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专题 02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题
【命题规律】
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴
小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：倍长定比分线模型
核心考点二：倍角定理
核心考点三：角平分线模型
核心考点四：隐圆问题
核心考点五：正切比值与和差问题
核心考点六：四边形定值和最值
核心考点七：边角特殊，构建坐标系
核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
【答案】
【解析】[方法一]：余弦定理
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， ．
故答案为： ．[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系．
则C（2t，0），A（1， ），B（-t，0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x，CD=2x．由余弦定理得
， ，
， ，
令 ，则 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立．
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 ．
2．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三
个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求b．
【解析】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
．
3．（2022·全国·高考真题（文））记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
（1）若 ，求C；
（2）证明：【解析】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所
以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
4．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）若 ，求B；
（2）求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
【方法技巧与总结】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关
系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元
素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当
选用公式，对于面积公式 ，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等
式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，
确定所求式的范围．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数
等知识．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用
三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基
本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性
求解．
7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊
边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，
再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．
【核心考点】
核心考点一：倍长定比分线模型
【规律方法】
在边 上，且满足 ， ，则延长 至 ，使 ，连接 ，易知
如图，若
∥ ，且 ， ． ．
【典型例题】
例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在 中， ， ， 为 上一点，
且满足 ，若 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则 ，
，解得 ．
因为 ，所以 ，又 ， ，所以 为等边三角形，
所以 ， ，
由余弦定理 ，
所以 ；
故选：B
例2．（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边
上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【解析】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，又 ，所以 ，
则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．
由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的
性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似
是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将
其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直
观化.
例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边，AD为BC边上
的中线，c＝1， ， ．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为 的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
【解析】（1）依据题意，由 可得
，则 ， ，
， ，解得 ，
，解得AD为
（2）G为 的重心， ， ，， ， ，
， ，
例4．（2022·广西柳州·高三阶段练习（文））已知 ，将 的图象向右
平移 单位后，得到 的图象，且 的图象关于 对称．
(1)求 ；
(2)若 的角 所对的边依次为 ，且 ， ，若点 为 边靠近 的三
等分点，试求 的长度．
【解析】（1） ，
，
由 的图象关于 对称，
得 即 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ；
（2）由 得 ，
由 得 ，所以 ，解得 ，
在 中由余弦定理得， ，所以 ，
则 ， ，设 ，
在 中由余弦定理得， ，
所以 ①在 中由余弦定理得， ，
所以 ②
联立①②消去 得 ，所以 ．
例5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，D为 上靠近点C的三等分点，且 ．记
的面积为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，因为 为 上靠近点 的三等分点，
，所以 ，
在 中由余弦定理
即 ①，
在 中由余弦定理
即 ②，
又 ，所以
所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以
（2）设 ， ，则 ，
所以
显然 ，所以 ，即
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， 分别是 内角 ， ， 所对的边，且满足
，若 为边 上靠近 的三等分点， ，求：
（1）求 的值；（2）求 的最大值．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
可得 ，即 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ．
（2）由题意得 ，两边平方得 ，
整理得 ，即 ，
解得 ， ，当且仅当 取等号．
所以 的最大值是 ．
例7．（2022·全国·高三专题练习）在① ② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并进行求解.
问题：在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，c=8，点M，N是BC边上的两个三
等分点， ，___________，求AM的长和 外接圆半径.
【解析】若选择条件①
因为 ，所以
设 ，则 .
又 ，
所以在 中， ，
即 ，
即 ，
解得 或 (舍去).
在 中， ，
所以 ，
同理 ，
所以 .由正弦定理可得 ，
所以 外接圆的半径 ，
若选择条件②
因为点M，N是BC边上的三等分点，且 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
在 中， ，
所以 .
同理 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
所以 外接圆的半径 .
若选择条件③
设 ，则 .
在 中， ，
同理在 中，
，
因为 ，所以 ，
所以
在 中， ，
所以 .
同理 ，
所以 .
由正弦定理可得 ，
所以 外接圆的半径 .例8．（2022·湖北·高三期中） 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
， ．
(1)求角B；
(2)若 边上的点D满足 ， ，求 的面积．
【解析】（1）在 中，由正弦定理可得：
∵ ，∴
∴
∵ ，∴
∴ ，化简可得：∴ ，
∵ ，∴
∴ ，又∵ ，∴ .
