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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 02 解一元二次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022八下·淮北期末）若实数a，b，c满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：C
【思路引导】先求出 ，再代入计算求解即可。
2．（2分）（2022八下·柯桥期末）方程（x－2）2 = 4（x-2）（ ）
A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2
【答案】D
【完整解答】解：移项得
（x－2）2 - 4（x—2） =0
（x-2）（x-2-4）=0
∴x-2=0或x-6=0，
解之：x=2，x=6.
1 2
故答案为：D.
【思路引导】观察方程的特点：将（x-2）看着整体，方程两边都含有公因式（x-2），因此利用因式分解
法解方程.3．（2分）（2022·贵港）若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m
的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
【答案】B
【完整解答】解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则
，
解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故答案为：B.
【思路引导】将x=-2代入方程中可得m的值，则方程可化为x2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据
此解答.
4．（2分）（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
且 ，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，∴
∵ 是方程 的两个实数根，
∵ ，
又
∴
把 代入整理得，
解得，
故答案为：A.
【思路引导】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得
x+x=2m，xx=m2-4m-1，然后结合已知条件可得m的值.
1 2 1 2
5．（2分）（2022·雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值
为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【完整解答】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故答案为：C.
【思路引导】首先将常数项c移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，再对左边的式
子利用完全平方公式分解可得(x+3)2=9-c，结合题意可得9-c=2c，求解可得c的值.6．（2分）（2022九下·泉州开学考）已知x，y为实数，且满足 ，记
的最大值为M，最小值为m，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
当且仅当 ，
即 ， ，
或 ， 时，等号成立，
∴ 的最小值为 ，
∴ 最小值为： ，
即 ，
∵，
当且仅当 时，
即 ， ，
或 ， 时等号成立，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ，
即 ，
∴ ，
故答案为：C.
【思路引导】利用已知等式可得 ，根据 =
，根据偶次幂的非负性知当且仅当 时， 的最小值为 ，即可得出
最小值为 ，即 ；根据
，根据偶次幂的非负性当且仅当 时， 的最大值为 ，即得M，再
代入计算即可.
7．（2分）（2021七下·娄底期中）无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数【答案】C
【完整解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1
＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值总是正数.
故答案为：C.
【思路引导】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非
负性即可得出答案．
8．（2分）（2020八上·越秀期末）若 ， ， 是 的三边长，且
，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【完整解答】解：∵ ，
∴2 ，
∴ ，
∴a=b=c
∴这个三角形是等边三角形．
故答案为：C．
【思路引导】首先利用完全平方公式对等式进行变形，然后利用平方的非负性得出a、b、c的数量关系，
即可判定．
9．（2分）（2019九上·涪城月考）若点 是抛物线 上的点,则 的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【完整解答】解：根据题意可得：
把 的坐标代入表达式，即：
，
，
函数的最值为 ，
所以代入得 的最小值为： ；
故答案为：C.
【思路引导】根据题意把 的坐标代入表达式，得出 ,求 的最小值
即： ，求出最小值即可.
10．（2分）（2022·海陵模拟）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大
小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能
【答案】A
【完整解答】解：∵3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，
∴ ，
∴ ，
∵不论a为何值， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：A．
【思路引导】先求出 ，再求出 ，
最后求解即可。
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022·福建）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与
x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
【答案】8
【完整解答】解： 把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
令 ，则 ，
解得： ， ，当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 符合题意；
综上分析可知，n的值为8.
故答案为：8.
【思路引导】把y=0代入y=x2+2x-n中可得x2+2x-n=0，利用公式法表示出x、x，同理表示出x、x，根
1 2 3 4
据AD=2BC可得AD2=4BC2，即(x-x)2=4(x-x)2，代入化简可得 ，然后利
1 4 2 3
用换元法进行求解即可.
