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专题 02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题
【命题规律】
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴
小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：倍长定比分线模型
核心考点二：倍角定理
核心考点三：角平分线模型
核心考点四：隐圆问题
核心考点五：正切比值与和差问题
核心考点六：四边形定值和最值
核心考点七：边角特殊，构建坐标系
核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
2．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三
个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求b．
3．（2022·全国·高考真题（文））记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
（1）若 ，求C；
（2）证明：4．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）若 ，求B；
（2）求 的最小值．
【方法技巧与总结】
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关
系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元
素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当
选用公式，对于面积公式 ，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等
式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，
确定所求式的范围．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数
等知识．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用
三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基
本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性
求解．
7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊
边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，
再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．
【核心考点】
核心考点一：倍长定比分线模型
【规律方法】
在边 上，且满足 ， ，则延长 至 ，使 ，连接 ，易知
如图，若
∥ ，且 ， ． ．【典型例题】
例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在 中， ， ， 为 上一点，
且满足 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边，AD为BC边上
的中线，c＝1， ， ．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为 的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
例4．（2022·广西柳州·高三阶段练习（文））已知 ，将 的图象向右平移 单位后，得到 的图象，且 的图象关于 对称．
(1)求 ；
(2)若 的角 所对的边依次为 ，且 ， ，若点 为 边靠近 的三
等分点，试求 的长度．
例5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，D为 上靠近点C的三等分点，且 ．记
的面积为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， 分别是 内角 ， ， 所对的边，且满足
，若 为边 上靠近 的三等分点， ，求：
（1）求 的值；
（2）求 的最大值．
例7．（2022·全国·高三专题练习）在① ② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并进行求解.
问题：在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，c=8，点M，N是BC边上的两个三
等分点， ，___________，求AM的长和 外接圆半径.例8．（2022·湖北·高三期中） 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
， ．
(1)求角B；
(2)若 边上的点D满足 ， ，求 的面积．
核心考点二：倍角定理
【规律方法】
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：
推论2：
【典型例题】
例9．（2022·广西·灵山县新洲中学高三阶段练习（文））在锐角 中，角 所对的边为
，且 .
(1)证明:
(2)若 ，求 的取值范围.
例10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，
是 的面积, ．
(1)证明：A＝2C；
(2)若a＝2，且 为锐角三角形，求b＋2c的取值范围．例11．（2022·福建龙岩·高三期中）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 是钝角， ，求 面积的取值范围．
例12．（2022·江苏·宝应中学高三阶段练习）在 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满
足 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
例13．（2022·江苏连云港·高三期中）在 中，AB＝4，AC＝3．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若A＝2B，求BC的长．
例14．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满
足 .
(1)证明： .
(2)求 的取值范围.
核心考点三：角平分线模型
【规律方法】角平分线张角定理：如图， 为 平分线， （参考一轮复习）
斯库顿定理：如图， 是 的角平分线，则 ，可记忆：中方=上积一下积．
【典型例题】
例15．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习） 中， ， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长度；
(2)若 为角平分线，且 ，求 的面积.
例16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若 ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 面积的取值范围.
例17．（2022·江苏泰州·高三期中）在① ；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ．
(1)求角C的大小；(2)若∠ACB的角平分线CD交线段AB于点D，且 ，求△ABC的面积．
例18．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知向量 ， ，函数
．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若 恰好为函数
的最大值，且此时 ，求3a＋4b的最小值．
例19．（2022·河北·高三阶段练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 ， .
(1)若点D为 的中点且 ，求 的余弦值；
(2)若 的角平分线与 相交于点E，当 取得最大值时，求 的长.
例20．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且______．在①
；② ；③ 这三个条件中任
选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
(1)求角 的大小；
(2)若角 的内角平分线交 于 ，且 ，求 的最小值．
例21．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知 的内角 对应的边分别是 ， 内角
的角平分线交边 于 点， 且 ．若 ， 则 面积的最小值是
（ ）A．16 B． C．64 D．
核心考点四：隐圆问题
【规律方法】
若三角形中出现 ，且 为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
【典型例题】
例22．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，
以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数 的动点的轨迹．已知在
中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，则 面积
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例23．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山
人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值
的动点的轨迹.已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例24．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲
线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这
样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏
圆，现有 ， ， ，则当 的面积最大时， 的长为______.