（2）
∵ ，∴
两边平方得： ，即
则 ，∴ ①
在 中，由余弦定理得： ，化简得： ②
由①②可得： ，即 ，∴ 或
当 时， ，∴ ；
当 时， ， ，∴ ．
核心考点二：倍角定理
【规律方法】，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：
推论2：
【典型例题】
例9．（2022·广西·灵山县新洲中学高三阶段练习（文））在锐角 中，角 所对的边为
，且 .
(1)证明:
(2)若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）∵ ，
由正弦定理，得 ，
即 ，
∴ ，
∴ 或 （舍），即 ，
（2）由锐角△ABC，可得 ， ， ．
即 ， ∴ ．
由正弦定理可得： ，
所以 .
所以 的取值范围为： .
例10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，
是 的面积, ．
(1)证明：A＝2C；
(2)若a＝2，且 为锐角三角形，求b＋2c的取值范围．
【解析】（1）证明：由 ，即 ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴A，B，C∈（0，π），∴ 即A＝2C．
（2）∵ ，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴B＝π－3C，
∵ 为锐角三角形，所以 ,
∴ ，∴ ，
由a＝2， ，所以 ，则 ，
且 ，
设 , ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
所以 , 为减函数，
∴ ．
例11．（2022·福建龙岩·高三期中）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 是钝角， ，求 面积的取值范围．
【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，由 ，
得 ．
所以 ，
，
或 （舍去），
．
（2）由条件得 ，解得 ，
， ， ，
．
的面积
＝
＝ ，
， ．
又因为函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 ，
，则 面积的取值范围为 ．
例12．（2022·江苏·宝应中学高三阶段练习）在 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满
足 .
(1)求证： ；(2)求 的最小值.
【解析】（1）证明：在 中，由已知及余弦定理，得 ，
即 ,
由正弦定理，得 ，又 ，
故
.
∵ ，∴ ,
∵ ，∴ ，故 .
（2）由（1） 得 ，∴ ， ，
由（1） ， 得
，
当且仅当 时等号成立，
所以当 时， 的最小值为 .
例13．（2022·江苏连云港·高三期中）在 中，AB＝4，AC＝3．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若A＝2B，求BC的长．
【解析】（1）在 中，设角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
由余弦定理得 ，
即 ，得 或 （舍），
由 ， ，得 ，
所以 的面积 ．
（2）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ．在 中，再由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ．
例14．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满
足 .
(1)证明： .
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）由 得
，由正弦定理得
故 ，可得
即 ，
因为 ，
所以 ，即 ；
（2）
，
在锐角 中， ，
所以 .
核心考点三：角平分线模型
【规律方法】
角平分线张角定理：如图， 为 平分线， （参考一轮复习）斯库顿定理：如图， 是 的角平分线，则 ，可记忆：中方=上积一下积．
【典型例题】
例15．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习） 中， ， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长度；
(2)若 为角平分线，且 ，求 的面积.
【解析】（1）∵ ， ，∴ ，
又∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，即： .
（2）在 中， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
例16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满足(1)求角C的大小；
(2)若 ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 面积的取值范围.
【解析】（1）∵ ，
由正弦定理可得, ，
整理可得： ,
即 ，
即： ,
又因为锐角 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，又 ，
所以 ；
（2）由题意可知 ，
设 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以
即 面积的取值范围为 .
例17．（2022·江苏泰州·高三期中）在① ；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ．
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的角平分线CD交线段AB于点D，且 ，求△ABC的面积．
【解析】（1）选①：由正弦边角关系得 ，
再由余弦边角关系得 ，
所以 ，而 且 ，
所以 .
选②： ，
所以 ，即 ，
又 ，则 且 ，所以 ，可得 ，
所以 .
（2）过 作 交 延长线于 ，因为 为角平分线，且 ，则 ，
由 ，则 ，又 ，
所以 ， ，故 ，又 ，
故△ 为等边三角形，则 ， ，
结合（1）结论，△ABC的面积为 .
例18．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知向量 ， ，函数
．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若 恰好为函数
的最大值，且此时 ，求3a＋4b的最小值．
【解析】（1）
，
则函数 的最小正周期 .
（2）由（1）可知 ，当 ，即 时， 取得最大值为 ，则
， ，
因为 平分 ，所以 ，则点 分别到 的距离 ，
由 ，则 ，即 ，整理可得
，
，当且仅当 ，即
时，等号成立，
故 最小值为 .
例19．（2022·河北·高三阶段练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 ， .(1)若点D为 的中点且 ，求 的余弦值；
(2)若 的角平分线与 相交于点E，当 取得最大值时，求 的长.
