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专题02 椭圆的焦点弦，中点弦，弦长问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．过椭圆 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 两点，则 等于（ ）
A．4 B．2
C．1 D．4
【解析】因为椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的右焦点的坐标为 ，
将 ，代入椭圆的方程，求得 ，所以 .故选：C.
2．直线 ，当k变化时，此直线被椭圆 截得的弦长的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．不能确定
【解析】直线 恒过定点 ，且点 在椭圆上，
设另外一个交点为 ，所以 ，则 ，弦长为
，当 时，弦长最大，为 .故选：B.
3．若椭圆 的弦 的中点为 ，则弦 的长为（ ）
A． B．
C． D．【解析】设 ，因为弦 的中点为 ，可得 ，
又因为 在椭圆上，可得 ，
两式相减可得 ，
可得 ，即直线 的斜率为 ，
所以弦 的直线方程为 ，即 ，
联立方程组 ，整理得 ，可得 ，
由弦长公式，可得 .故选：A.
4．椭圆 内有一点 ，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设满足题意的直线与椭圆交于 两点，则 ， ，
两式相减得 ，即 .
又直线过 ，由此可得所求的直线方程为 ，
所以弦所在直线的方程为 ，故选：B.
5．已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ．倾斜角为 的直线与 交于 两点，并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，由 ，
消去 ，得 ，
注意到 ，则 .于是 ，
同理， . 因此 .
的倾斜角为 ，∴直线的斜率 ，根据弦长公式，可得 .
由 ，可得 ，故 .
．故选：A
6．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，若 ，
且 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 右焦点 ， ，
设 , , , ，由 可知 是 的中点， ， ，
且 ，两式相减得 ，
， ， ， ，故椭圆 方程为 ，故选：C
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两点（其
中点 在点 的左侧），记 面积为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 时，
C． 的最大值为 D．当 时，点 的横坐标为
【解析】由椭圆 ，可得 ， ， ，由对称性可知 ，
∴ ，故A正确；
设 ， ， ， ，若 时，可得
，解得 ，故B错误；
∵直线 与椭圆 交于 ， 两点，
∴ ， 两点的坐标分别为 ， ，
∴
，当且仅当 ，即 时取等号，故C正确；
、 的坐标分别为 ， 设 ，当 时， ，设
，则 ，∴由余弦定理可得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，
∵又 ，解得 ，故D正确.故选：B.
8．已知A，B两点的坐标分别为 ， ，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜
率之积是 ．斜率为l的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则 的面积的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【解析】设 因为 满足 与 的斜率之积为 ，
所以有 ；M的轨迹为
设直线 ，联立 ，可得 ，
，
点O到直线 的距离 ，
，故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 两点．若 的中点坐标为 ，则（ ）
A．直线 的方程为 B．
C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的离心率为
【解析】因为直线 过点 和点 ，所以直线 的方程为 ，
代入椭圆方程 ，消去 ，得 ，
所以 的中点的横坐标为 ，即 ，
又 ，所以 ，离心率为 ，所以圆 的方程为 ．故选：ABD．
10．已知椭圆 内一点 ，上、下焦点分别为 ， ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，
且 为线段 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为 ， B．椭圆 的长轴长为
C．直线 的方程为 D． 的周长为
【解析】由椭圆方程知：焦点在 轴上，且 ， ， ，
即 ， ， ，所以椭圆的焦点坐标为 ， ，故A错误；
椭圆 的长轴长为 ，故B正确；由题意，可设 ， ，则 ，
两式作差得 ，
即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，故C正确；
由C知，直线 过椭圆的上焦点 ，
根据椭圆的定义，所以 的周长为 ，故D正确．故选：BCD.
11．已知椭圆E： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，上顶点为P，若过 且
倾斜角为 的直线l交椭圆E于A，B两点， 的周长为8，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4
C． D．四边形 的面积为
【解析】对于选项A：设椭圆的半焦距为 ，因为 ，解得 ，
可知 ，
直线 的斜率为 ，故A正确；
对于选项B：由选项A可知： ，且 ，则 为等边三角形，
由题意可知： ，即直线l为 的角平分线，则点 关于直线l对称，所以 的周长为8，则 ，可得 ，
所以椭圆E的短轴长为 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，所以 ，故C正确，
对于选项D：因为直线l的方程为 ，椭圆 方程为 ，
设 ，联立方程 ，消去x得 ，
则 ，可得 ，
则 ，点 直线l的距离为 ，
所以四边形 的面积为 ，故D正确；
故选：ACD.
12．已知椭圆 ，点 为右焦点，直线 与椭圆交于 两点，直线 与椭圆交于
另一点 ，则（ ）
A． 周长为定值 B．直线 与 的斜率乘积为定值
C．线段 的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为
【解析】该椭圆中 ，则 ，所以离心率为 ，故D正确；
设 ， ， ，则在 、 斜率都存在的前提下有 ， ，
于是 为定值，故B正确；
由题意可设 的方程为 ，联立 ，消 得 ，
则 ，
所以 ，
则当 时， ，所以线段 的长度存在最小值，故C正确.
当 时，直线 与椭圆 交于点 和 ，
不妨取点 为 ，得直线 方程为 ，求得交点 为 ，
则 ， ， ，此时 的周长为 ，
当 时，联立 ，解得 ，不妨取 ，
则 垂直于 轴，此时 ， ， ，
此时 的周长为 ，显然 周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．过椭圆 的左焦点且斜率为 的弦 的长是 ．
【解析】设点 、 ，在椭圆 中， ， ， ，所以，椭圆的左焦点坐标为 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， .
