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2.2.1平方根-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2023八上·永兴月考）2的算术平方根是（ ）
A．√2 B．2 C．±√2 D．±2
【答案】A
【知识点】求算术平方根
2
【解析】【解答】解：∵(±√2) =2，
∴2的算术平方根为√2.
故答案为：A
【分析】根据算式平方根的定义即可求出答案.
2．（2019八上·盘县期中）下列说法正确的是（ ）
A．-6是36的算术平方根 B．±6是36的算术平方根
C．√6 是36的算术平方根 D．√6 是 √36 的算术平方根
【答案】D
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：A、因为-6是36的平方根，但不是36的算术平方根，所以A中说法错误；
B、因为36的算术平方根只有6，所以B中说法错误；
C、因为36的算术平方根是6，所以C中说法错误；
D、因为 √36=6 ，而6的算术平方根是 √6 ，所以D中说法正确.
故答案为：D.
【分析】若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根。根据定义并结合各
选项即可判断求解.
3．（2023八上·南皮期中）若n满足|n−16|=0，则n的算术平方根是（ ）
A．−4 B．±4 C．0 D．4
【答案】D
【知识点】化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【解答】∵任何有理数的绝对值都是非负数 ，且n满足|n-16|=0，∴n=16，又∵n 的算术
平方根只有一个，且为正数，即：√16=4，D正确。
故答案为：D。
【分析】本题考查一个正数得算术平方根的求解，正数的算术平方根只有一个，且大于零。
1 / 134．（2018八上·河南月考）√25 的平方根是（ ）
A．√5 B．±5 C．5 D．± √5
【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】因为 √25 =5，
所以， √25 的平方根是± √5 .
故答案为：D
【分析】 由算术平方根的意义得 √25=5，再根据平方根的意义即可求解。
5．（2022八上·龙华期中）若m+4 与m−2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3 B．−3 C．1 D．−1
【答案】D
【知识点】平方根；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵m+4 与m−2是同一个正数的两个平方根，
∴m+4 与m−2互为相反数，
∴m+4+m−2=0，
∴m=−1，
故答案为：D.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得m+4+m-2=0，求解可得m的值.
6．（2020八上·锦江月考）实数 1−3a 有平方根，则 a 可以取的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵实数1-3a有平方根，
∴1-3a≥0，
1
解得a≤ ，
3
而四个选项中只有A符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．
7．（2018八上·兰州期末）在 RtΔABC 中， ∠C=90° ， c为斜边，a. b为直角边，则化简
√(a−b+c) 2−2|c−a−b| 的结果为（ ）
2 / 13A．3a+b−c B．−a−3b+3c C．a+3b−3c D．2a
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a-b+c|-2|c-a-b|
=a-b+c+2（c-a-b）
=a-b+c+2c-2a-2b
=-a-3b+3c．
故选B．
【分析】根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a-b+c|-2|c-a-b|
=a-b+c+2（c-a-b），然后去括号后合并即可．
8．（2024八上·怀化期末）已知√12.34=3.512，√123.4=11.108，则√1234=（ ）
A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.8
【答案】A
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵ √12.34=3.512 ，
∴√1234=√12.34×100=√12.34×√100=3.512×10=35.12.
故答案为：A.
【分析】将 √1234转化为√12.34×√100，再把√12.34=3.512代入计算即可.
二、填空题
9．（2020八上·银川期中）√16= ； √81 的平方根是 .
【答案】4；±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： √16= 4
√81 =9
9的平方根是±3
∴√81 的平方根是±3
故答案为：4；±3.
【分析】根据一个数x2=a(a≥0），则这个数就是a的平方根；一个正数x2=a(a≥0），则这个正数就是
a的算术平方根，即可得出答案.