12．（2分）（2022·绥化）设 与 为一元二次方程 的两根，则 的值为
．
【答案】20
【完整解答】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴ ， ，
∴ = ，
故答案为：20；
【思路引导】先求出一元二次方程的解，再将其代入 计算即可。13．（2分）（2022·四川）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
．
【答案】6
【完整解答】解： ∵a－b2＝4，
∴b2＝a-4，
a2－3b2＋a－14
=a2-3(a-4)+a-14
=a2-2a-2
=(a-1)2-3，
∵b2＝a-4≥0，
∴a≥4，
∵当a>1时，a2-2a-2的值随a增加而增大，
∴当a=4时，a2-2a-2的最小值为6，
即a2－3b2＋a－14的最小值是6.
故答案为：6.
【思路引导】由a－b2＝4得出b2＝a-4，将其代入原式得到一个关于a的二次三项式，先求出a的范围为
a≥4，然后根据二次函数的性质求最值即可.
14．（2分）（2022八下·嵊州期中）已知方程 ，则 的值为
．
【答案】3
【完整解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 （舍去），∴ .
故答案为：3.
【思路引导】把 看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程，舍去不符合题意的值，即可
解答.
15．（2分）（2020七上·重庆月考）已知实数 ， 满足 ，则代数式
的最小值等于 .
【答案】4
【完整解答】解：∵m﹣n2=1，
即n2=m-1≥0，
∴m≥1，
∵ ，
∴（m+3）2≥16，
∴（m+3）2-12≥4，
∴代数式 有最小值：4
故答案为：4
【思路引导】把m-n2=1变形为n2=m-1，利用非负数的性质可得出m的取值范围，先把
将代数式转化为只含字母m的代数式，再配方根据非负数的特点求出（m+3）2的
范围，则知 的范围，从而得出最小值.
16．（2分）已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2= ．
【答案】39
【完整解答】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，
∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2=80，
（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1=80，2（x﹣2017）2+2=80，
2（x﹣2017）2=78，
（x﹣2017）2=39．
故答案为：39
【思路引导】利用完全平方公式进行化简，然后开根号，求解。
17．（2分）设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
【答案】3
【完整解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
【思路引导】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.
18．（2分）（2022·柳江模拟）一元二次方程 的解是 .
【答案】
【完整解答】解： ，
，
.
故答案为： .
【思路引导】观察方程的特点：此方程缺一次项，因此利用直接开平方法解方程即可.
19．（2分）（2022·泗洪模拟）已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝
时，这个二次三项式的值等于﹣1.
【答案】﹣1或﹣5
【完整解答】解：由 时，代数式的值等于 ，可得 ，解得：
∴二次三项式为
令二次三项式的值为 得：
移项得：
∴
解得 ，
故答案为： 或 .
【思路引导】由于当x＝−2时，代数式的值等于−4，故把x＝−2代入代数式之后可得到关于m的方程，进
而求出m的值；再令代数式的值等于−1，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程，就可以求出对应
的x的值．
20．（2分）（2022·南通模拟）已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，
进而可知 的最小值是 4.依此方法，代数式 的最小值是 .
【答案】1
【完整解答】解：
所以代数式 的最小值是1；
故答案为：1.
【思路引导】根据配方法，将原式化为一个平方式与一个常数的和，然后根据完全平方式的非负性求最大
值即可.
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022八下·惠山期末）解方程：
（1）（3分） ；
（2）（3分） .
【答案】（1）解：(x+1)(x-7)=0
(x+1)=0，(x-7)=0（2）解：
x(x+1)-(x-1)(x+1)=3
x=2
检验：当x=2时，(x-1)(x+1) ≠0，
x=2是原方程的解.
【思路引导】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，观察方程发现方程的左边易于利用十字相乘法分
解因式，故此题利用因式分解法求解即可；
（2）给方程两边同时乘以(x-1)(x+1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然
后进行检验即可.
22．（4分）（2022·建湖模拟）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式 ，
，
.
∵ ，
∴ ，
解得 ， ，
∵ 且 且 ，
∴当 时，原式 ，∴化简结果为 ，值为6.
