专题13导数的运算法则在抽象函数中的应用（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_专项复习资料_学霸养成2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题 13 导数的运算法则在抽象函数中的应用 一、考情分析 导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是 根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质 求解. 二、解题秘籍 (一) 抽象函数的奇偶性及应用 若可导函数 是偶（奇）函数，则 是奇（偶）函数. 【例1】已知函数 及其导函数 的定义域均为 ， 是偶函数，记 ， 也是偶函数，求 的值. 【解析】因为 是偶函数，所以 是奇函数，即 ， 所以 ，所以 ，令 可得 ，即 ， 因为 为偶函数，所以 ，即 ， 所以 ，即 ，得 ， 所以4是函数 的一个周期，所以 ． (二)和差型抽象函数的应用 解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所 构造的函数的单调性求解．如给出式子 ,可构造函数 ，给出式子 ,可构 造函数 ，一般地，若给出 通常构造函数 . 【例2】已知 的导函数 满足 且 ，求不等式 的解集． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】令 ，则 ，∴ 在 上为单调递增． 又∵ ，∴ ，则 可转化为 ， 根据 单调性可知不等式 的解集为 ． (三)积型抽象函数的应用 若给出形如 的式子通常构造函数 ，如给出 可构造 函数 ，如给出 ，可构造函数 ，如给出 ，可构造函数 . 【例3】设 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，当 时，证明: . 【解析】 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ， 故 不为常数函数，且 ，构造函数 ， 则 ， 在 上单调递减， 又 ，且 ，故 ，则 ①， 又 ，所以 ②， ①②两式相乘得 ，即 . 【例4】设定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ， ，求不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集 【解析】设 ，则 , 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，∴ , 而 ,故 , ∴ 在R上单调递增， 又 ，故 ， ∴ 的解集为 ， 即不等式 的解集为 . 【例5】定义在 上的函数 ，其导函数是 ，且恒有 成立，比较 与 的大小. 【解析】因为 ，所以 ， ． 由 ，得 ． 即 ． 令 ， ，则 ． 所以函数 在 上为增函数， 则 ，即 ，所以 ，即 ． (四)商型抽象函数的应用 若给出形如 的式子通常构造函数 ，如给出 可构造函数 ，给出 ，可构造函数 ，给出 ，可构造函数 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例6】已知函数 在 恒有 ，其中 为函数 的导数，若 ， 为锐角三角 形两个内角，比较 的大小. 【解析】设 ，则 所以函数 在 上单调递增. ， 为锐角三角形两个内角,则 所以 ，由正弦函数 在 上单调递增. 则 所以 ，即 所以 . (五)根据 构造函数 若给出形如 的式子通常构造偶函数或奇函数. 【例7】设函数 在 上存在导函数 , ,有 ,在 上有 ,若 ,求实数 的取值范围. 【解析】因为 ,所以 令 即函数 为偶函数,因为 上有 , 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 即函数 在 单调递增； 又因为 所以 即 ,所以 ,解得 ,故选B. (六)信息迁移题中的抽象函数 求解此类问题关键是如何利用题中的信息. 【例8】已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 对任意 恒成立，则称函数 为“线性控制函数”. (1)判断函数 和 是否为“线性控制函数”，并说明理由； (2)若函数 为“线性控制函数”，且 在 上严格增，设 为函数 图像上互异的两点，设 直线 的斜率为 ，判断命题“ ”的真假，并说明理由； (3)若函数 为“线性控制函数”，且 是以 为周期的周期函数，证明：对任意 都有 . 【解析】（1） ，故 是“线性控制函数”； ，故 不是“线性控制函数”. （2）命题为真，理由如下： 设 ，其中 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 在 上严格增，故 ，因此 由于 为“线性控制函数”，故 ，即 令 ，故 ，因此 在 上为减函数 ， 综上所述， ，即命题“ ”为真命题. （3）根据（2）中证明知，对任意 都有 由于 为“线性控制函数”，故 ，即 令 ，故 ，因此 在 上为增函数 因此对任意 都有 ，即 当 时，则 恒成立 当 时， 若 ，则 ，故 若 时，则存在 使得 故1 ，因此 综上所述，对任意 都有 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（事实上，对任意 都有 ，此处不再赘述） 【例9】定义：若曲线C 和曲线C 有公共点P，且在P处的切线相同，则称C 与C 在点P处相切． 1 2 1 2 (1)设 ．若曲线 与曲线 在点P处相切，求m的值； (2)设 ，若圆M： 与曲线 在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的 最小值； (3)若函数 是定义在R上的连续可导函数，导函数为 ，且满足 和 都恒成立.