .
2 . 周长（边）的最值（范围）问题
一、解答题
1．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）利用正弦定理边角互化即可求解；
（2）利用余弦定理结合均值不等式求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理得 ，
又因为 ， ，所以 ，即有 ，
又因为 ，所以 .
（2）因为 ， ，
所以由余弦定理可得 ，
当 时，等号成立，所以 ，
故 周长的最小值9.
2．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小．
(2)若 ，求c的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得 ，结合余弦定理即可求解；
（2）根据正弦定理结合两角和的正弦公式，即可由 得 ，即可求解.
【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得 ，
即 ．整理得 ．
由余弦定理，得 ．
又因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理，得 ．
又 ， ，所以 ．
因为 为锐角三角形，所以 解得 ．
所以 ，则 ，
所以 ，即c的取值范围为
3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形 中， ，若
， 的面积为 ．
(1)求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
【答案】(1)
(2)周长的最大值为【分析】（1）由 的面积求得 ，再由余弦定理求 的长；
（2） 与 已知，由余弦定理求 的最大值，即可得四边形 周长的最大值．
【详解】（1）在 中，由题意有 ，解得 ，
又由余弦定理得 ， 所以 ．
（2） ， ，设 ，
四边形 周长设为 ，则 ，由题可知， ，
在 中，由余弦定理得( ，
则 所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，即四边形 周长的最大值为
4．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出 ，再根据三角形内角和定理结合三角函数即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
又因 ，所以 ；
（2）因为 的外接圆半径为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
由三角形为锐角三角形， ，得 ，则 ，所以 ，
所以 周长的取值范围为 .
5．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 ，求BC边上的高AD的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；
（2）利用余弦定理和基本不等式求出 ，再求出 ，即得解.
【详解】（1）根据正弦定理可得 ，
又 ，∴ ．
∵ ,∴ ．（2） ，∴ ，
当且仅当 时取等号.
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴AD的最大值为 .
6．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，C= .
(1)当 时，求 的面积;
(2)求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得 ，分类讨论可求出a，b
的值，利用三角形面积公式即可计算得出结论；
（2）由余弦定理及已知条件可得 ，利用基本不等式可得 ，解
得 ，从而可求得周长的最大值.
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ，
即 ，当 时， ，得 ;
当 时， ，由正弦定理得 ，
由余弦定理及已知条件可得 ，
联立 . 解得 ，
故三角形的面积为 .
（2）法一：由余弦定理可得: ，
由 得 ，当且仅当a=b取等号.
又 ，即 .
即 周长的取值范围是 .
法二: ，
中，由正弦定理有 ，
.
即 周长的取值范围是 .
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ．(1)求角B的大小；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角的内角和定理，利用正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，结合锐角三角
形求出角的范围及正切函数的性质即可求解.
【详解】（1）由 及余弦定理，得 ，
由锐角 ，知 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，得 ，故 ，
由正弦定理 ，得 ，
由 为锐角三角形得 解得 ，
∴ ，
∴ ．故 的取值范围为 .
8．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）在 中，内角A、 、 所对的边分别为 、 、 ，已
知 ．
(1)求角A的大小；(2)点 为边 上一点（不包含端点），且满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换化简即可；
（2）利用正弦定理将线段比值转化为关于C的三角函数值计算范围即可.
【详解】（1）由 ，结合正弦定理可得：
因为 ，所以 即 ，
所以 ，而 ，所以 ；
（2）
由 知: ，所以 ，即
在 中，有 ， ，
由正弦定理可得：
所以由 可得 ，所以 .
9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出 ，即可得解；
（2）利用正弦定理将边化角，转化为角 的三角函数，再由 的取值范围，求出 的范围.
【详解】（1）由 ，即 ，
得 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）由正弦定理 ，
所以
.因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，所以 的取值范围为 .
10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
(1)求B；
(2)若 的面积等于 ，求 的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；
（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
∵ ，所以 ，
所以 ，∴ ；（2）解：依题意 ，∴ac＝4，
所以 ，当且仅当 时取等号，
又由余弦定理得 ，
∴ ，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以 的周长最小值为 ．
11．（2023·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知
．
(1)求A；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得 ，进而求得 .
（2）结合正弦定理以及三角恒等变换的知识将三角形 的周长表示为三角函数的形式，通过三角函数
值域的求法求得三角形 的周长的取值范围.
