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专题7.3 平面直角坐标系（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）小明在教室中的座位为第 行第 列，记为 ，小亮在
第 行第 列，记为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）若点P位于第二象限，且到x轴的距离为3个单位长
度，到y轴的距离为2个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽六安·八年级校考阶段练习）若点 的坐标满足等式 ，则称该点
为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为4，则该点的坐标为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
4．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）若 ， ，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）若第二象限内的点 满足 ， ，则点 的
坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，已知点 ，点 在
线段 上运动，当 时， 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
7．（2023上·山东济南·八年级统考期中）在平面直角坐标系 中，对于P，Q两点给出如下定义：
若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．
下图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，且A，B两点为
“等距点”，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2011下·河南周口·七年级专题练习）若 ， 表示同一个点，那么这个点一定在
（ ）
A．第二、四象限角平分线上 B．第一、三象限角平分线上
C．平行于x轴的直线上 D．平行于y轴的直线上
9．（2023上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）已知点 ， ，点 在 轴上，且三角形
的面积是 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或10．（2023上·河南漯河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点 ，规定以
下两种变化：① ，② ．按照该规定： （ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，
线段 轴，且 ，那么点B的坐标是 ．
12．（2024上·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期末）平面直角坐标系中，点
在第二象限，且点P到y轴的距离是1，则P的坐标为 ．
13．（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）已知 ，那么点 在第 象限．
14．（2023上·广西百色·八年级统考期末）对于平面直角坐标系中任意两点 ， 定义
一种新运算“※”； ，根据这个规则计算： ．
15．（2024上·重庆长寿·八年级统考期末）在 轴上有点 ，在 轴上有点 ，点 在坐标
轴上，若 为等腰三角形，则满足条件的点 最多有 个．
16．（2024·全国·七年级竞赛）在平面直角坐标系中，已知一个四边形的顶点坐标分别为 、
，则四边形 的面积为 ．17．（2024上·吉林延边·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，连接
并延长使 ，则点C的坐标为 ．
18．（2021下·湖北咸宁·七年级统考期末）在平面直角坐标系 中，对于点 ，如果点
的纵坐标满足：当 时， ；当 时， ．那么称点 为点 的“关联点”．
如果点 的关联点 坐标为 ，则点 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·河南漯河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点
（1）若点A在y轴上，求点B的坐标； （2）若线段 轴，求a的值．
20．（8分）（2023上·河南焦作·八年级统考期中）如图，已知长方形 的长和宽分别为6，3．
（1）建立适当的坐标系，使长方形一个顶点的坐标为 ；
（2）直接写出在（1）所建坐标系中其余三个顶点的坐标．21．（10分）（2023下·江西·七年级统考期末）已知点 当 ， 满足 时，称
为“开心点”．
（1）若点 的坐标为 ，则点 __________“开心点”（填“是”或“不是”）．
（2）若点 是开心点，且点 的横坐标为 ，则点 的坐标是__________．
（3）若点 是“开心点”，请判断点 在第几象限？并说明理由．
22．（10分）（2023上·安徽宿州·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐
标分别为 ， ，且 ， 满足 ，点 的坐标为 .
（1）求点 、 的坐标；
（2）点 为 轴上一点，且 的面积为15，求点 的坐标.
