文档内容
第 2 章第 03 讲 估算、实数
1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小
2、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类;
3、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小;
4、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义（同有理数的意义完全一样）.
知识点01 估算
【微点拨】日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小
误差，方法要科学．
估算法：（1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大小．
例如： ，则 ； ，则 ．
常见实数的估算值： ， ， ．
知识点02 实数概念及分类
【微点拨】1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分
无理数常见的三种类型：（
数.
题型01 无理数的估算
【典例】（2023春·重庆潼南·七年级校联考期中）估算 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【变式1】（2023·天津东丽·统考一模）估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【变式2】（2023·浙江·七年级假期作业）若a和b为两个连续整数，且 ，那么 ，
．
题型02 实数概念理解
【典例】（2023春·七年级课时练习）有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；
③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中，正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数
C． 、 都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）关于实数，下列说法错误的是（ ）A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数
题型03 实数的分类
【典例】（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数填入相应的横线上：
正有理数集合：
整数集合：
负分数集合：
无理数集合：
【变式1】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期中）把下列各数分别填在相应的集合中： ， ，
， ， ， ， ， ， ， (每两个1之间依次多1个0)．
有理数集合：｛ …｝
无理数集合：｛ …｝
【变式2】（2023春·七年级课时练习）把下列各数分别填在相应的集合中．
， ， ， ， ， ， ， （每相邻两个3之间0的个数逐
次加1）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
题型04 实数的性质
【典例】（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习） 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·江苏·八年级假期作业） 的相反数是（ ）A． B． C． D．
题型05 实数与数轴
【典例】（2023·福建泉州·统考二模）如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原
点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达 点，则下列实数与点 表示的数最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·七年级单元测试）如图，在数轴上表示实数 的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【变式2】（2023春·上海普陀·七年级统考期中）如图，在数轴上，点 与点 关于点A对称，A、B两点
对应的实数分别是 和 ，那么点 所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
题型06 实数的大小比较
【典例】（2023春·广东惠州·七年级统考期末）比较大小： ______ ， ______ ；
【变式1】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）比较实数大小： ______ （填“ ”、“ ”或“
”）．
【变式2】（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较大小： _____ ．（填写“ ”、“
”或“ ”）
题型07 实数的混合运算
【典例】（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．【变式1】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）计算：
(1) ； (2) ．
【变式2】（2023春·河南安阳·七年级统考期末）计算：
(1) (2)
题型08 程序设计与实数运算
【典例】（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减
损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的 值为64时，输出的 值是__________．
【变式1】（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入 为 时，输出
的值是____________
【变式2】（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为 ，则
输出结果为___________．
题型9 无理数整数部分的有关计算
【典例】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）已知a是 的小数部分，则 ．【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业） 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值为 ．
【变式2】（2023春·黑龙江双鸭山·七年级校考期末） 的小数部分是 ， 的小数部分为 ．则
．
题型10 新定义下的实数运算
【典例】（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算： ，其中 ， 为实数．例如：
，则 的值为__________．
【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数 ，都有 ，则
的值为_________．
【变式2】（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）在正实数范围内定义一种运算“ ”：当 时，
；当 时， ．则方程 的解是___________．
题型11 与实数运算相关的规律题
【典例】（2023春·全国·七年级专题练习）探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6， ＝ ， ＝ ， ＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规
律计算： ．
【变式1】（2023春·福建莆田·七年级统考期中）阅读下列解题过程：
第1个等式： ．
第2个等式： ．第3个等式： ．
……
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．
(2)利用这一规律计算： ．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想 ______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可 表示不超过a的最大整数，如 ， ，计算：
的值
一、选择题
1．（2023春·广西防城港·七年级统考期末） 的相反数是（ ）A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，数轴上表示实数 的点可能是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
3．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·陕西安康·七年级统考期末）如图是一个数值转换器，当输入的 时，输出的y等于
（ ）
A．8 B． C． D．4
5．（2023春·安徽池州·七年级统考期末）设 的整数部分用 表示，小数部分用 表示； 的整
数部分用 表示，小数部分用 表示，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023春·天津东丽·七年级统考期末）计算 的绝对值是 ．
7．（2023春·重庆忠县·七年级统考期末）实数 ， ， ， 中最小的数是 ．
8．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）已知a，b分别是 的整数部分和小数部分，那么
的值为 .
9．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在数轴上，点 为原点，点 在数2位置上，过点 作
，且 ．以点 为圆心， 为半径作弧，交数轴的右侧于点 ，则点 表示的数为 ．
10．（2023·浙江·七年级假期作业）已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果为 ．三、解答题
11．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）计算：
12．（2023春·安徽黄山·七年级统考期末）计算
13．（2023春·湖北孝感·七年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
14．（2023春·江西上饶·七年级统考期末）如图，有一只蚂蚁从点 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点
，若点 表示数 ，设点 所表示的数为 ．
(1)实数 的值是______；
(2)求 的值．
15．（2023春·河南商丘·七年级统考期末）【阅读材料】
∵ ， ，∴ 的整数部分为1，小数部分为 ．
【解决问题】
(1) 的整数部分是______，小数部分是______．
(2)已知 ，其中x是整数，且 ，求 的相反数．16．（2023春·河南周口·七年级统考期末）同学们学过数轴知道，数轴上的点与实数一一对应，在一条不
完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中， ， ，如图，设点A，B，C所对应数的
和是P．
(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值．
(2)若原点О在点C的右侧，且 ，求P的值．
17．（2023·浙江·七年级假期作业）设n是正整数，则 按整数部分的大小可以这样分组：
整数部分为1： ， ， ； ， ，…， ．
整数部分为2： ， ，… ； ， ，… ．
整数部分为3： ， ，… ； ， ，… ．
(1)若 的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？
(2)若 的整数部分为5，则n可能的值有几个？
18．（2023春·河北张家口·七年级统考期末）如图是一个数值转换器 ，其工作原理如图所示．
(1)当输入的x值为 时，求输出的y值；
(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y值是 ，直接写出x的负整数值．
