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微专题03 解三角形
【秒杀总结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦
定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
【典型例题】
例1．（2023秋·山西太原·高三统考期末）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，且满足 ．
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
例2．（2023·浙江·统考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的取值范围．
例3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知 ，D为边AC上一点，
， .
(1)若 ， ，求 ；(2)若直线BD平分 ，求 与 内切圆半径之比的取值范围.
例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，
b，c，已知 ．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
例5．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为
a、b、c，已知 ．
(1)求证：B＝2A；
(2)求 的取值范围．
例6．（2023·全国·高三校联考阶段练习） 中， ， 是边 上的点，
，且 .
(1)若 ，求 面积的取值范围；
(2)若 ， ，平面内是否存在点 ，使得 ？若存在，求
；若不存在，说明理由.
例7．（2023·全国·高三专题练习）在① ；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解
答．在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且其面积为 ，点G为 重心，点M为线段 的中点，
点N在线段 上，且 ，线段 与线段 相交于点P，求 的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．
【过关测试】
1．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
满足
(1)求角C；
(2)CD是 的角平分线，若 ， 的面积为 ，求c的值.
2．（2023·全国·高三专题练习） 中，已知 ， ， 为 上一点，
， .
(1)求 的长度；
(2)若点 为 外接圆上任意一点，求 的最大值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，某城市有一条 从正西方通过市中心 后转向
东偏北60°方向 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 ，
并在 ， 上分别设置两个出口A， ， 在A的东偏北 的方向（A， 两点之间的
高速路可近似看成直线段），由于A， 之间相距较远，计划在A， 之间设置一个服务区
.(1)若 在 的正北方向且 ，求A， 到市中心 的距离和最小时 的值；
(2)若 到市中心 的距离为 ，此时 设在 的平分线与 的交点位置，且满
足 ，则求A到市中心 的距离最大时 的值.
4．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知 的外心为 ，
为线段 上的两点，且 恰为 中点.
(1)证明：
(2)若 ， ，求 的最大值.
5．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，
已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 外的一点，且 ， ，则当 为多少时，平面四边
形 的面积 最大，并求 的最大值．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中， ．(1)若 ，求△ABC的面积；
(2)若 ， ， ，求∠ACB的值．
7．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）在 中， ，点 ， 分别在 ，
边上．
(1)若 ， ，求 面积的最大值；
(2)设四边形 的外接圆半径为 ，若 ，且 的最大值为
，求 的值．
8．（2023·上海·高三专题练习） 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足
．
(1)当A为何值时，函数 取到最大值，最大值是多少？
(2)若 等于边AC上的高h，求 的值．
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， ， ，
， 且 为锐角．(1)求 ；
(2)求 的面积．
10．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）如图，在梯形 中， ，
， ， ．
(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．
11．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明： 为定值．
12．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）如图， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 是等边三角形， ， .
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
13．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）在① ；②
；③ ．
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S．且满足______．
(1)求A的大小；
(2)设 的面积为6，点D为边BC的中点，求 的最小值．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图， 为 内的一点， 记为 ， 记为
，且 ， 在 中的对边分别记为m，n， ， ，
.
(1)求 ；(2)若 ， ， ，记 ，求线段 的长和 面积的最大值.
15．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对
边分别是a，b，c，已知 且 .
(1)若 ，求 ；
(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.
16．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知四边形 内接于圆 ， ， ，
， 平分 .
(1)求圆 的半径；
(2)求 的长.
17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在 中，内角A，B，C的对
边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B的大小；
(2)若 ，
①求 的取值范围；
②求 的最大值．
18．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：① ；②
；③ .在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，满足：
______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
