文档内容
专题 09 解三角形
【练基础】
一、单选题
1．（2023·四川内江·统考一模） 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 ， ，
，则 （ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理角化边，可求得c的值，再由余弦定理即可求得答案.
【详解】解：因为 ，所以 ，即 .
又 ，所以 ，
由余弦定理得 ,
从而 .
故选：B
2．（2023·广西柳州·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，点 为 的中点， ， ，
且 的面积为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】在 中由余弦定理得 ，由 ，得 ，即可解决.【详解】由题知，在 中，点D为 的中点， ， ，且 的面积为 ，
所以在 中由余弦定理得 ，即 ，
因为 ，即 ，代入 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
3．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时将B下压，
E接触平台，D紧邻E，此时钝角 增大了（ ）（参考数据： ，
， .）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】如图1，过点A作 ， ，垂足为 ， ，则
，
故 ，连接 ，在 中，由余弦定理可得： ，即
，
∵ ，即此时 为锐角，
如图2 ，设 平台，即 三点重合，则
，
连接 ，在 中，由余弦定理可得： ，
在 中，由余弦定理可得： ，
则 ，
整理得 ，即 ，
又∵ ，则 ，
此时钝角 增大的值大于 ，符合题意的只有D选项.
故选：D.4．（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知 中，设角 、B、C所对的边分别为a、
b、c， 的面积为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得： ，通过余弦定理可将等式化简整理为
，通过三角函数图像可知 ，同时通过基本不等式可知 ，即得
，通过取等条件可知 ， ，将其代入问题中即可求解答案.
【详解】已知
由正弦定理可知： ，
，
整理得： ，
两边同除 得： ，
根据余弦定理得： ，即 ，
， ， ，当且仅当 ，即 时等号成立.
又 ，当且仅当 时，等号成立.
综上所述： 且 ，故得： ，此时 且 ，
， .
故选：B
5．（2022·云南红河·校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ， 的面积为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决.
【详解】由题知， 的面积为 ，
所以 ，即
所以由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
故选：D
6．（2022·四川·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知三个向量 ，
共线，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是 的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得 ，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得
，结合角的范围求得 ，同理可得 ，则答案可求．
【详解】 向量 ， 共线， ，
由正弦定理得： ，
，则 ，
， ， ，即 ．
同理可得 ．
形状为等边三角形．
故选：A．
7．（2023·上海·高三专题练习）如图，在 中，已知 ，D是 边上的一点， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理求出 ，得到 ，由正弦定理进行求解出答案.
【详解】在 中，由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ，在 中，由正弦定理得： ，即 ，
解得：
故选：D
8．（2022·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知在 中， ．若 与
的内角平分线交于点 ， 的外接圆半径为 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理结合已知条件可求得 ，可得出 ，再利用等面积法可得出 内切圆半径的
表达式，结合基本不等式可求得 面积的最大值.
【详解】由 及正弦定理可得 ，
，所以， ，则 ，所以， ，
所以， 的外接圆直径为 ，
设内角 、 、 的对边分别记为 、 、 ，则 ，所以， ，
设 的内切圆半径为 ，则 ，所以， ，
因此， ，
因为 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 面积的最大值为 .
故选：C.
二：多选题9．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习） 的内角A， ， 的对边分别为a，b，c，下列
说法正确的是 （ ）
A．若 ，则
B．若 ，则此三角形为等腰三角形
C．若 ， ， ，则解此三角形必有两解
D．若 是锐角三角形，则
【答案】AD
【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用
诱导公式和正弦函数单调性可判断D.
【详解】由正弦定理可知 ，又 ，所以 ，可得 ，因为 ，所
以 ，A正确；
因为 ，且角2A，2 最多有一个大于 ，所以由 可知， 或
，即 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
由正弦定理可得 ，因为 ，所以 ，故此三角形有唯一解，C错误；
因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，又 在 上单调递增，所以
，同理 ，
所以 ，D正确.