【解析】（1）根据题意，延长 到F，使得 ，连接 ，
可得四边形 为平行四边形，
所以 ；
（2）设 ， ，
可得 ，
因此 ，
又
当且仅当 时等号成立，
所以 .
例20．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且______．在①
；② ；③ 这三个条件中任
选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
(1)求角 的大小；
(2)若角 的内角平分线交 于 ，且 ，求 的最小值．
【解析】（1）若选条件①，由正弦定理得： ，
， ， ，则 ，
又 ， .
若选条件②，由 得： ，，则 ，又 ， .
若选条件③，由 得： ，
，即 ，
又 ， ， .
（2）
， ，
即 ， ， ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
的最小值为 .
例21．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知 的内角 对应的边分别是 ， 内角
的角平分线交边 于 点， 且 ．若 ， 则 面积的最小值是
（ ）
A．16 B． C．64 D．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ， ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
由题可知 ， ，所以 ，即 ，
又 ，即 ，
当且仅当 取等号，
所以 .
故选：B.
核心考点四：隐圆问题
【规律方法】
若三角形中出现 ，且 为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
【典型例题】
例22．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，
以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数 的动点的轨迹．已知在
中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，则 面积
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得 ，设 的外接圆半径为 ，
则 ，
以 的中点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则 、 ，
设点 ，由 ，可得 ，
化简可得 ，所以， 的边 上的高的最大值为 ，因此， .
故选：A.
例23．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山
人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值
的动点的轨迹.已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ，得 ，
即 ，以 边所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴
建立直角坐标系，则 ，设 ，
由 ，则 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边 高的最大值为 ，
∴ .
故选:C
例24．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲
线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这
样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏
圆，现有 ， ， ，则当 的面积最大时， 的长为______.
【答案】
【解析】
如上图所示，以 的中点为原点， 边所在直线为 轴建立直角坐标系，
因为 ，所以 ， ，
设点 ，因为 ，由正弦定理可得： ，即 ，所以： ，化简得： ，且 ， ，
圆的位置如上图所示，圆心为 ，半径 ，
观察可得，三角形底边长 不变的情况下，当 点位于圆心 的正上方时，高最大，
此时 的面积最大， 点坐标为 ，所以
故答案为：
例25．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山
大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值 （
）的动点的轨迹.已知在 中，角 的对边分别为 ，
则 面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】依题意， ，得 ，
即 ，以 边所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴
建立直角坐标系，则 ，设 ，
由 ，则 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边 高的最大值为 ，
∴ .
故答案为：
例26．（2022·全国·高三专题练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线
论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样
一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗
尼斯圆.现有 ， ，则当 的面积最大时，AC边上的高为_______________.【答案】
【解析】 为非零常数，
根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹是圆.
以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系
则 ，设 ，∵
∴
，整理得
因此，当 面积最大时，BC边上的高为圆的半径 .
核心考点五：正切比值与和差问题
【规律方法】
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式） 中， ．
【典型例题】
例27．（2022·江苏南通·高三期中）在 中，点D在边BC上，且 ，记 .
(1)当 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的值.
【解析】（1）当 ， 时， ， ，
设 ， ， ， ，
∴在△ACD中，根据余弦定理得： ，
．
（2）分别过 作 ， ， ， ，易知 ，
，且 ，
， ，
．
例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在锐角 中， 分别为角 所对的边， ，且
的面积 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最大值．
【解析】（1） ，解得： ；
， ， ，
由余弦定理得： ，解得： .
（2） ，即 ，
由正弦定理得： ，
，
，
；
， ， ，则当 时， 取得最小值 ， 的最大值为 .
例29．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知在 中，角 ， ， ，的对边分别为 ， ，
，且 ，
(1)若 ，求边 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【解析】（1） ，即 ，
，即
，因为 ，所以 ，
根据正弦定理 可知：
（2）
因为 ，所以 ，
故
例30．（2022·江西赣州·高三期中（理））在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的值．
【解析】（1）由题意得 ，所以 ，
则由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ．
（2） ，则
，又 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 ，则 ．
例31．（2022·湖南·高三阶段练习）在 中，内角A，B，C满足 且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的最小值．
【解析】（1）由题设， ，则 ，
，
所以 ，即 ，
，
又 ，则 ；
（2） ，
设 ，
（当且仅当 等号成立）．
∴所求最小值为 ．
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)当 ， 时，求 的值；
(2)判断 的形状.
【解析】（1）由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
又 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ，
，
由 ，得 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
化简得 ，
所以
因为 ， 所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ， ，
所以 ， ， 都为锐角，
所以 为锐角三角形.