14．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ､ ，P为椭圆上一点（异于左右顶
点）， 的内切圆半径为r，若r的最大值为 ，则椭圆的离心率为 .
【解析】设内切圆的圆心为 ，连接 ，
，
由题意可得： ，
所以当 取到最大值 时， 有最大值，且最大值为 ，
所以 ，整理可得： ，
两边同时平方可得： ，
所以 ，所以 ，解得： 或 （舍去）.
15．已知直线 与椭圆 在第二象限交于 两点，且 与 轴、 轴分别交于 两点，若
， ，则 的方程为 ．【解析】设 ，线段 的中点为 ，
由 ，两式相减可得 ，即 ，
又由 ，则 ，
设直线 的方程为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
16．椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，离心率为 ，直线
将 分成面积相等的两部分，则 的取值范围是 .
【解析】依题意， ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ，
由于 ， ，所以 是等腰直角三角形，
所以 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设直线 与 的交点为 ，与 轴的交点为 ，
①当 与 重合时， ，则 ，所以 ，解得 .
②当 在 之间时， ， 所以 ，
由 解得 ， ，
由 令 ，得 ，所以 ，所以 ，
整理得 ，由 解得 .
③当 在 左侧，则 ， ，
设直线 与 的交点为 ，
由 解得 ，因为 ，
所以 ，
，所以 ，
所以 ，所以 .综上所述， 的取值范围是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线与椭圆 交于 两点，求 的最大值.
【解析】（1）由椭圆 的离心率为 ，可得 ，可得 ，
设椭圆方程 ，将点 代入方程，可得 ，故方程为 .
（2）设 且 ，
联立方程 ，整理得 ，
由 ，可得 ，且 ， ，
又由原点到 的距离 ，
由圆锥曲线的弦长公式，可得 ，
所以令 ，可得
当且仅当 ，即 时，面积取到最大值 .
18．已知椭圆M： ，圆N： ，直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为 ．
(1)求直线l方程及椭圆M的焦距．
(2)直线l交椭圆M于A、B两点，直线l交圆N于C、D两点，求 ．
【解析】（1）由题意知椭圆M： ，则长半轴长 ，短半轴长 ，
则焦距为 ，其右焦点 ,直线l过椭圆M右焦点F且倾斜角为 ，其斜率为1，
故直线l的方程为 ；
（2）将 代入 中，可得 ， ，
设 ，则 ，
故 ；
圆N： 的圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，故 .19．已知椭圆C： 的焦距为 ，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 ，E为直线 上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：
.
【解析】（1）设C的半焦距为c（ ）.由已知得 ， ，又由 ，
解得 ， .所以椭圆C的方程为 ；
（2）设直线DE的方程为 ，则 .
将 代入 ，得 .
设H，G的坐标分别为 ， ，
则 ， ， .
，
，
要证 ，只要证 ，
即要证 .即要证 ，
即要证 （*）.
因为 ，所以（*）式成立，所以 成立.以 成立.
20．已知椭圆 ： 的一个端点为 ，且离心率为 ，过椭圆左顶点 的直线 与
椭圆 交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，过原点 且与直线 平行的直线 交椭圆于点 ， ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求证： 为定值．
【解析】（1）因为椭圆 ： 过点 ，所以 ，
又椭圆的离心率为 ，则 ，所以 ，
故椭圆方程为
（2）设直线 的方程为 ， ，所以 ，
设 ，由 ，得 ，
则 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，由 ，得 ，
设 ，则 ，则 ，所以 ，
故 ，因此 为定值.
21．已知椭圆： 的一个焦点为 ，椭圆上的点到 的最大距离为3，最小距离为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆左右顶点为 ，在 上有一动点 ，连接 分别和椭圆交于 两点， 与
的面积分别为 ．是否存在点 ，使得 ，若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，
因为椭圆上的点到 的最大距离为3，最小距离为1，
所以 ， ，又 ，解得 ， ， ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）可得 ，假设存在点 ，使得 ，
设 ，则 ，设 横坐标为 ，则 ， ，所以 ，
整理得 ，①
设 点坐标为 ，直线 斜率为 ， 斜率为 ，
故 ，设直线 的斜率为 ，
故直线 方程为 ，直线 方程为 ，
将直线 和椭圆联立 可得 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
将直线 和椭圆联立 可得 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
将 横坐标代入①式可得， ，整理得 ，
化简得 ，解得 ，即 ，
当 时，直线 的方程为 ，
代入点 可得 ，即点 的坐标为 ，当 时，直线 的方程为 ，代入点 可得 ，即点 的坐标为 ，
故 点坐标为 或 ．
22．已知椭圆 的离心率为 ，点 ， 为 的左、右焦点，经过 且垂直于椭圆
长轴的弦长为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于A，B两点， 与直线 交于点 ，若
，且点 满足 ，求线段 的最小值.
【解析】（1）对于方程 ，令 ，则 ，解得 ，
由题意可得 ，解得 ， ，所以椭圆的方程为 ．
（2）由（1）得 ，若直线 的斜率为0，则 为 与直线 无交点，不满足条件．
设直线 ： ，若 ，则 ，则不满足 ，所以 ．
设 ， ， ，
由 得： ， ，
所以 ， ．因为 ，即 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，则 ，即 ，
直线 ： ，联立 ，解得 ，即 ，
∴ ，
当且仅当 或 时,等号成立，∴ 的最小值为 ．