例25．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山
大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值 （
）的动点的轨迹.已知在 中，角 的对边分别为 ，
则 面积的最大值为__________．
例26．（2022·全国·高三专题练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线
论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样
一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗
尼斯圆.现有 ， ，则当 的面积最大时，AC边上的高为_______________.
核心考点五：正切比值与和差问题【规律方法】
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式） 中， ．
【典型例题】
例27．（2022·江苏南通·高三期中）在 中，点D在边BC上，且 ，记 .
(1)当 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的值.
例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在锐角 中， 分别为角 所对的边， ，且
的面积 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最大值．
例29．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知在 中，角 ， ， ，的对边分别为 ， ，
，且 ，
(1)若 ，求边 的值；
(2)若 ，求 的面积．
例30．（2022·江西赣州·高三期中（理））在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角B的大小；(2)若 ，求 的值．
例31．（2022·湖南·高三阶段练习）在 中，内角A，B，C满足 且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的最小值．
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)当 ， 时，求 的值；
(2)判断 的形状.
例33．（2022·湖北·高三开学考试）在 中，内角 满足 .
(1)求证： ；
(2)求 最小值.
例34．（2022·江苏南京·高三开学考试）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)若 ，求A，B；(2)若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围.
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量
， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，则 ______．
例37．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在 中，角 所对的边分别为 ，若
，且 ，则 __________．
核心考点六：四边形定值和最值
【规律方法】
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是
拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
勒密定理：在四边形 中，有 ，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号
成立．
【典型例题】
例38．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））在四边形 中， ，则四
边形 面积的最大值为______.
例39．（2022·江苏无锡·高三期中）如图，在平面四边形 中， ．(1)判断 的形状并证明；
(2)若 ， ， ，求四边形 的对角线 的最大值．
例40．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形 中， ， ，
．
(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
例41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数
.
(1)求 的最小正周期T和单调递减区间；
(2)四边形ABCD内接于⊙O，BD=2，锐角A满足 ，求四边形ABCD面积S的取值范围.例42．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形 中， ， ，
.
(1)若 且 ，求凹四边形 的面积；
(2)若 ，求凹四边形 的面积的最小值.
例43．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，在平面四边形 中， ，
， .
(1)若 ， ，求对角线 的长；
(2)当 ， 时，求平面四边形 的面积的最大值及此时 的值.
例44．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设 ，其中 ，已知.
(1)求 的最小值；
(2)已知凸四边形 中， ，求 面积的最大值.
核心考点七：边角特殊，构建坐标系
【规律方法】
利用坐标法求出轨迹方程
【典型例题】
例45．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．若 ，则 的面积的
最大值为______．
【答案】
【解析】:方法1:如图，在 中，以线段 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐
标系，则 ， ，设 ，得 ，
整理得 ，
当 面积最大时 ，
故 ，当 时， 面积取得最大值为 .
方法2:如图，设 ， ， ，由 ，得 ，
即 ，又 ，得 当且仅当 时取等号)，所以，又
(当且仅当
时，等号成立，即 ，将 与 代人 中，得 .
所以 面积取得最大值为 .
方 法 3: 由 三 角 形 面 积 公 式 ， 得 ， 即 ， 由
，得 ，由余弦定理，得 ，
所 以
(当且仅当 时取等号)，当 时， ，取得最大值 ，
即 ，所以 面积的最大值为 (也可以用基本不等式求 的最大值，即
，所以 面积的最大值为 ).
方 法 4: 在 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 ， 由 ， 得
，即 ，又 ，所以 ，
即 ，故 ，又 ，所以 ，令 ，
，得 ，令 ，得 ，
0
极大值即当 时， ， ，所以 面积的最大值为 .
例46．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．若 ，在 所在的平面内存
在点 ，使得 ，则 的面积的最大值为______．
【答案】
【解析】:以 所在直线为 轴， 边的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设
， ， ， ， ， .
