文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 18 解三角形中的结构不良问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、“结构不良问题”的解题策略
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满
分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．
二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某
个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、“边化角”或“角化边”的变换策略
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
二、题型精讲精练
【典例1】在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角B；
(2)在① 的外接圆的面积为 ，② 的周长为12，③ ，这三个条件中任选一个，求
的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）由已知，根据给的 ，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，
然后再利用 ,把 换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完
成求解；
（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然
后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积
最值得求解；若选②，利用 ，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最
值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B
借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.
【详解】（1）∵
∴
∴
，∴
∵ ∴ ∴
∵ ，∴
（2）若选①，设 的外接圆半径为R，
则 ，∴
∴
由余弦定理，得：
即 ，当且仅当 时，等号成立.即 的面积的最大值为
若选②∵ ，∴
由余弦定理 ，
，又∴
∴ （舍）或 ，当且仅当 时等号成立
∴ ，当且仅当 时等号成立
若选③，由余弦定理，得：
即 ，当且仅当 时，等号成立.
∴ 即 的面积的最大值为
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（2023·北京·统考高考真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1) .(2)条件①不能使函数 存在；条件②或条件③可解得 ， .
【分析】（1）把 代入 的解析式求出 ，再由 即可求出 的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 的解析式化简，根据 在 上的单调性及函
数的最值可求出 ，从而求出 的值；把 的值代入 的解析式，由 和 即可求出 的
值；若选条件③：由 的单调性可知 在 处取得最小值 ，则与条件②所给的条件一样，解
法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使
函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
2．（2021·北京·统考高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件① ， ，且 ；② ；③
中任选一个，回答下列问题．
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）条件①：根据向量平行的坐标表示转化 ，求得 ；条件②：根据正弦定
理转化为 ，求得 ；条件③：将条件中的余弦转化为正弦，再用正弦定理与余弦定理求得
.
（2）根据余弦定理及基本不等式求得 面积的最大值．
【详解】（1）选择条件①，因为 ， ，且 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
由 为锐角三角形可知 ，则 ，
故 ， ，
选择条件②，因为 ，由正弦定理可得 ，
由 为锐角三角形可知 ，所以 ，
则 ，即 ，
由 为锐角三角形可知 ，故 ．选择条件③，因为 ，
所以 ，
即 ，
由正弦定理可得 ，
根据余弦定理可得 ，
由 为锐角三角形可知 ，故 ，
（2）因为 ，由（1）可得 ，
所以根据余弦定理可得 ，当且仅当 时，等号成立，
满足条件．
则 ，
故 面积的最大值为 ．
2．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数 .在下面两个
条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在 图象上相邻的两个对称中心的距离为 ；
条件②： 的一条对称轴为 .
(1)求ω；
(2)将 的图象向右平移 个单位（纵坐标不变），得到函数 的图象，求函数 在 上的
值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的恒等变换对 进行化简，再分别由条件①②求 的值．
（2）由三角函数的平移变换得 的解析式，再由函数的定义域求值域即可．【详解】（1）
选①： 图象上相邻两个对称中心的距离为 ，
则 ，则 ，
选②： 的一条对称轴为 ，
则 ，
，又 ，则 ，
于是
（2）将 的图象向右移 个单位长度（纵坐标不变），
得到函数 的图象
，
，
，
的值域为 ．
3．（2023·全国·模拟预测）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若 外接圆的面积为 ，求 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简计算，即可求出C；
（2）根据正弦定理可得 ，利用余弦定理和基本不等式计算可得 ，结合三角形的面积公式计
算即可求解.
【详解】（1）选条件①．
，
由正弦定理得 ．
因为 ，所以 ，
故 ．
因为 ，所以 ，得 ，
又 ，所以 ．
选条件②．
由 得 ．
由正弦定理得 ，
得 ，
得 ．
而 ，所以 ，即 ，
而 ，所以 ．
选条件③．由 及正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，而 ，所以 ．
（2）设 外接圆的半径为R，则 ，故 ．
由正弦定理可得 ．
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
故 面积的最大值为 ．
4．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ， ，且
______．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．
在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①则根据余弦定理得 ，且 ，于是利用平方公式得 ，即可得的值，再根据面积公式即可得 的面积；若选②根据向量数量积定义得 ，且
，于是利用平方公式得 ，即可得 的值，再根据面积公式即可得 的面积；
（2）由正弦定理得即可求得 的值.