例33．（2022·湖北·高三开学考试）在 中，内角 满足 .
(1)求证： ；
(2)求 最小值.【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，从而 ，
则 ，
所以 ，
即有 .
（2）由（1） ，有 ，
则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为3.
例34．（2022·江苏南京·高三开学考试）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)若 ，求A，B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
代入 ，则 ，所以 ，且 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
①当 时，且 ，
若 是锐角三角形，则 ，
所以 ，不成立；
②当 时，且 ，所以 ，所以 ，
则 ，且 ，
且 ，
又 ，所以 .
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量
， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，向量 ， ，
因为 ，所以 ，可得 ，
由正弦定理得 ，整理得 ，
又由余弦定理，可得 ，
因为 ，所以 ，
由 ，
所以 ，
因为 是锐角三角形，且 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .
故选：C.例36．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，则 ______．
【答案】3
【解析】方法一：由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，即
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ，
即 ，
又 且 为三角形内角， ，
所以 ；
方法二：因为
所以
；
方法三：
作 于D，设 ， ， ，
则有 ，所以 ，
即 ， ，
所以 ，所以 ．
故答案为：3.
例37．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在 中，角 所对的边分别为 ，若
，且 ，则 __________．
【答案】
【解析】 中， ， ，
，
由正弦定理有 ， ，
由 ，得 ，
有 ，即 ，
，得 ，
由 ，可得 ，
即 ，代入 ，
得 ，∴ ，
由余弦定理，
，得 ，
故答案为：
核心考点六：四边形定值和最值
【规律方法】
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是
拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
勒密定理：在四边形 中，有 ，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号
成立．【典型例题】
例38．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））在四边形 中， ，则四
边形 面积的最大值为______.
【答案】
【解析】在 中，由余弦定理知 ，
在 中，由余弦定理知 ，
所以 ，即 .
可得 ，
令 ， ，
则 ，等号成立时
所以 ，
所以四边形 面积的最大值为 .
故答案为：
例39．（2022·江苏无锡·高三期中）如图，在平面四边形 中， ．
(1)判断 的形状并证明；
(2)若 ， ， ，求四边形 的对角线 的最大值．
【解析】（1）已知 ，由正弦定理可得： ，
即得 ，
， ，
故 ，即 为直角三角形．
（2）如图，在BC上方作Rt△BCM使 ，且 ，
∴ ，
∴ 且
∴ ，由 ， ，得 ，
在 中， ，
由 ， ，得 .
由 ，得 ，
∴ ，当M在AC上时等号成立，
∴ ．
例40．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形 中， ， ，
．
(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．【解析】（1）连接 ，
因为 ， ，故 为等边三角形， ，
，则 ，
由正弦定理得 ，所以， .
（2）由余弦定理可得
，
所以， ，当且仅当 时，等号成立.
因此，四边形 周长的最大值为 .
例41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数
.
(1)求 的最小正周期T和单调递减区间；
(2)四边形ABCD内接于⊙O，BD=2，锐角A满足 ，求四边形ABCD面积S的取值范围.
【解析】（1），
∴
∴ .
由 ，得 ，
所以 单调递减区间为 .
（2）由于 ，根据（1）得 ，
∵ ，∴ ， .
分别设AB=a，AD=b，BC=c，CD=d.
因BD=2，分别在 和 中由余弦定理得 ， ，
∴ ， .
∵ ， ，等号在a=b=2， 时成立，
∴ ， ，解得 ， .
∴ .等号在a=b=2， 时成立，
∵ ，
所以S的取值范围是 .
例42．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形 中， ， ，
.
(1)若 且 ，求凹四边形 的面积；(2)若 ，求凹四边形 的面积的最小值.
【解析】（1）如图，连接 ，在 中，
由正弦定理得 ，
所以 ，
同理可得，在 中，有 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
又 ， 都是锐角，
所以 .
（也可由点 向 ， 作垂线，证明 是角平分线）
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以凹四边形 的面积 .
（2）如图，连接 ，在 中，由余弦定理得 ，故
.
在 中，设 ， ，
因为
所以，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
此时显然点 在 的内部，
所以 .（不写取等条件扣1分）
又 ，
所以凹四边形 的面积的最小值 .例43．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，在平面四边形 中， ，
， .
(1)若 ， ，求对角线 的长；
(2)当 ， 时，求平面四边形 的面积的最大值及此时 的值.
【解析】（1）因为
所以 .
又因为 ， 所以 .
在 中，由余弦定理得 ，
故 ， 即对角线 的长为 .