由 ，得 ，即 ①，又 ，
故 ②，其中①式可以看作以(0，0)为圆心，半径为 的圆的轨迹方程，②式可以看作
以 为圆心，半径为 的圆的轨迹方程，由题意知两圆有公共点，即点 ，则
③，又 ，得 ④，由③ ，④得 ，因为
，所以 ， ，当 时， 取得最大值 ，
故 的最大值为 .
核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
【规律方法】
与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用
公式，对于面积公式 ，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
【典型例题】
例47．（2022·重庆一中高三期中）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足
.
(1)证明：a，b，c成等比数列；(2)若 且 ， 的面积为 ，求 的周长.
例48．（2022·山东聊城·高三期中）已知 中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且 ， ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的周长．
例49．（2022·山西·高三阶段练习）在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段 延长线上的一点，且 ，求 的面积．
例50．（2022·云南云南·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角C；
(2)若 ，D为边BC的中点， 的面积 且 ，求AD的长度.
例51．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满
足 ．(1)证明： ；
(2)若AB＝2，AC＝1， ，求△ABD的面积．
核心考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
【规律方法】
对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，
求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定
所求式的范围．
【典型例题】
例52．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求B；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围.
例53．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知向量 ， ，函数
．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像．
(1)求函数 的零点；
(2)若锐角 的三个内角 的对边分别是 ， ， ，且 ，求 的取值范围．
例54．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数 ．(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，并求出使函数 在区间 上最
小值为 时，a的取值范围；
条件①： 的最大值为1；
条件②： 的一个对称中心为 ；
条件③： 的一条对称轴为 ．
(2)若 ，在锐角 中，若 ，且能盖住 的最小圆的面积为 ，求 的取值范
围．
例55．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c， ，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 ，求△ABC面积的取值范围．
例56．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）在 内角A，B，C所对应的边分别为 已知
(1)求角C的大小.
(2)若 ，求 的最大值.
例57．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，点D满足 ，且 ．
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．例58．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））在 中，内角 ， ， 所对的边
分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
例59．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在① ；② ；③
.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.
在 中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c， 的面积为S，且满足___________
(1)求A的大小；
(2)设 的面积为 ，点D在边 上，且 ，求 的最小值.
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））在 中，已知 ， ，则 的最小值为
（ ）
A．-1 B． C． D．
2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若角A的内角平分线 的长为3，则 的最小值为
（ ）
A．21 B．24 C．27 D．36
3．（2022·山西·高三阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．点D为 的中点，
，且 的面积为 ，则 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·山东菏泽·高三期中）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 外接圆面积与 面积之比的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·湖北·高三期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，下
列结论正确的是
（ ）
A．
B．当 ， 时， 的面积为
C．若 是 的角平分线，且 ，则
D．当 时， 为直角三角形
6．（2022·贵州·模拟预测（理））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 是边 上一
点， 平分 ，且 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．4
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
△ABC是锐角三角形，且满足 ，若△ABC的面积 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知 是三角形 的外心，若
，且 ，则实数 的最大值为（ ）A．6 B． C． D．3
二、多选题
9．（2022·江苏南通·高三期中）在圆O的内接四边形 中， ， ， ，则
（ ）
A． B．四边形 的面积为
C． D．
10．（2022·江苏淮安·高三期中）在 中，角A,B,C所对的边分别为 ，若 ，则下列
四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·湖北·高三阶段练习）已知 外接圆的面积为 ，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 ， ， 成等比数列，设 的周长和面积分别为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·山西太原·高三期中）已知 分别是 内角 的对边， ，且 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））在 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若
；则当角A最大时， 的面积为______.
14．（2022·四川南充·高三期中（文））已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，且 内切圆面积为 ，则 周长的最小值是______．
15．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
， ，若点M满足 ，且 ，则 的面积
为_________________．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则
PA的长度为______．四、解答题
17．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， 是
的面积, ．
(1)证明：A＝2C；
(2)若a＝2，且 为锐角三角形，求b＋2c的取值范围．
18．（2022·河北·模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足
，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
19．（2022·湖北·高三期中）如图，在平面凹四边形 中， ， ， ，角 满
足： ．
(1)求角 的大小
(2)求凹四边形 面积的最小值．20．（2022·湖北襄阳·高三期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
21．（2022·湖北·高三阶段练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
22．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在 中， ，
(1)求角C的大小；
(2)求 的取值范围．
