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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 25 讲 解三角形（精讲）
题型目录一览
①正弦、余弦定理的应用
②解三角形面积问题
③判断三角形形状
④解三角形与三角函数综合
⑤解三角形的实际应用
一、知识点梳理
一、正余弦定理和面积公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
；
公式 ；
.
(1) ， ， ； ；
常见变形
(2) ， ， ； ；
.
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边③合分比：
（2） 内角和定理：
①
② ；
③在 中，内角 成等差数列 .
三、解三角形的实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【常用结论】
1.解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 .
二、题型分类精讲
题型 一 正弦、 余弦 定理的应用
策略方法 正余弦定理解三角形
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c．
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C．
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A
＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
【典例1】（单选题） 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】利用正弦定理以及大边对大角即可求解．
【详解】因为 ，
则由正弦定理可得： ，
又 ，且 ，
所以 或 ．
故选： ．
【典例2】（单选题）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得 的值.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
设 ，则 ， ，
由余弦定理可得 .
故选：D.
【典例3】（单选题）在 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合正弦定理求得 ，再由余弦定理，即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，且 ，
由余弦定理可得： .
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
则 ，故 ，
又 ，所以 .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 最大角和最小角之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理，推出三条边的比值，通过余弦定理求解中间角的大小，即可得出结果.
【详解】由正弦定理得，
，
所以最大角为 ，最小角为 ，
所以设 ， ，
则由余弦定理得，
，
又 ，所以 ， .
故选：D
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）设△ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用正弦定理求得 的值，再利用二倍角的余弦公式即可求得 的值.
【详解】由正弦定理可知 ，
故选：B.
4．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
， ，则A＝（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】由正弦定理得到 ，利用余弦定理得到 ，求出答案.
【详解】 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
故选：B
5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ， ，则c＝（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理化边为角有 ，再利用两角和与差的正弦公式有
，再利用正弦定理进行化角为边有 .
【详解】因为 ，根据正弦定理得
，
移项得 ，
即 ，即 ，
则根据正弦定理有 ．
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得 的值，最后利用三角
形内角和定理可得 的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
故选：C.
7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且满足
，若 ，则 外接圆的半径长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理结合题意可得出 ，再由正弦定理即可求出 外接圆的半径长.
【详解】由 可得 ，
再由余弦定理可得： ，
故 ，因为 ，所以
则 .
故选：B.8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
且 ， ，则 （ ）
A． B． C．8 D．4
【答案】D
【分析】由 可得 ，求出 ，利用正弦定理可得答案.
【详解】在 中，由 可得 ，
即
所以 ，因为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，又 ，可得 ，
由正弦定理可得 ．
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使
的形状唯一确定的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B、D；利用三角形的内角和以及正弦定理可判断
C.
【详解】对于A，由余弦定理可得 ，解得 ，故A正确；
对于B，根据正弦定理： ，可得 ，又因为 ，所以 ，所以 或 ，故B不正确；
对于C，由三角形的内角和可知 ，又 ，利用正弦定理 ，可知 均有唯一
值，故C正确；
对于D，根据正弦定理： ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 只能是锐角，故D正确；
故选：ACD
10．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在 中，内角 所对的边分别
为 ，下列命题中，正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在 中，若 ， ，则
C．在 中，若 ，则
D．在 中，
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理边角互化计算判断ABD；由sin2A=sin2B确定角A，B的关系判断C作答.
【详解】在△ABC中，由sin A=sinB及正弦定理得：a=b，因此A=B，A正确；
在△ABC中，由sinC=2sinA及正弦定理得：AB=2BC=2√5，B正确；
在△ABC中，0
