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第 27 讲 正弦定理、余弦定理
【基础知识网络图】
【基础知识全通关】
一、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：
【微点拨】（1）正弦定理适合于任何三角形，且 （ 为
的外接圆半径）；
（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求
其它．
（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合
“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
二、余弦定理
在△ABC中，
a2 =b2 +c2 −2bccosA
，
b2 =a2 +c2 −2accosB
，
c2 =a2 +b2 −2abcosC
变形为：
b2 +c2 −a2 a2 +c2 −b2 a2 +b2 −c2
cosA= cosB= cosC=
2bc 2ac 2ab
， ，【微点拨】（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对
角，求其它③已知两边和夹角，求其它；
（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之
亦然；只是方便程度有别；
（3）正、余弦定理可以结合使用.
三、三角形的面积公式
(1) ，其中 为 边上的高
1 1 1
S= absinC= bcsinA= acsinB
2 2 2
(2)
（3） ，其中
四、三角形形状的判定方法
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，
解斜三角形的主要依据是：
（1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=
A+B C A+B C
sin =cos ,cos =sin
2 2 2 2
－tanC； ；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a >
b；
（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理
常用两种途径：
（1）由正余弦定理将边转化为角；
（2）由正余弦定理将角转化为边.
【微点拨】①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三
角公式等综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分
必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且
a，b，c成等比数列.
五、解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；
（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；
（3）角度问题；
（4）面积问题.
【考点研习一点通】
考点01运用正余弦定理解三角形
例1、在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ，
， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）由 ，得 ，
因为在 中， ，得 ，
由余弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 .（2）由 ，得
由正弦定理得 .
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余
弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑
用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力
和转化与化归思想．
【变式1-1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，若
， ，则 ______．
【答案】4
【解析】
∵ ，
∴由正弦定理得 ，
∴ ，
又 ，
∴由余弦定理得 ，∴ ，
∵ 为 的内角，∴ ，∴ ，∴ ，
故答案为：4．
【变式1-2】在 中，若 ，则 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理 将各值代入
得
解得 或 (舍去)选A.
考点02利用正余弦定理判定三角形形状
例2、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋
b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由
余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与
sinB＋sinC＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝
30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．
【变式】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则
△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】 (1)B (2)C
【解析】(1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此
△ABC是直角三角形．
(2)因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②
化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化
归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考点03 运用正余弦定理解决三角形的面积
例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．
(1) 求角A的大小；
(2) 若AB·AC＝，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) (解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，
得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA，
即sinA＝2sinAcosA．
因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，
所以cosA＝，所以A＝．
(解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，
得b＋c＝2a，
所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2) 由AB·AC＝cbcosA＝，得bc＝2，
所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝×2×sin60°＝【变式】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝，cos2A－
cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B．
(1) 求角C的大小；
(2) 若sin A＝，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) 由题意得 －＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，sin＝sin．
由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝．
(2) 由c＝，sin A＝，＝，得a＝．
由a，故甲船没有危险．
2
以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长分别为l＝2＝2，
乙船遭遇危险持续时间为t＝＝(小时)．
9、在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ，
，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由① ，解得 ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．方案二：选条件②．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ， ， ．
由② ，所以 ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
方案三：选条件③．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由③ ，与 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由余弦定理得 ，所以
.
由正弦定理得 .
（2）由于 ， ，所以 .
.
由于 ，所以 ，所以
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