10．（2018八上·汪清期末）计算： √(−2) 2 ＝ ．
3 / 13【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 √(−2) 2 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以√4的值为2。
11．（2024八上·顺德月考）一个正方形的面积扩大为原来的4倍，则它的边长变有原来的
倍．
【答案】2
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设一个正方形的面积为a2，则边长为√a2=a(a>0)，
∴面积扩大为原来的4倍为4a2，边长为√4a2=2a，
∴它的边长变有原来的2a÷a=2（倍），
故答案为：2．
【分析】正方形的面积等于边长的平方，则边长就是面积的算术平方根，故设一个正方形的面积为
a2，则面积扩大为原来的4倍为4a2，分别利用算术平方根求出边长，比较即可得出答案．
12．（2024八上·甘州期末）定义运算：x⊗y=√xy+4，则(2⊗6)⊗8= ．
【答案】6
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵x⊗y=√xy+4，
∴2⊗6=√2×6+4=4
∴4⊗8=√4×8+4=6．
故答案为：6
【分析】根据新定义运算先计算2⊗6=√2×6+4=4，进而计算4⊗8=√4×8+4=6即可。
13．（2019八上·兰考期中）若 a−b=5 ， ab=4 ，则 a2+b2= ， a+b= .
【答案】33；±√41
【知识点】平方根；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： a2+b2
=(a−b) 2+2ab
=52+2×4
=33.
4 / 13(a+b) 2
=a2+b2+2ab
=33+2×4
=41
故 a+b=±√41
故答案为：33； ±√41
【分析】利用完全平方公式变形，然后代入求值即可.
14．（2024八上·石家庄期中）下图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当x为9时，y值为 ；
（2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输
入的x满足的条件 ．
【答案】√3；x<0
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：（1）解：将x=9代入，√9=3，不是无理数，进行第二次计算，
√3为无理数，故输出y为√3；
（2）∵负数没有算术平方根，
∴输入的x满足的条件为x<0，
故答案为：√3；x<0．
【分析】本题考查无理数和算术平方根下的流程图运算。
（1）将x=9代入，通过计算可得：，√9=3，不是无理数，进行第二次计算，√3为无理数，再进行
输出可求出答案；
（2）根据负数没有算术平方根，可推出输入的x满足的条件为x<0；
三、解答题
15．（2023八上·渠县月考）一个正数x的平方根分别是3a＋13与a-5，求a和x的值．
【答案】解：-2 、49
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：由题意得 3a＋13+a-5=0，
解得：a=-2，
5 / 13∴ 这个正数x=（a-5）2=49.
【分析】一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，据此解答即可.
16．（2023八上·东安月考）已知2a−1的平方根是±3，4a+2b+1的算术平方根是5，求a−2b的平
方根.
【答案】解：∵2a−1平方根是±3
∴2a−1=9，∴a=5
∵4a+2b+1的算术平方根为5，
∴4a+2b+1=25，∴4×5+2b+1=25，∴b=2
∴±√a−2b=±√5−2×2=±1
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先根据平方根、算术平方根的概念求得a、b的值，再代入代数式a-2b运算即可求
解.
17．（2020八上·成都月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是2的平方根，求
5(a+b)
−√2cd+x 的值．
a2+b2
【答案】解：由题意知a＋b=0，cd=1，x=± √2 .
当x= √2 时，原式=－ √2 ＋ √2 =0；
当x=－ √2 时，原式=－ √2 － √2 =－2 √2 ，
故原式的值为0或－2 √2
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；平方根；代数式求值
【解析】【分析】根据相反数、倒数的定义，可得出a+b=0，cd=1，解出x的值后代入即可得出答案．
18．（2024八上·榕城期末）已知x=1−2a，y=3a−4．
（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
【答案】（1）解：∵x的算术平方根是3
∴x=1−2a=32=9
解得：a=−4
（2）解：∵一个正数的平方根分别为x，y
∴x+ y=0，即(1−2a)+(3a−4)=0
解得：a=3
∴x=1−2×3=−5
6 / 13这个正数是x2=(−5) 2=25
【知识点】算术平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的定义及计算方法可得x=1−2a=32=9，再求出a的值即可；
（2）利用平方根的定义可得x+ y=0，即(1−2a)+(3a−4)=0，求出a的值，再求出x的值即可.