23．（10分）（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考期中）在平面直角坐标系 中，
对于点 ，若点 的坐标为 （其中 为常数且 ），则称点 是点 的“ 级关联
点”．例如：点 的“ 级关联点” 的坐标为 ，即 ．
（1）点 的“ 级关联点”的坐标为______；
（2）若点 的“ 级关联点”坐标为 ，求 的值；（3）若点 的“ 级关联点” 位于坐标轴上，求点 的坐标．
24．（12分）（2023上·广西梧州·八年级校考期中）综合与实践：
问题背景：
（1）已知 ， ， ， ．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到
线段 和 中点 、 ，然后写出它们的坐标，则 ______， ______．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为 ， ，则线段的中点
坐标为______．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点 ， ， ，第四个点 与点E、
点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了数对表示位置的方法，掌握数对表示位置的方法是解答本题的关键．
根据数对表示位置的方法，第一个数字表示第几行，第二个数字表示第几列，由此得到答案．
解：根据题干分析可得：小明在教室中的座位为第 行第 列，记为 ，
小亮在第 行第 列，记为 ．
故选： ．
2．C
【分析】本题考查了点的坐标；根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离
等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
解：∵点P位于第二象限，到x轴的距离为3个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，
∴点P的纵坐标为 ，点P的横坐标为 ，即 ，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了点的坐标．根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标．
解：∵到x轴的距离为4，
∴ 或 ，
当 时，
，
解得 ，
∴该点的坐标为 ；
当 时，
，
解得 ，
∴该点的坐标为 ．
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分
别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ）；第四象限 ．根据点在平面直角坐标系中第二象限的坐标特点解答即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴点 在第二象限．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了象限的点坐标问题，掌握各象限内点坐标的性质是解题的关键．根据 ，
求出x，y的值，再根据点 在第二象限即可确定点 的坐标．
解：∵ ，
∴
∵点 在第二象限
∴
∴
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了点关于轴对称，求坐标，结合 ，利用数形结合思想解答即可．
解：根据题意，得 ，
故点关于轴的对称点 ，且 ，∵ ，
∴ ，
故点一定在点的下方，且最低端与点重合，
∴ ，
故选C．
7．B
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，坐标与图形的性质，解题的关键是要读懂“等距点”的定义，
然后根据概念解决问题．
解：∵ ，
∴点A到x、y轴的距离中的最大值等于3，
∵点 ，且 ，
∴ ，
∴ （舍），
∴点D坐标为 ，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据题意得到 ，可得点 的横纵坐标相等，
即可解答，熟知第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等是解题的关键．解：∵点 ， 表示同一个点，
∴ ，
∴这个点一定在第一、三象限的角平分线上．
故选：B．
9．D
【分析】根据三角形的面积求出 的长，再分点 在点 的左边与右边两种情况讨论求解．
解： 点 ，
，
解得 ，
若点 在点 的左边，则 ，
此时，点 的坐标为 ，
若点 在点 的右边，则 ，
此时，点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 或 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
10．A
【分析】本题考查平面直角坐标系点坐标．根据题意由内向外先求出 的坐标，再代入求出
得坐标即可．解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
11． 或
【分析】本题考查了点的坐标；
先根据 轴得到点B的纵坐标为 ，再根据 分情况求出点B的横坐标即可．
解：∵点A的坐标为 ，线段 轴，
∴点B的纵坐标为 ，
∵ ，
∴点B的横坐标为 或 ，
即点B的坐标是 或 ，
故答案为： 或 ．
12．
【分析】此题考查了根据点的坐标特点，根据点所在象限和点P到y轴的距离求出m的值即可得到答
案．
解：∵点 在第二象限，且点P到y轴的距离是1，
∴ 且 ，
解得 ，
∴ ，
∴P的坐标为 ，故答案为：
13．二
【分析】本题考查了各象限点的坐标特征，根据题意得出 ，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，即点 中 ，则点P在第二象限．
故答案为：二．
14． ；
【分析】本题考查新运算，平面直角坐标系；根据 代入求解即可
得到答案；
解：由题意可得，
，
故答案为： ．
15．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．分三种