【详解】（1）若选① ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，
又 ，则 ， ，则 ；
若选② ，则 ，又 ，则 ，
又 ，得 ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
．
5．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测） 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为
的内心，记△OBC， 的面积分别为 ， ， ，已知 ， ．
(1)若 为锐角三角形，求AC的取值范围；
(2)在① ；② ；③ 中选一个作为条件，判
断△ABC是否存在，若存在，求出 的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解
答，按第一个解答计分．）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意，根据 的内切圆的性质可得 ，利用正、余弦定理可得，结合角C的取值范围即可求解；
（2）选择①，根据正弦定理可得 ，由（1）得 ，方程无解即△ABC不存在．选择②，
根据三角恒等变换可得 ，由（1）得 ，解得 ，结合三角形的面积公式
计算即可.选择③，由（1），根据余弦定理可得 ，方程无解即△ABC不存在．
【详解】（1）设 的内切圆半径为r，因为 ，
所以 ，化简得： ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ， ，解得： ，
所以 ，所以AC的取值范围为 ．
（2）选择①，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由（1）知 ， ，所以 ，
整理得 ，方程无实数解，所以 不存在．
选择②，由 得： ，
所以 ，即 ，所以 ，
由（1）知 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以 存在且唯一， 的面积 ．
选择③，因为 ，所以 ，
由（1）知 ， ，所以 ，
整理得 ，
方程无实数解，所以 不存在．
6．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，
且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且__________，求 的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的
横线中，并完成作答.① ；② 的面积为 ；③ .
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用 和正弦的和角公式，化简即可得出结果；
（2）选①，利用正弦定理和条件得出 ，选②，利用条件和三角形面积公式得出 ，选③，利
用条件和数量积的定义得出
，再利用余弦定即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理： ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，得到 ，又 ，所以
.
（2）若选①，根据正弦定理和（1）可知， ，
所以 ，所以 ，得到 ，
若选②，由题知 ，得到 ，
若选③，即 ，由数量积定义得 ，得到 ，
故三个条件任选一个条件，都可以得到 ，
由余弦定理，得 ，整理得 ，
即 ，则 或 （舍去），
所以 的周长为 .
7．（2023·河北·统考模拟预测）在 中，内角A，B，C对应的边为a，b，c， 的面积为S，若
.
(1)当 时，求A；
(2)若角B为 的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，
① ；② ；③ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1) ；
(2)答案见详解.
【分析】（1）由题意，根据正弦定理、特殊角的三角函数值和辅助角公式化简计算可得 ，即可求解；
（2）分别以①②③中选取2个作为条件，根据正、余弦定理和三角形的面积公式计算，可证得第3个条件
成立.
【详解】（1） ，
由正弦定理得 ，
当 时， ，
得 ，即 ，
又 ，所以 ，得 ；
（2）若选①②为条件.
，
由余弦定理得 ，又 ，所以 .
由（1） ，得 ，
有 ，又 ，解得 .
又 ，得 ，
由正弦定理得 ，即 ，
解得 ，所以 ，即③成立；
若选①③为条件.
，
由余弦定理得 ，又 ，所以 .由 ，得 .
由（1）得 ，由正弦定理得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，则 ，即②成立；
若选②③为条件.
，
由（1）得 ，由正弦定理得 ，所以 .
由余弦定理得 ，
即 ，有 ，
即 ，等式两边同时平方，得 ，
解得 或 .
当 时， ，则 ，与B为 的最大内角矛盾，
故 ，又由余弦定理得 ，
即 ，即①成立.
8．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）在① ；②
；③ 这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横
线上，然后求解.
问题：在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，______.（说明：只需选择一
个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）(1)求角 的大小；
(2)求 内切圆的半径.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再根据两角差的正弦公式化简即可得解；
选②，根据两角差的余弦公式结合三角形内角和定理化简即可；
选③，利用正弦定理化边为角，再结合商数关系化简即可；
（2）先利用余弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式求出面积，再根据等面积法即可得解.