19．（2023八上·李沧期中）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是A(0，a)，B(0，b)，
且√a+6+|12−b|=0．
（1）求b−a的平方根；
（2）若在x轴的正半轴上有一点C，且△ABC的面积是27，求点C的坐标；
（3）过（2）中的点C作直线MN∥y轴，在直线MN上是否存在点D，使得△ACD的面积是
1
△ABC面积的 ？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
9
【答案】（1）解：由题意得，√a+6=0；|12−b|=0
∴a+6=0；12−b=0∴a=−6；b=12
∴±√b−a=±√18=±3√2
（2）解：∵A(0，−6)，B(0，12)，∴AB=18
1
假设C点的坐标为(c，0)，则有， ×18×c=27，∴c=3
2
∴C点的坐标为(3，0)
（3）解：由题意得，D点的横坐标为3
设D点的纵坐标为d，则有，CD=|d|，
1 1
∴ ×|d|×3= ×27
2 9
∴d=±2，
∴D点的坐标为(3，2)或(3，−2)
【知识点】三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据平方根和绝对值的非负性求出a和b的值；
（2）根据三角形的面积求出三角形的高，求出点C的坐标即可；
（3）根据（2）的结论△ABC的面积为27，即可得到△ACD的面积为3，根据MN∥y轴得到△ACD
的高为3，求出底得到点C的坐标即可。
四、阅读理解题
20．（2017八上·常州期末）阅读理解
∵√4 ＜ √5 ＜ √9 ，即2＜ √5 ＜3．
7 / 13∴1＜ √5 ﹣1＜2
∴√5 ﹣1的整数部分为1．
∴√5 ﹣1的小数部分为 √5 ﹣2．
解决问题：
已知a是 √17 ﹣3的整数部分，b是 √17 ﹣3的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
【答案】解：∵√16 ＜ √17 ＜ √25 ，∴4＜ √17 ＜5，∴1＜ √17 ﹣3＜2，∴a=1，b= √17 ﹣
4，∴（﹣a）3+（b+4）2=（﹣1）3+（ √17 ﹣4+4）2=﹣1+17=16，∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：
±4．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；平方根；无理数的概念
【解析】【分析】首先得出 √17 接近的整数，进而得出a，b的值，进而求出答案。
21．（2016八上·平谷期末）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时|a|是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时|a|是零；
当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a|是它的相反数．
{
a(a>0)
综上所述，|a|可分三种情况，即|a|= 0(a=0)
−a(a<0)
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：
（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 √a2 的各种展开的情况．
（2）猜想 √a2 与|a|的大小关系是 √a2 |a|．
（3）当1＜x＜2时，试化简： |x−1|+√(x−2) 2 ．
【答案】（1）解：当a＞0时，如a=3，则 √a2=√32=3 ，故此时 √a2 的结果是它本身；
当a=0时， √a2 =0，故此时 √a2 的结果是零；
当a＜0时，如a=﹣3，则 √a2=√(−3) 2=3=−(−3) ，故此时 √a2 的结果是它的相反数．
{
a(a>0)
综上所述， √a2 的结果可分三种情况，即
√a2=
0(a=0)
−a(a<0)
（2）=
8 / 13（3）解：∵1＜x＜2，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴|x−1|+√(x−2) 2 =x﹣1+（2﹣x）
=1．
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性知√a2≥0，故一个正数的平方的算术平方根等于它
本身；0的平方的算术平方根等于它本身；一个负数的平方的算术平方根等于它的相反数；
（2）根据绝对值的非负性知：一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值等
于它的相反数；根据算术平方根的非负性知：一个正数的平方的算术平方根等于它本身；0的平方的
算术平方根等于它本身；一个负数的平方的算术平方根等于它的相反数；故√a2=|a|；
（3）因1＜x＜2，故x﹣1＞0，x﹣2＜0根据绝对值及算数平方根的意义，分别化简，再合并即可。
22．（2023八上·海曙期中）阅读材料：
⑴对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
⑵对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用
了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用
纸总面积为W，李明同学的用纸总面积为W．回答下列问题：
1 2
①W＝ 用x、y的式子表示）
1
W＝ （用x、y的式子表示）
2
②请你分析谁用的纸面积最大．
9 / 13（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距
离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a＝AB+AP．
1
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在店P处，该方案
中管道长度a＝AP+BP．
2
①在方案一中，a＝ km（用含x的式子表示）；
1
②在方案二中，a＝ km（用含x的式子表示）；
2
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
【答案】（1）解：①3x+7y；6x+8y；
②解：W﹣W＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，
1 2
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴W﹣W＞0，
1 2
∴W＞W，即张丽同学用的纸面积最大．
1 2
（2）解：①x+3；
②√x2+48；
③∵a 2−a 2＝（x+3）2﹣（√x4+48）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，
1 2
分三种情况：
①当a 2−a 2＞0时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5；
1 2
③ 当a 2−a 2＝0时，6x﹣39＝0，解得x=6.5；
1 2
③ 当a 2−a 2＜0时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5；
1 2
综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，当x＝46.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一．
【知识点】勾股定理的应用；算术平方根的实际应用
10 / 13【解析】【解答】解： (1)①根据题意可得， W＝3x+7y， W＝ 6x+8y.