【思路引导】对第一个分式的分子进行分解，同时通分计算括号内异分母分式的减法，然后将除法化为乘
法，再进行约分即可对原式进行化简，利用因式分解法求出方程的解，然后选取一个使分式有意义的x的
值代入进行计算即可.
23．（5分）（2022八下·长沙竞赛）已知关于x的方程 只有一个实数根，求实
数a的值.
【答案】解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0，△=4（2a－1），
（1）当△=0，即a= 时，显然x= 是原方程的解.
（2）当△＞0，即a＞ 时，x= （1+ ），x= （1－ ），
1 2
显然x＞0，∴x≠－1，x≠0，它是原方程的解，
1 1 1
∴只需x=0或－1时，x 为增根，此时原方程只有一个实数根，
2 2
∴当x=0时，即 （1－ ）=0，得：a=1；
2
当x=－1时，即 （1－ ）=－1，得：a=5.
2
综上，当a= ，1，5时原方程只有一个实数根.
【思路引导】将原方程去分母得到整式方程，算出方程根的判别式的值，分当△=0时，a= ，显然x=
是原方程的解；当△＞0时，根据求根公式求出x，只需x 为增根，此时原方程只有一个实数根，求解可
2
得a的值.
24．（5分）（2022八下·金华月考）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，
求这个三角形的周长.
【答案】解：由题意得：①当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程x2﹣4x+k＝0得：
，
解得： ，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得： ， ，
∴这个等腰三角形的三边长为3、3、1，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为3+3+1=7；
②当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
∴原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得： ，
∴这个等腰三角形的三边长为3、2、2，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为3+2+2=7；
故这个三角形的周长是7.
【思路引导】①当边长3是等腰三角形的腰长时，把x=3代入方程中求出k的值，然后求出方程的解，根
据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长；②当边长3是等腰三
角形的底边时，根据判别式为0求出k的值，然后求出方程的解，根据三角形的三边关系以及等腰三角形
的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长.
25．（5分）若a为一元二次方程x2- x=-4的较大的个根，b为一元二次方程（y-4）2=18的较小的
一个根，求a-b的值.
【答案】解：方程x2-4 x=-4配方得（x-2 ）2=4，
得x=2 +2，x=2 -2.
1 2
解方程（y-4）2=18，得y=3 +4，y=-3 +4.
1 2
由题意，得a=2 +2，b=-3 +4.∴a-b=（2 +2）-（-3 +4）=5 -2
【思路引导】先根据配方法分别解方程x2- x=-4，结合a是较大的根，确定a值，再利用直接开平
方法解方程（y-4）2=18 ，结合b是较大的根，确定b值，最后代值计算即可.
26．（9分）（2022七下·苏州期中）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的
一些问题，阅读下列两则材料：
材料一：已知m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值.
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
∴（m-n）2+（n-4）2=0，
∵（m-n）2≥0，（n-4）2≥0
∴（m-n）2=0，（n-4）2=0
∴m=n=4.
材料二：探索代数式x2+4x+2与-x2+2x+3是否存在最大值或最小值？
①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2.
∴代数式x2+4x+2有最小值-2；
②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，∵-（x-1）2≤0，∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4.
∴代数式-x2+2x+3有最大值4.
学习方法并完成下列问题：
（1）（1分）代数式x2-6x+3的最小值为 ；
（2）（4分）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，
为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
（3）（4分）已知△ABC的三条边的长度分别为a，b，c，且a2+b2+74=10a+14b，且c为正整数，求
△ABC周长的最小值.
【答案】（1）-6
（2）解：由题意，长方形平行于围墙的一边长度为（100-2x）米
花圃的最大面积为： 平方米∵ ，且
∴
所以花圃的最大面积为1250平方米
（3）解：∵a2+b2+74=10a+14b
∴（a2-10a+25）+（b2-14b+49）=0
即
∵ ，
∴ ，
即a−5=0，b−7=0
∴a=5，b=7
根据三角形三边的不等关系，7-5