（2）因为 ， 所以 ，连接 .
又 ， 所以 为 的平分线，
所以 ，
在 中， 由正弦定理 得 .
所以四边形 的面积
，
因为 ， 所以 .所以当 ， 即 时， 取到最大值，最大值为 .
例44．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设 ，其中 ，已知
.
(1)求 的最小值；
(2)已知凸四边形 中， ，求 面积的最大值.
【解析】（1）依题意，由 得： ，而 ，即 ，
于是得 ，解得 ，
，
所以当 时， 的最小值为 .
（2）由（1）知， ，在凸四边形 中， ，于是得 为锐角，
， ，
，
设 ，则 ，令凸四边形 的面积为 ，
，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 .
核心考点七：边角特殊，构建坐标系
【规律方法】
利用坐标法求出轨迹方程
【典型例题】
例45．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．若 ，则 的面积的
最大值为______．【答案】
【解析】:方法1:如图，在 中，以线段 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐
标系，则 ， ，设 ，得 ，
整理得 ，
当 面积最大时 ，
故 ，当 时， 面积取得最大值为 .
方法2:如图，设 ， ， ，由 ，得 ，
即 ，又 ，得 当且仅当 时取等号)，所以
，又
(当且仅当
时，等号成立，即 ，将 与 代人 中，得 .
所以 面积取得最大值为 .
方 法 3: 由 三 角 形 面 积 公 式 ， 得 ， 即 ， 由
，得 ，由余弦定理，得 ，所 以
(当且仅当 时取等号)，当 时， ，取得最大值 ，
即 ，所以 面积的最大值为 (也可以用基本不等式求 的最大值，即
，所以 面积的最大值为 ).
方 法 4: 在 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 ， 由 ， 得
，即 ，又 ，所以 ，
即 ，故 ，又 ，所以 ，令 ，
，得 ，令 ，得 ，
0
极 大 值
即当 时， ， ，所以 面积的最大值为 .
例46．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．若 ，在 所在的平面内存
在点 ，使得 ，则 的面积的最大值为______．
【答案】
【解析】:以 所在直线为 轴， 边的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设
， ， ， ， ， .由 ，得 ，即 ①，又 ，
故 ②，其中①式可以看作以(0，0)为圆心，半径为 的圆的轨迹方程，②式可以看作
以 为圆心，半径为 的圆的轨迹方程，由题意知两圆有公共点，即点 ，则
③，又 ，得 ④，由③ ，④得 ，因为
，所以 ， ，当 时， 取得最大值 ，
故 的最大值为 .
核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
【规律方法】
与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用
公式，对于面积公式 ，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
【典型例题】
例47．（2022·重庆一中高三期中）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足
.
(1)证明：a，b，c成等比数列；
(2)若 且 ， 的面积为 ，求 的周长.
【解析】（1）
根据等比数列中等比中项定义可知a，b，c成等比数列，证毕
（2）根据余弦定理可知
则 ，
根据三角形面积公式： 得得 ，故 的周长为：
例48．（2022·山东聊城·高三期中）已知 中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且 ， ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的周长．
【解析】（1）因为 ， ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
（2）因为 ，由正弦定理可得 ，
代入 ，解得 ， ，
因为 ，所以A为锐角，
∴ ，
当B为锐角时， ，
∴ ，
因为 ，
∴ ， ，
∴ ，
当B为钝角时， ，
∴ ，
因为 ，
∴ ， ，
∴ ．
综上： 的周长为 或 ．例49．（2022·山西·高三阶段练习）在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段 延长线上的一点，且 ，求 的面积．
【解析】（1）若选择①，∵ ．∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，
∵ ∴ ；
若选择②，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ∴ ；
若选择③，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ．∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ；
（2）设 ， ， ，
在 中，用余弦定理可得 ，
即 ①，
又∵在 中， ，
即 .即 ，即 ②，在 中，用余弦定理可得 ，
即 ③，③ +①可得 ，
将②式代入上式可得 ， ．
例50．（2022·云南云南·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角C；
(2)若 ，D为边BC的中点， 的面积 且 ，求AD的长度.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，又 ，所以 ；
（2）由 面积 可得 ，
则 ，即 ，得 ①，
又 ，所以 ②，
联立①②得 或 ，又 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
例51．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满
足 ．
(1)证明： ；(2)若AB＝2，AC＝1， ，求△ABD的面积．
【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ,
在 中，由正弦定理得 ,
又 ，故 ，
由于 ，所以 ，因此 ，
（2）由AB＝2，AC＝1， 以及余弦定理可得 ,
由于 为三角形内角,所以 ，由(1)知 ,故
因此 ,
进而得
核心考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
【规律方法】
对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，
求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定
所求式的范围．
【典型例题】
例52．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求B；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围.