1 2
故答案为：3x+7y，6x+8y
(2)①根据题意可得， a＝（x+3 ）km.
1
故答案为：x+3.
②如图，作BM⊥AC交BP的延长线于点A'.
则AM=4-3=1km.
在Rt△ABM中，由勾股定理，得BM2=x2-1.
在Rt△A'BM中，由勾股定理，得A'B=√A'M2+BM2=√x2+48
∴a＝AP+BP=A'B=√x2+48.
2
故答案为：√x2+48.
【分析】（1）①根据题意列出代数式即可；
②利用作差法计算即可.
(2)①根据题意列出代数式即可；
②作BM⊥AC交BP的延长线于点A'，然后根据勾股定理求解即可.
③用x表示a 2−a 2，然后分三种情况讨论即可.
1 2
五、综合题
1 1 1 1 1 1 1 1
23．（2022八上·仁寿月考）已知 =1− ； = − ； = − ⋯，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1
（1）观察上式得出规律，则 = ， = ．
99×100 n(n+1)
11 / 13（2）若√a−1+√ab−2=0，求a、b的值．
1 1 1 1
（3）由（2）中a、b的值，求 + + +⋯+ 的值．
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2014)(b+2014)
1 1 1 1
【答案】（1） − ； −
99 100 n n+1
（2）解：∵√a−1+√ab−2=0，
∴a−1=0，ab−2=0，
∴a=1，ab=2，
∴b=2；
（3）解：当a=1，b=2时，
1 1 1 1
+ + +⋯+ ，
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2014)(b+2014)
1 1 1 1
= + + +⋯+ ，
1×2 2×3 3×4 2015×2016
1 1 1 1 1 1 1 1
= − + − + − +⋯+ − ，
1 2 2 3 3 4 2015 2016
1
=1− ，
2016
2015
= ．
2016
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；算术平方根的性质（双重非负性）
1 1 1 1 1 1
【解析】【解答】（1）解： = − ， = − ，
99×100 99 100 n(n+1) n n+1
1 1 1 1
故答案为： − ， − ；
99 100 n n+1
【分析】（1）观察各个式子可知分子都为1，分母是两个连续的正整数，观察可得规律：
1 1 1
= − ，由此可求出其结果.
n(n+1) n n+1
（2）利用二次根式的非负性，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
（3）将（2）中a，b的值代入代数式，利用（1）中的规律进行计算，可求出结果.
24．（2020八上·重庆月考）
（1）已知 |x|=|−y| ，且 |x+ y|=−x−y ，求 x−y 的值
12 / 13(a+b−cd) 2008
（2）已知数a与b互为相反数，c与d互为倒数， x+2=0 ，求式子 (a+b) 2009−
x3
的值.
（3）已知 √25=x ， √y=2 ，z是9的算术平方根，求 2x+ y−z 的平方根.
【答案】（1）解： ∵|x|=|−y| ，
∴x= y 或 x=−y ，
∵|x+ y|=−x−y ，
∴x+ y<0 ，
∴x= y ，
∴x−y=0
（2）解： ∵a 与b互为相反数，
∴a+b=0 ，
∵c 与d互为倒数，
∴cd=1 ，
∵x+2=0 ，
∴x=−2 ，
(a+b−cd) 2008 1 1
∴(a+b) 2009− =0− =
x3 (−2) 3 8
（3）解： ∵√25=x ，
∴x=5 ，
∵√y=2 ，
∴y=4 ，
∵z 是9的算术平方根，
∴z=3 ，
∴2x+ y−z=10+4−3=11 .
∴2x+y-z的算术平方根为 ±√11
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；算术平方根；代数式
求值
【解析】【分析】（1）由已知分别得到 x= y 或 x=−y ， x+ y<0 ，进而确定 x= y 满足题意；
（2）由已知可知 a+b=0 ， cd=1 ， x=-2 ，代入所求式子即可算出答案；
（3）由已知可知 x=5 ， y=4 ， z=3 ，代入所求式子即可.
13 / 13