故选：AD
10．（2022秋·福建福州·高三福建省福州延安中学校考阶段练习）如图所示， 中， ，
点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．A． B．
C． D． 与 夹角的余弦值为
【答案】AC
【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；
对B，根据三点共线的性质，结合 可得 ，进而得到 判断即可；
对C，根据余弦定理可得 ，再根据B中 两边平方化简求解即可；
对D，在 中根据余弦定理求解即可
【详解】对A， ，故A正确；
对B，设 ，则由A， ，故 ，因为 三点共线，故 ，解
得 ，故 ，故 ，所以 ，即 ，故B错误；
对C，由余弦定理， ，由B有 ，故
，即 ，所以 ，故C正确；
对D，在 中 ， ， ，故 ，
故D错误；
故选：AC
11．（2022·吉林长春·长春市实验中学校考二模）锐角 的内角 的对边分别为 ，若 ，则（ ）
A．
B． 的取值范围是
C．若 ，则
D． 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于A：由正弦定理得到 ，利用正弦函数的性质可得到 ，即可判断；
对于B：由 为锐角三角形，列不等式组，解得： ，即可判断；
对于C：先由正弦定理得到 ，再由余弦定理解得 .
对于D：由正弦定理得到 ，由 ，求出 的取值范围.
【详解】对于A：在 中，由正弦定理， 可化为： .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
所以 ，即 .
或 ，即 这与A为 的内角相矛盾，舍去.故 .故A正确；
对于B：因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，解得： .故B错误；
对于C：因为 ，由正弦定理得： ，即 ，所以 .
因为 ，由余弦定理得： ，所以 ，
即 ，即 ，解得： （ 舍去）.故C正确；对于D：由正弦定理， .
因为 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围是 .
故D正确.
故选：ACD
12．（2022·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．
B． 面积的取值范围为
C．已知M是边BC的中点，则 的取值范围为
D．当 时， 的周长为
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理化边为角，结合三角形内角关系及两角和的正弦公式即可判断A；以BC的中点为坐标原点，
BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 ， ，设 ，求出点 的轨迹方程，从而可判
断BC；由 ，可得 ，结合正弦定理及 ，可得 ，从而可求出 ，从而可求
出 ，求出 ，即可判断D.
【详解】解：对于A选项，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，所以 ，
∴ ，故选项A正确；对于选项B，以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 ， ，设
，
因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以点A在以 为圆心， 为半径的圆上运动，（B、C除外）
所以点A到BC边的最大距离为 ，
所以 面积的最大值为 ，
∴ 面积的取值范围为 ，故选项B正确；
对于C选项，因为点A在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ，则 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，故选项C错误；
对于D选项，由 ，可得 ，
由A选项，得 ，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以化简得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ， ， ， 为直角三角形，
所以 ， ，所以 的周长为 ，所以选项D正确.
故选：ABD．
三：填空题
13．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图， 是等边三角形， 是等腰三角形，
交 于 ，则 __________.
【答案】 ##
【分析】由题意易得 ， ，在 中，分别求出 ，再利用正弦定理
即可得解.
【详解】解：由题意可得 ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，，
在 中，由 ，
得 .
故答案为： .
14．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台 如图所示 ，
其中 ， 为两条公路， ， ， 为公路上的两个景点，测得 ， ，为了获
得最佳观景效果，要求 对的视角 现需要从观景台 到 ， 建造两条观光路线 ， ，且要
求观光路线最长.若建造观光路线的宽为 米，每平方造价为 元，则该景区预算需投入___万元可完成改造
【答案】
【分析】先用余弦定理求出MN，设 ，用正弦定理表示出 ,利用三角函数求出最大值，即可得
到预算投入.
【详解】在 中，由余弦定理得：
，
解得 （千米）；
设 ， ， ，
在 中，由正弦定理，得 ，，
， ，
又因为 ，
所以
所以 ，
即观光线路 长的最大值为 ，
该景区预算需投入 元 万元．
故答案为：265.
15．（2022秋·河北邯郸·高三校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ，
，则 的最小值为______．【答案】
【分析】先利用正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理结合基本不等式求解即可.
【详解】 ，则原等式为 ，由正弦定理得 ，
，当且仅当 时取等号．
故答案为： .
16．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法
称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ___________．
【答案】 .
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为 ，所以 ．
故答案为： .
四：解答题
17．（2023·浙江·统考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式与倍角公式推得 ，从而得
到 ，由此得解；
（2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以由余弦定理得 ，
记 ，则 ，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ，
故 ，则 ，
所以 ，即 ．
18．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 ， ．
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，c＝3，若向量 与 垂
直，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先变形得到 ，再利用 计算即可；
（2）先通过 求出 ，再利用向量垂直求出 ，则 也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周
长.