【解析】（1）在 中， ，由正弦定理得： ，
整理得 ，由余弦定理得： ，而 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，由正弦定理得： ，
则 ，而 ，令 ，在锐角 中， ，解得 ， ，
于是得 ，则 ，
所以 周长的取值范围是 .
例53．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知向量 ， ，函数
．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像．
(1)求函数 的零点；
(2)若锐角 的三个内角 的对边分别是 ， ， ，且 ，求 的取值范围．
【解析】（1） ，
∴ ，
由 ，
解得 ，
函数 的零点是 ；
（2）由正弦定理得 ，
由（1） ，而 ，得 ，
∴ ， ，又 ，得 ，
∴ 代入上式化简得：
，
又 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，则有 ，
∴ ．
例54．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数 ．
(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，并求出使函数 在区间 上最
小值为 时，a的取值范围；
条件①： 的最大值为1；
条件②： 的一个对称中心为 ；
条件③： 的一条对称轴为 ．
(2)若 ，在锐角 中，若 ，且能盖住 的最小圆的面积为 ，求 的取值范
围．
【解析】（1）
，
选条件①：因为 的最大值为1，所以 ，即 ，
此时实数m的值唯一确定，满足题意．
当 时， ，
要使最小值为 ，则 ，解得 ，
所以函数 在区间 上最小值为 时a的取值范围为 ．
选条件②： 的一个对称中心为 ，则 ，即 ，
此时实数m的值唯一确定，满足题意，当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以函数 在区间 上最小值为 时a的取值范围为 ．
条件③： 的一条对称轴为 ，则无法确定m的值，不满足题意．
（2）当 时， ，
因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
所以 ，故有 ．
已知能盖住 的最小圆为 的外接圆，由面积为 ，则半径 ，
设 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
由正弦定理 ，
所以 ， ，
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ．
所以 ，则 ，
故 ，所以 的取值范围是 ．
例55．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c， ，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 ，求△ABC面积的取值范围．【解析】（1）由 以及 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
由于 ，故 ，又 ，故 ，
故 或 ，
解得 或 （舍去），
故 .
（2）由正弦定理得 ，即 ， ．
所以 的面积 ，
．
因为 为锐角三角形，
所以 ，
所以 ，所以 ，
故 面积的取值范围是 ．
例56．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）在 内角A，B，C所对应的边分别为 已知
(1)求角C的大小.(2)若 ，求 的最大值.
【解析】（1）由倍角公式知原式可化为
即
整理得： ，
即
所以 ，故
（2）由余弦定理和基本不等式可得： ，
即
即
当且仅当 时，等号成立..
即
例57．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，点D满足 ，且 ．
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
因为b＝c，
所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ，
由余弦定理得， ，
即 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，取等号．
因为 ，
所以B的最大值为 ．
例58．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））在 中，内角 ， ， 所对的边
分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【解析】（1）在 中， ，由余弦定理 得，
，整理得 ，由正弦定理得：
，而 ，解得 ，
，所以 .
（2）由（1）知 ，而 ，则 ，当且仅当 时取等号，
于是得 ，
所以当 时， 面积取得最大值 .
例59．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在① ；② ；③
.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.
在 中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c， 的面积为S，且满足___________(1)求A的大小；
(2)设 的面积为 ，点D在边 上，且 ，求 的最小值.
【解析】（1）选①，由 ，由正弦定理得 ，
中 ，∴ ，
，则 ，
所以， ，可得 ，则 ，
因此， ；
选②， ， ，则 ，
∴ ，得 ；
选③， ，由正弦定理和切化弦得 ， 中 ，
∴
中 ， ，∴ ，得
（2）由 ，有 ，
由 ，有 ，
∴
，等号成立时 即 ，∴ 的最小值为 .
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））在 中，已知 ， ，则 的最小值为
（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】D
【解析】设三角形 外接圆半径为 ，则 ，所以 的外接圆半径为1， 为钝角时， 取到负值；
如图， 为 的中点， 在 上的投影向量为 ；
由 可知当 在 上的投影长最长时，
即 与圆 相切时， 可取到最小值；
，
当 时， ，所以 的最小值为 .