【详解】（1）选①，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
化简得 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
选②，因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ；
选③，因为 ，由正弦定理得 ，
而 ，，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，
所以 ，
所以 ，
设 内切圆的半径为 周长为 ，
因为 ，故 ，
所以 ，即 内切圆的半径为 .
9．（2023·宁夏中卫·统考二模）在① ；②
；
③ ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在 中，
内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若 的内切圆半径为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②由正弦定理统一为边，再由余弦定理求
解，选择③根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；
（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.【详解】（1）选择①：由已知得 ，
所以 ，
在 中， ，所以 ．
选择②：由已知及正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
选择③：由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，则 ，
则 ，故 ．
又因为 ，所以 ，
解得 ．
（2）由余弦定理得 ，①
由等面积公式得 ．
即 ．
整理得 ，②
联立①②，解得 ，
所以 ．
10．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆 是 的外接圆，圆 的直径 .设 ，
， ，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
① ；
② ；③ 的面积为 .选择条件______.
(1)求 的值；
(2)求 的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再结合两角和的余弦公式及诱导公式求出 ，在利用正
弦定理计算可得；若选②，根据同角三角函数的基本关系、和差角公式及诱导公式求出 ，在利用正弦
定理计算可得；若选③，利用面积公式及余弦定理求出 ，在利用正弦定理计算可得；
（2）由题知 ，设 ， ，利用正弦定理得到 ， ，
再根据三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）若选①，因为 ，
由正弦定理可得 ，
显然 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
因为 外接圆的半径 ，所以 .
若选②，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
因为 外接圆的半径 ，所以 .
若选③， 的面积为 ，则 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，所以 ，又 ，所以
，
因为 外接圆的半径 ，所以 .
（2）由题知 ，设 ， ，
由正弦定理 ，
所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
11．（2023·湖南益阳·统考模拟预测） 中，角 的对边分别为 ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.① ；② ；③ 的面积为
.
(1)求角A的大小；
(2)求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选择条件见解析，
(2)
【分析】（1）选①②时，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得答案；选③时，龙三角形面
积公式结合余弦定理即可求得答案；
（2）方法一：利用三角恒等变换化简 为只含有一个三角函数的形式，结合正弦函数性质，即可
得答案；
方法二：利用余弦定理可得 ，再由正弦定理边化角，可得 ，
结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）选择① 由正弦定理可得， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ；
选择② ，则 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 ；
选择③ 由 ，
可得 ，即 ，
所以 ，由于 ，故 .
（2）方法一：
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为
方法二：由余弦定理， ，
再由正弦定理， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时“=”成立.
又因为 ， ，所以 ，即 的取值范围为 .
12．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在① ， ， ；②
；③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问
题．在 中，内角 的对边分别是 ，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，
按第一个解答计分．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：由 ，得到 ，利用正弦定理和三角形内角性质化简得到
，求得 ，即可求解；
选②：由正弦定理和三角函数的性质得到 ，得到 ，即可求解；
选③：由余弦定理求得 ，即可求解；
（2）由余弦定理求得 ，结合基本不等式求得 ，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：选①：因为 ，
由 ，可得 ，
由正弦定理得:
，因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 .
选②：因为 ，
由正弦定理得 ，
又因为 ，可得 ，则 ，
即 ，可得 ，
因为 ，所以 .
选③：因为 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：因为 ，且 ，
由余弦定理知 ，即 ，
可得 ，
又由 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 的面积 ，
即 的面积的最大值为 .
13．（2023·山西吕梁·统考三模）在① ；② ，这两个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，___________.
(1)求 的值；
(2)若 的面积为2， ，求 的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求 的值；
（2）由面积公式求得 ，再利用余弦定理求得 ，可得 的周长.
【详解】（1）若选①，由已知得 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，又 ，
由 ， ，解得 .
若选②，由已知及正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，又 ，
由 ， ，解得 .
（2）由 的面积为2，得 ，所以 ，
由（1）可得 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周长为 .14．（2023·全国·模拟预测）从① ，② （ 为 的面
积），③ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．
在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且______．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选条件①：利用正弦定理结合余弦定理可得出 ，求出 的值，结合角
的取值范围可求得角 的值；
选条件②：利用三角形的面积公式结合切化弦可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
选条件③：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用余弦定理可得出 ，利用基本不等式结合三角形三边关系可求得 的取值范围.