【详解】（1） ，
，
；
（2）由（1）得 ，则 ，
，又 ，
，
又向量 与 垂直，
，
即 ，又
，则 ，
由正弦定理 ，
则 ，
的周长为 .
19．（2023·安徽·校联考模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足
．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 边上的高，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 两边同乘 ，再由正弦定理将边化角，最后由两角和的正弦公式及诱导
公式计算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出 的最大值，即可求出面积的最大值，再根据 求出 的
最大值.
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 .
（2）解：因为 ， ，
由余弦定理 ，即 ，
所以 当且仅当 时取等号，
所以 ，则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 ，
所以 ，
故 的最大值为 .
20．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数 的最大值和最小正周期；
(2)在锐角 中，角 所对的边分别为 为 的面积.若 且 求
的最大值.【答案】(1)最大值为 ，最小正周期为
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换得 ，即可解决；（2）由题得 ， 代入题
中解决即可.
【详解】（1）由题知，
所以函数 的最大值为 ，最小正周期为 ．
（2）由（1）得 ，
因为 ，
所以 ．
因为B为锐角，
所以 ．
因为 ，
所以 ， .
所以 ．所以 ．
当 时，原式有最大值 ．
所以 的最大值为 .
【提能力】
一：单选题
21．（2022·全国·高三专题练习）已知 中， ， ， ，
D是边BC上一点， .则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理及余弦定理可得 ，结合条件可得 ，然后利用余弦定理可得 ， ，进而
可得 ，即得.
【详解】设 中，角 的对边为 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故 ，
∴ ， ， ，又 ， ，
∴ ， .
故选：B.
22．（2022·河南·灵宝市第一高级中学校联考模拟预测）在 中， ，点 是边 的中点， 的
面积为 ，则线段 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，根据三角形的面积以及余弦定理可推得
，设函数 ，则方程 在 上有解，
结合二次函数的性质，求得答案.
【详解】设 ， ，所以 ，
即 ①，
由余弦定理得 ，即 ②，
由①②得： ，即 ，
令 ，设 ，则方程 在 上有解，因为
，
所以 ，
解得 ，即 ，
故选：C．
23．（2023·上海·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将 进行化简，可求出 的值，再利用边化
角将 化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知 ，
即
由正弦定理化简得即
故选： .
【点睛】方法点睛：边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理 （ 为 外接圆半径）得 ， ，
；
（2）角化边：
①利用正弦定理： ， ，
②利用余弦定理：
24．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得 、 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．
【详解】∵ ，∴所以
因此
设 ，∵ 是锐角三角形，∴ ，∴
∴ ， 在 上单调递增，
∴ ，故选：C
25．（2022·全国·高三专题练习）已知 是不共线向量，设 ， ， ， ，
若 的面积为3，则 的面积为（ ）
A．△8 B．△6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根据已知条件结合向量的线性表示，向量加减法的运算，可得到 与 的两个边之间的关系，利
用面积公式结合边的关系，可得结论.
【详解】∵ ， ， ， ，
如图，在平行四边形 中，
，
设 ，则 ，即
同理，在平行四边形 中，
，
可得 ， ，∴ ， ；
所以 与 的夹角为 或其补角，
则
∴ 的面积为8.
故选：A.【点睛】思路点睛：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的
加、减或数乘运算；
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，
再通过向量的运算来解决.
26．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，点 在边 上，且 ，设
，则当 取最大值时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，利用两角和与差的正弦公式化简得到 ，进而求得A，根据
点 在边 上，且 ，得到 ，再由余弦定理结合 两边平方，
得到 ，令 ，得到 ，用导数法求得最大值时a，
b，c的关系，再利用正弦定理求解.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，因为点 在边 上，且 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
令 ，得 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，此时 ，
所以 ，解得 ，
在 中，由正弦定理得 ，解得 ，即 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到 ，然后利用余弦定理表示BC，利
用平面向量表示AD而得解.
27．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
且 ， ，若 ， 变化时， 存在最大值，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ， 可得 ，由正弦定理转化为角的关系可以得到
，由此推出 ，又 为锐角三角形，可求出 ，将 都用角A表
示可以得到 ，且 ，当 取最大值时利用 可求得
的范围.