故选：D
2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若角A的内角平分线 的长为3，则 的最小值为
（ ）
A．21 B．24 C．27 D．36
【答案】C
【解析】在 中， ，由正弦定理得 ，
即 ，由余弦定理得 ，而 ，则 ，
因角A的内角平分线 的长为3，由 得：
，
即 ，因此 ，则
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值27.
故选：C
3．（2022·山西·高三阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．点D为 的中点，，且 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为 ，由余弦定理得 ，即 ，
又 ，得 ，
所以 ，即 ，
故 ，则 ，
所以 ，故 ．
故选：A.
4．（2022·山东菏泽·高三期中）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 外接圆面积与 面积之比的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ，则 或 （舍去），
设 外接圆半径为 ，
则 外接圆面积为： ，
面积为
所以 ，而
，
因为 ，所以 ，
，
当 时，即 时，
.
故选：B.
5．（2022·湖北·高三期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，下
列结论正确的是
（ ）
A．
B．当 ， 时， 的面积为
C．若 是 的角平分线，且 ，则
D．当 时， 为直角三角形
【答案】D
【解析】选项A:因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
所以 ，化简可得 ，因为 ，所以
可得 ， ，故 ，选项A错误；
选项B：当 ， 时，由选项A，得 ，因为 ，
可得 ，无解，故此时三角形不存在，选项B错误；
选项C：因为若 是 的角平分线，且 ，由选项A，得
故 ，而
得 ，
得 ，所以 ，选项C错误；
选项D：因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ， ，得 ，
所以 ，化简可得 ，因为 ，
解得 或 ，由条件可知 ，故 舍去，
故 ，所以 ，所以 为直角三角形，选项D正确．
故选：D
6．（2022·贵州·模拟预测（理））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 是边 上一
点， 平分 ，且 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】C
【解析】∵ ，
由正弦定理得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以最小值为 .
故选：C.
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
△ABC是锐角三角形，且满足 ，若△ABC的面积 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，即 ，由余弦定理可得 ，
即 ，又 ，故可得 ，由正弦定理可得：
，则 ，
，又 均为锐角，故可得 ，即 ；
由 可得 ，又 ，故可得 ；
由 ，可得 ；
又
，
又 ， ，解得 或 （舍去负值）,则 ，即 的取值范围是 .
故选：A.
8．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知 是三角形 的外心，若
，且 ，则实数 的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．3
【答案】D
【解析】如图所示：设 .
由题意可得， ，化简可得 ，由 是三角形
的外心可得， 是三边中垂线交点，
则 ，代入上式得， ，即
依据题意， 为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入 得 ，则
结合不等式可得 ， 的最大值为3
故选：D
二、多选题
9．（2022·江苏南通·高三期中）在圆O的内接四边形 中， ， ， ，则
（ ）
A． B．四边形 的面积为
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意， ，故 ，
在 中，由余弦定理 ，
在 中，由余弦定理 ，
故 ，解得 ，又 ，故
故 ，解得 ，A正确；
，B正确；
在 中， ，
在 中， ，
，C错误；
，
又
，故 ，D正确.
故选：ABD
10．（2022·江苏淮安·高三期中）在 中，角A,B,C所对的边分别为 ，若 ，则下列
四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为 ， ，
所以 ，即 ，因为 ，
两式平方相加可得 ，
由基本不等式可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
故选：AB
11．（2022·湖北·高三阶段练习）已知 外接圆的面积为 ，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 ， ， 成等比数列，设 的周长和面积分别为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由 及正弦定理，得 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，则 ，
因为 外接圆的面积为 ，所以 外接圆的半径 ，
由正弦定理，得 ，
所以 ， ，选项AB正确；
，所以 ，
故 ，选项D正确；
对于选项C，取 满足条件， ，则C错误.故选：ABD.
12．（2022·山西太原·高三期中）已知 分别是 内角 的对边， ，且 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以
因为 ，且 ，
因为 ，
所以 ，故A选项错误；、
所以 ， ，
所以， ，即 ，故B选项正确；
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以，
所以
令 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以， ，
因为 ，
所以 ，即 ，故C正确，D错误.
故选：BC
三、填空题
13．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））在 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若
；则当角A最大时， 的面积为______.
【答案】
【解析】由 ， ，根据正弦定理以及余弦定理，则可得
，整理可得 ，即 ，
根据余弦定理，可得 ，由 ，当且仅当 等号成立，
可得 ，由函数 在 上单调递减，则当 时， 取最大，
故 ，则 .
故答案为： .