【详解】（1）解：选条件①：因为 ，所以由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，因为 ，所以 ；
选条件②：因为 ，
由三角形的面积公式可得 ，
因为 、 ，则 ， ，所以， ，
因为 ，所以 ；
选条件③：因为 ，
由正弦定理可得 ，
所以， ，
所以， ．因为 、 ，则 ，所以 ，故 .
（2）解：由 及正弦定理得 ，所以 ．
又由（1）知 ，所以由余弦定理得 ，
由基本不等式可得 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
15．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：① ；② ；
③ .
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足：___________.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 与 的平分线交于点 ，求 周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
【答案】(1)条件选择见解析， ；
(2) .
【分析】（1）选①，利用余弦定理求解作答；选②，利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解作答；选③，
利用二倍角的余弦公式计算作答.
（2）根据给定条件，结合（1）的结论求出 ，再利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.
【详解】（1）选择条件①， ，
在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，则 ，又 ，所以 .
选择条件②， ，
于是 ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，因此 ，即 ，又 ，
所以 .
选择条件③， ，
在 中，因为 ，即 ，
则 ，又 ，即有 ，则 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，有 ，
而 与 的平分线交于点 ，即有 ，于是 ，
设 ，则 ，且 ，
在 中，由正弦定理得， ，所以 ， ，
所以 的周长为
，由 ，得 ，
则当 ，即 时， 的周长取得最大值 ，
所以 周长的最大值为 .
16．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）在① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解
答．
问题：已知函数 ______．
(1)求函数 的最小正周期及单调递减区间；
(2)在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为 的面积．若 在 处有最小值
，求 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)最小正周期 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）三个条件中任选一个，利用三角恒等变换化简 ，根据三角函数的性质求解；
（2）根据 的解析式及三角函数的性质求得 ， ．由余弦定理结合基本不等式可得 ，从
而可得 面积的最大值．
【详解】（1）选择条件①：．
所以函数 的最小正周期 ．
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ．
选择条件②：
，
所以函数 的最小正周期 ．
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ．
选择条件③：
，
所以函数 的最小正周期 ．
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ．
（2）因为 ，
所以当 ，即 时， ．
因为 在 处有最小值 ，且 ，所以 ， ．
由余弦定理 可得 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，故 面积的最大值为 ．
17．（2023·江苏·校联考模拟预测）在① ，② 这两个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在 中，内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，且满足________．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 为 边上的一点，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：由条件和正弦定理得 ，根据 得出 ，根据
二倍角公式得出 ，进而得出 ，再结合 的范围即可求出 ；选②：由二倍角
公式及同角三角函数的平方关系得出 ，解出 ，再结合 的范围即可求出 ；
（2）首先在 中，由余弦定理求出 和 ，在 中，由正弦定理得出 ，由
得出 代入，结合二倍角公式即可得出答案．
【详解】（1）选择①：
在 中，由正弦定理 ，得 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
选择②：
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
因为 ，所以 ．
（2）在 中，由余弦定理 ，
得 ，解得 ，
，
在 中，由正弦定理得： ，
得 ，
因为 ，
所以 ，所 ．
18．（2023·海南·统考模拟预测）在① ；② 这两个条件中任选
一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且 ， ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求AM的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①，利用切化弦公式、正弦两角和公式、正弦定理进行求解；
选择条件②，利用余弦二倍角公式、正弦定理进行求解；
（2）由 ，得 ，接合余弦定理进行求解.
【详解】（1）若选择条件①：
依题意， ， ，
故 ，
即 ，
由正弦定理，得 ．
在△ABM中，有 ，①
在△ACM中，有 ，②因为 ，所以 ，
又
所以 得 ．
若选择条件②：
因为 ，
所以 ，
即 ，由正弦定理，得 ，
故 ．
在△ABM中，有 ，①
在△ACM中，有 ．②
因为 ，所以 ，又
所以 得 ．
（2）由（1）可知 ， ，
在△ABM中， ，
在△ACM中， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