【详解】解：因为 ， ，所以 ，
可得： ，即 ，
因为 为锐角三角形，则有 ，即 ，解得： .
= ，
当 时，原式有最大值 ，此时 ，则 ， ， ，即 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数正弦定理的应用，考查三角函数辅助角公式，对辅助角公式的熟练应用是解题的关键，
属于难题.
二、多选题
28．（2023·全国·高三专题练习）设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．下列有关等边三角
形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若 ，则 是等边三角形
B．若 ，则 是等边三角形
C．若 ，则 是等边三角形
D．若 ，则 是等边三角形
【答案】BCD
【分析】根据正弦定理及三角函数的图象与性质及导数判断函数单调性，即可判断ABCD的真假.
【详解】A，若 ，
由正弦定理可知：任意 都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；
B，若 ，
由正弦定理可得： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，正确．
C，若 ，由正弦定理可得： ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，正确．
D，若 ，∴ ，
时， 是等边三角形；
时，研究函数 的单调性，
， 时， ，
∴函数 在 上单调递减，因此 不成立．
综上可得： 是等边三角形，正确．
故选：BCD．
29．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为 ，有
以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
【答案】ACD
【解析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；
利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C；
由已知条件可得 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得 的面积即可判断选项D.
【详解】对于选项A：（当且仅当 时取等号）.
令 ， ，故 ，
因为 ，且 ，
故可得点 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数 上，表示圆弧上一点到点 点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 ，即 时，取得最小值 ，
故可得 ，
又 ，故可得 ，
当且仅当 ， ，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以由正弦定理得 ，若 是直角三角形的斜边，则有 ，即
，得 ，故选项B错误；
对于选项C，由 ，可得 ，由 得 ，
由正弦定理得， ，即 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以化简得 ，因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 的周长为 ，故选项C正确；
对于选项D，由C可知， 为直角三角形，且 ， ， ， ， ，所以 的内
切圆半径为 ，
所以 的面积为
所以选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合不等式
得 ，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.
30．（2022·全国·高三专题练习）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以
小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开
平方得积.把以上文字写成公式，即 （ 为三角形的面积， 、 、 为三角形的三
边）.现有 满足 ，且 的面积 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周长为 B． 的三个内角 、 、 成等差数列C． 的外接圆半径为 D． 的中线 的长为
【答案】AB
【解析】本题首先可根据 得出 ，然后根据 以及
求出三边的长，即可判断出A正确，然后根据余弦定理求出 ，则 ，
，B正确，再然后根据 即可判断出C错误，最后根据余弦定理求出 ，再根据
求出 长，D错误.
【详解】A项：设 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
因为 ，所以由正弦定理可得 ，
设 ， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ，则 ， ， ，
故 的周长为 ，A正确；
B项：因为 ，
所以 ， ，
故 的三个内角 、 、 成等差数列，B正确；
C项：因为 ，所以 ，由正弦定理得 ， ，C错误；
D项：由余弦定理得 ，
在 中 ， ，
由余弦定理得 ，解得 ，D错误，
故选：AB.
【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有 、 ，考查正弦定理边角互
换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
31．（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）在△ 中，内角 所对的边分别为a、b、c，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．若 ，且 ，则△ 为等边三角形
【答案】ACD
【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令 可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性
质有 ，由正弦定理即可证；D若 ， ，根据单位向量
的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ 的形状.
【详解】A：由 ，根据等比的性质有 ，正确；
B：当 时，有 ，错误；
C： ，而 ，即 ，由正弦定理易得，正确；
D：如下图， 是单位向量，则 ，即 、 ，则
且 平分 ， 的夹角为 ， 易知△ 为等边三角形，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判
断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.
三、填空题
32．（2022秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）在锐角 中，角 所对的边分别为 为 的面
积，且 ，则 的取值范围___________.
【答案】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得 ，再根据同角关系式可得 ， ，然
后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得 出，结合条件可得 的取值范围，进而即得.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，即 ，由余弦定理得： ，
所以 ，又 ，
所以 ，
解得： 或 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
由正弦定理得：
，
因为 为锐角三角形，
所以 ，即 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
故 .故答案为： .