14．（2022·四川南充·高三期中（文））已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，且 内切圆面积为 ，则 周长的最小值是______．
【答案】
【解析】 ， ，即 ，
由正弦定理可得 ，又 ，所以 ，
，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ， ．
设 内切圆的半径为 ，
内切圆面积为 ， ，解得 ，，即 ，
由余弦定理可得 ，当且仅当 时取等号，
，
，解得 ，当且仅当 取等号，
所以 周长的最小值 .
故答案为： ．
15．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
， ，若点M满足 ，且 ，则 的面积
为_________________．
【答案】 【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
在 中， ，
在 中， ，
联立两式，整理得 ①；在 中，
由余弦定理得， ②，
解得 ， ，∴ ，
∵ ，∴ ．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA
的长度为______．【答案】
【解析】法一：连接 ，由 四点共圆，可得∠PAB＝∠BCD，∠PBA＝∠ADC，
由 ，
，
且∠BAD+∠BCD＝180°，可得cos∠BAD＝﹣cos∠BCD，
则1+16﹣2×1×4cos∠BAD＝25+4﹣2×5×2×cos∠BCD，
化为17+8cos∠BCD＝29﹣20cos∠BCD，
解得 ，即 ，
则 ，
又 ，
，
且∠ABC+∠ADC＝180°，可得cos∠ABC＝﹣cos∠ADC，
则1+25﹣2×1×5cos∠ABC＝16+4﹣2×4×2×cos∠ADC，
化为26+10cos∠ADC＝20﹣16cos∠ADC，
解得 ，即 ，
则 ，
则 ＝sin（∠PAB+∠PBA）＝sin∠PABcos∠PBA+cos∠PABsin∠PBA
，
在△PAB中，由 ，
可得 ，解得 ．
法二：由A，B，C，D四点共圆，可得∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC，则△PAB∽△PCD，即有 ，
设PA＝x，PB＝y，可得 ，
即有2x＝5+y，即y＝2x﹣5，
2y＝4+x，即有2（2x﹣5）＝4+x，
解得 ，即 .
故答案为：
四、解答题
17．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， 是
的面积, ．
(1)证明：A＝2C；
(2)若a＝2，且 为锐角三角形，求b＋2c的取值范围．
【解析】（1）证明：由 ，即 ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴A，B，C∈（0，π），∴ 即A＝2C．
（2）∵ ，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴B＝π－3C，∵ 为锐角三角形，所以 ,
∴ ，∴ ，
由a＝2， ，所以 ，则 ，
且 ，
设 , ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
所以 , 为减函数，
∴ ．
18．（2022·河北·模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足
，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
【解析】（1）由 、正弦定理可得，
，
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
即 ，
；（2） 由正弦定理得 ，即 ，
，
，
.
19．（2022·湖北·高三期中）如图，在平面凹四边形 中， ， ， ，角 满
足： ．
(1)求角 的大小
(2)求凹四边形 面积的最小值．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，则 ，
所以 ，即 .
（2）连接 ，设 ， ，
因为 ， ， ，
所以在 中，由余弦定理得 ，即 ，
在 中由余弦定理得 ，即 ，
故 ，当且仅当 时，不等式取等号，
从而 ，故凹四边形 的面积 ，
从而四边形 面积的最小值是 .
20．（2022·湖北襄阳·高三期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
则 ，
即
又 ，
所以 ，即
又 ，所以
（2）因为 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以
解得 ，则
故 ，
即 面积的取值范围为
21．（2022·湖北·高三阶段练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【解析】（1）证明：法一：由余弦定理，得 ，
所以 ，
由正弦定理，得 ，即 ，
又 ， ，所以 或
若 ，因为 ，可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，此时 ， ，
满足 ，故 得证
法二：由余弦定理，得 ，
，
则 .
所以 .
由 ，得 为锐角，所以 ， ，故 得证
（2）因为 为锐角三角形，所以 即 解得 ，
所以
法一：而
令 ， ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增，又 ， ，故 的值域为 ，
所以 的取值范围为
法二：因为 ，所以 ，
设 ，则
当 时， ， ， ，
此时 .所以 在 上单调递增，
而 ， ，
所以 时 ，即 的取值范围为
22．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在 中， ，
(1)求角C的大小；
(2)求 的取值范围．
【解析】（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理及 ，得 ，
整理得 ，
由余弦定理得 ，
又 ，
∴ ．
（2）由（1）知， ，
∴ ．
令 ，
∴ ．∴
．
令 ，则 在 上恒成立，
故函数 在 上单调递增，
∴ ．
即 的取值范围为 ．