情况讨论，以 为底， 为腰，画出图形即可解答．
解：分三种情况讨论：
①以 为底， 在原点上；
②以 为腰，且 为顶点，点 有 种可能的位置；
③以 为腰，且 为顶点，点 有 种可能的位置；
则满足条件的点 最多有 个，
故答案为： ．16．
【分析】本题考查了坐标与图形；根据坐标特点，利用割补法即可求解．
解：如图， ， ，
点A到 的距离 ，点A到 的距离 ；
∴四边形 的面积为：
；
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查了坐标与图形性质，掌握线段之间的关系是解题的关键．根据 ，直接用两
点中点计算公式求解即可．
解：设C点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，，
∴点C的坐标为： ．
故答案为 ．
18． 或
【分析】本题考查了点的坐标，根据“关联点”的定义，可得答案，理解“关联点”的定义是解答本
题的关键．
解： 点 的关联点 坐标为 ，
或 ，即 或 ，
解得： 或 ，
点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查平面直角坐标系中点坐标．
（1）根据题意列式求出 ，再将 代入 坐标即可；
（2）根据题意可知 坐标纵坐标相等，列式即可求出 ．
（1）解：∵ ，点A在y轴上，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵线段 轴，
∴ ，即： ．20．（1）见分析；（2）
【分析】此题重点考查平面直角坐标系、图形与坐标等知识，适当确定原点 的位置进而建立平面直
角坐标系是解题的关键．
（1）令点A的坐标为 ，再确定原点的位置，建立使长方形 的边分别与 轴、 轴平行的
平面直角坐标系即可；
（2）由长方形的性质得 轴, 轴, 可求得
写出点的坐标即可．
解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示, 使 ， 轴, 轴．
（2）
理由：∵四边形 是长方形， ，
∴ ，
∴ 轴， 轴，
，
．
21．（1）是；（2） ；（3）点 在第一象限，理由见分析
【分析】（1）计算点A的坐标是否满足 ，即可判断；
（2）令 求出b的值，即可得到点P的坐标；
（3）根据“开心点”的定义代入 ，求得m的值，得到点M的坐标，求解即可．（1）解：点 的坐标为 ，
∴ ， ，即 ，
∴点 是“开心点”，
故答案为：是；
（2）当 ， ，
解得 ，
点P的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）将点M坐标代入 中，可得 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在第一象限．
【点拨】本题主要考查了点的坐标、坐标与图形，正确掌握“开心点”的定义并正确求解是解题关键．
22．（1）点 ，点 ；（2）点P的坐标为 或 ．
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式．
（1）由 ，结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出 ， 的值；
（2）设出点P的坐标，找出线段 的长度，根据三角形的面积公式结合 ，即可得出 的
值，从而得出点P的坐标．
（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点 ，点 ；（2）解：设点P的坐标为 ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
点P的坐标为 或 ．
23．（1） ；（2） ；（3）点 的坐标为 或
【分析】本题主要考查坐标变换，理解“ 级关联点”的含义和计算方法，掌握点的坐标规律，解一
元一次方程的方法是解题的关键．
（1）根据“ 级关联点”的计算方法列式即可求解；
（2）根据“ 级关联点” 的计算方法列式即可求解；
（3）根据“ 级关联点”的计算，求出点 的坐标表示，再根据点在坐标轴上的特点即可求解．
（1）解：根据题意可得， ， ，
∴点 的“ 级关联点”的坐标为 ，
故答案为： ．
（2）解：根据题意可得， ，
∴ ．
（3）解：根据点 的“ 级关联点”得，横坐标为： ，纵坐标为：
，
∴点 的坐标为 ，
∵ 位于坐标轴上，
∴当点 在 轴上时， ，解得， ，
∴ ；
当点 在 轴上时， ，
解得， ，
∴ ；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
24．（1）描点见分析， 的坐标为 ， 的坐标为 ，（2） ，（3）
或 或
【分析】本题主要考查了在坐标系中描点，两点中点坐标公式，正确理解题意利用分类讨论的思想求
解是关键．
（1）在坐标系中描出A、B、C、D然后找到线段 和 中点P、P 即可；
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（2）根据（1）所求即可得到中点坐标公式；
（3）分当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，当线
段HE的中点与线段FG的中点坐标重合时，三种情况讨论求解即可．
（1）解：如图所示，A、B、C、D为所求，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
（2）解：由题意得若线段的两个端点的坐标分别为 ， ，则线段的中点坐标为；
（3）解：∵ ， ， ，
∴线段EF的中点坐标为（1， ），线段EG的中点坐标为（0，3），线段 的中点坐标为（2，
），
当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，则 ，
∴ ，
∴点H的坐标为 ；
同理当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，点H的坐标为 ；当线段 的中点与线段
的中点坐标重合时，点H的坐标为 ，
综上所述，点H的坐标为或或