33．（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺
术之一．如图，纸片为一圆形，直径 ，需要剪去四边形 ，可以经过对折、沿 裁剪、展开
就可以得到．
已知点 在圆上且 ．要使得镂空的四边形 面积最小， 的长应为_____ ．
【答案】 ##
【分析】设 根据 可得 ，进而根据 的
面积公式可得 的关系，再根据基本不等式可得当 为等腰三角形时取得面积最小值，进而得出此时
，结合三角函数求解即可.
【详解】如图，连接 ，作 于 ，由题意， ，故 ，所以
.
设 则由面积公式， ，即 .由余弦定理 ，
结合基本不等式 ，即 ，当且仅当 时取等号.
故 取最小值时 ，此时 .
故 .故答案为：
34．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，
若 ，且 的面积 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由面积公式及余弦定理求出 ，再由正、余弦定理将角化边，即可求出 ，再由正弦定理及三角恒等变换
公式将 转化为关于 的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得；
【详解】解：由 ， ，
又 ，所以 ，
， ， ，
， ．
， ，
由正弦定理得 ，
所以，
因为 ，所以 ，所以 ，
，
．
故答案为： ．
35．（2022秋·福建龙岩·高三福建省长汀县第一中学校考阶段练习）锐角 中，角A，B，C所对边分别为a，
b，c，有 ，且 ，则 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】先利用三角函数恒等变形求出 ，利用正弦定理表示出 ，用三角函数
求出 的取值范围.
【详解】因为 ，
所以 .
因为 ,所以 ，所以 .
所以 .
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ,所以 .
所以 ，即 .因为 为锐角三角形，所以 ，解得：
由正弦定理 得： ， .
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
即
在 中，由两边之和大于第三边，所以 .
综上所述： .
故答案为：
【点睛】解三角形的最值问题包括两类：
（1）利用正弦定理转化为三角函数求最值；
（2）利用余弦定理转化为基本不等式求最值．
四、解答题
36．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B的值；
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到 ，再利用余弦定理求出 ；
（2）根据正弦定理得到 ，从而得到 ，求出 ，
得到 ， ，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1） ，由正弦定理得： ，
即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，
所以 ；
（2）锐角 中， ， ，
由正弦定理得： ，
故 ，
则
，
因为锐角 中， ，则 ， ，
解得： ，
故 ， ，
则 ，
故 ，
所以三角形周长的取值范围是 .
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角
度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常
采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
37．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已
知
(1)求角A；
(2)若 为锐角三角形，且 的面积为S，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到 ，再结合 ，即可得到 ；（2）根据 和三角形面积公式将 整理为 ，再根据锐角三角形和正弦定理得到
的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.
【详解】（1） ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）可知 ， ．
则 ．
因为 锐角三角形，所以 ，整理得 ．
因为 ，所以 ．
令 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即 ，
故 的取值范围为 .
38．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是 的角平分线，若 ， 的面积为 ，求c的值.【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）先由正弦定理得 ，化简整理得 ，再由余弦定理求得 ，即可求
解；
（2）先由面积求得 ，再由角平分线得 ，结合平面向量得 ，平方整理求得
，再由（1）中 即可求出c的值.
【详解】（1）由正弦定理得 ，即 ，整理得 ，
化简得 ，由余弦定理得 ，又 ，则 ；
（2）
由面积公式得 ，解得 ，又CD是 的角平分线，则
，
即 ，则 ，
所以 ，即
，整理得 ，又 ，解得 ，则 ，
由（1）知 ，则 .
39．（2022·湖南·校联考模拟预测）在 中， 为 上一点， ．
(1)若D为 的中点，求 的面积的最大值；
(2)若 ，求 的面积的最小值．
【答案】(1)12；
(2) .
【分析】（1）由题可得 ，利用向量数量积的运算法则及基本不等式可得 ，然后利用面积
公式即得；
（2）利用和差角公式及正弦定理可得 ，进而可得 ，然后利用导数求函数的
最值即得.
（1）
因为D为 的中点，
所以 ,
∴ ．
记角 的对边分别为 ，
因为 ．所以 ，则 ，
所以 （当且仅当 时取得最大值）．
所以 .
（2）
∵ ， ，
∴ ，
设 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ．
同理可得 ．
由 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ．
设 ．则 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 面积的最小值为 ．