【详解】（1）由 ，
得 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
由于 ，所以角 ；（2）由（1）知 ，所以 ，则 ，
由正弦定理： 得 ，
所以 ， ．
所以
．
因为 ，所以 ．
所以 ．
所以 ，
所以 周长的取值范围为 ．
12．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知 ABC中，C＝ ，角A，B，C的对边分别为
△
a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若 ABC的外接圆面积为π，求 ABC周长的最大值.
【答案△】(1)7 △
(2)2＋ .
【分析】（1）由等差数列的性质把 用 表示，然后由余弦定理可求得 ；
（2）设B＝θ，求出外接圆半径后由正弦定理把 用 表示，从而把三角形周长表示为 的函数，由三
角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数后，利用正弦函数性质得最大值．
【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2，∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，
∵C＝ ，由余弦定理得
cos ＝ ＝ ＝－ ，
整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，
又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7.
（2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π，
解得R＝1，由正弦定理可得
＝ ＝ ＝2R＝2，
∴ ＝ ＝ ＝2，
可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝ ，
∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋
＝2sin θ＋2sin cos θ－2cos sin θ＋
＝sin θ＋ cos θ＋ ＝2sin ＋ ，
又θ∈ ，∴ <θ＋ ，
∴当θ＋ ＝ ，即θ＝ 时，△ABC的周长取得最大值2＋ .
13．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求C；
(2)若 为锐角三角形， ，求 周长范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得.
【详解】（1）在 中，由射影定理得 ，
则题述条件化简为 ，
由余弦定理得 ．
可得
所以 .
（2）在 中，
由正弦定理得 ，
则 周长 ，
因为 ，则 ，
因为 为锐角三角形， ，
则得 ，
故 ．
14．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
.
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)(2)12
【分析】（1）法一：设 ， ，由正弦定理得到 ，利用积化和
差公式得到 ，求出答案；
法二：设 ， ，由正弦定理得到 ，由三角恒等变换得到
，求出答案；
（2）由面积公式得到 ，由正弦定理结合三角恒等变换得到 ，结合 的范围，求出
最值.
【详解】（1）法一：
设 ， ，
在 中，由正弦定理得 ， ， ，
代入已知化简得 ，
又在 中有： ，
即 ，
∵ ，
即 ，所以 ，所以 .
法二：设 ， ，
在 中，由正弦定理得 ， ， ，
代入已知化简得 ，
又在 中有： ，
即 ，
∵，
即 ，所以 ，所以 .
（2）在 中有 ， ，
即 ，
由正弦定理得： ，
故 ， ，
，
因在 中， ， ， ，
所以 ，当 时，等号成立，周长取得最大值12.
15．（2023·陕西西安·长安一中校考二模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知
．
(1)求B；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理分析运算即可；
（2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，且 ，故 .
（2）由正弦定理可得 ，
可得 ，
则
，
因为 ，则 ，
且 为锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，
所以 ，
故 周长的取值范围为 .
16．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在 中，内角 ， ， 所对的边分别为
， ， ， ．
(1)若 ，求出 的值；
(2)若 为锐角三角形， ，求边长 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出 ，由 将弦
化切，利用两角和的正弦公式求出 ，从而求出 ，最后根据两角差的余弦公式计算可得；
（2）由正弦定理得到 ，再转化为 角的三角函数，结合正切函数的性质求出 的取值范围.
【详解】（1）因为 由正弦定理可得 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
.
（2）因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
又 ，由正弦定理 ，
所以，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即边长 的取值范围为 .
17．（2023·江苏盐城·统考三模）在 中, 为 的角平分线,且 .
(1)若 , ,求 的面积;
(2)若 ,求边 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到 的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设 , ,根据 得到 ,在 中,利用余弦定理
得到 ,由两者相等结合 的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为 ,
所以 ,
得: ,
解得 ,
所以 .
（2）设 , ,
由 得
,即 ,
所以 ,
又在 中 ,
所以 ,
得 ,
因为 且 ,
得 ,
则 ,
所以 ,
即边 的取值范围为 .
18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到 ，再利用余弦定理求出 ；
（2）根据正弦定理得到 ，从而得到 ，求出，得到 ， ，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1） ，由正弦定理得： ，
即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ；
（2）锐角 中， ， ，
由正弦定理得： ，
故 ，
则
，
因为锐角 中， ，
则 ， ，
解得： ，
故 ， ，则 ，
故 ，
所以三角形周长的取值范围是 .