是否存在点P，使得曲线 和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论． 【解析】（1）设点 ，由 ，求导得 ， 于是 ，解得 ，由 ，得 ，解得 ， 所以m的值为9. （2）设切点 ，由 求导得 ，则切线的斜率为 ， 又圆M： 的圆心 ，直线 的斜率为 ， 则由 ，得 ，令 ，求导得 ， 当 时， ，当 时， ，即函数 在 上递减，在 上递增， 因此当 时， ， 所以当 时， . （3）假设存在 满足题意， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，对函数 求导得： ， 于是 ，即 ， 平方得 ， 即有 ，因此 ， 整理得 ，而恒有 成立，则有 ， 从而 ，显然 ，于是 ，即 与 恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点 满足条件. 三、典例展示 【例1】已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，若 恒成立，求证： . 【解析】设函数 ，因为 ， ， 所以 ，则 ， 所以 在 上单调递减， 从而 ,即 ，所以 . 【例2】已知函数 满足 ，且 ，判断函数 零点的个 数. 【解析】 ，∴ ， ，∵ 代入，得 ，∴ . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】或 ， ； ， 如图所示， 函数 与函数 的图像交点个数为2个，所以 的解得个数为2个；综上，零点个数 为3个. 【例3】已知函数 的导函数为 ，若 ，且 ，求不等式 的解集 【解析】令 ，则 ， 在 上递增， ， ， 由 ，化为 ， 即 ， ， 即不等式 的解集为 . 【例 4】已知定义在 R 上的函数 的导数为 ,且满足 ,当 时 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,求不等式 的解集. 【解析】设 ,则 ,所以 = ,所以 是偶函数,设 ,则 ,所 以 , 即 , 所 以 时 , 所 以 时 , 在 上 是 增 函 数 , 所 以 ,故选C. 【例5】已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，满足对任意的 都有 . (1)若 ，求实数a的取值范围； (2)若存在 ，对任意 ，成立 ，试判断函数 的零点个数，并说明理由； (3)若存在a、 ，使得 ，证明：对任意的实数 、 ，都有 . 【解析】（1）若 ，则 ， 由题意，对任意的 都有 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，即 ， 所以 ， 由于 的最小值为 ， 的最大值为 ， 所以 ，即实数a的取值范围为 ； （2）依题意， ， 所以， 在 上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当 时， ， 当 时， ， 所以 存在零点，综上存在1个零点； （3）因为 ，由导数的定义得 ， 即 ， 不妨设 若 ，则 若 ， 则 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】. 【例6】若定义域为D的函数 使得 是定义域为D的严格增函数，则称 是一个“T函 数”． (1)分别判断 ， 是否为T函数，并说明理由； (2)已知常数 ，若定义在 上的函数 是T函数，证明： ； (3)已知T函数 的定义域为 ，不等式 的解集为 ．证明： 在 上严格增． 【解析】（1） ，定义域为 ，则 是在 上严格单调递增函数，则 是“T 函数”； ，定义域为 ，则 不是在 上严格单调递增函数，则 不是“T函数”； （2）定义在 上的函数 是T函数，则 在 上严格单调递增， 设 ，则 ， 故 在 上单调递增，故 ， 即 ， （3）T函数 的定义域为 ，故 在 上严格单调递增， ，设 ，则 ， 当 时， ，函数单调递减； 当 时， ，函数单调递增，故 ， 即 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 恒成立，则 恒成立， 故 ， 若存在 ，使 ，则当 时， ， 这与 ， 矛盾，故不存在 使 ，故 恒成立， 故 在 上严格增. 四、跟踪检测 1. 函数 满足 （ 为自然数的底数），且当 时，都有 （ 为 的导数），比较 的大小 . 【解析】由 可得 ， 故设 ，则 ， 故函数 关于直线 对称， 由于当 时， ， 递增， 故当 时， 递减， 由于 ，故 . 2.设函数 在R上可导，其导函数为 ，且 ．求证： . 【解析】依题意，令函数 ，则 ， 因 ，于是得 时 ， 时 ， 从而有 在 上单调递减，在 上单调递增， 因此得： ，而 ，即f(x)不恒为0， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 恒成立. 3. 定义在 上的函数 有不等式 恒成立，其中 为函数 的导函数，求证： . 【解析】 ，即 ，因为 定义在 上， ，令 则 ， ， 则函数 在 上单调递增. 由 得， 即， ； 同理令 ， ， 则函数 在 上单调递减. 由 得， ，即 . 综上， . 4．已知 为定义域 上函数 的导函数，且 ， ， 且 ，求不等式 的解集 【解析】由 ，整理可得 ，则函数 关于成中心对称， 所以 关于直线 成轴对称， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，由 ，则 ， 由函数 的导数为 ， 则函数 在 上单调递增，易知在 上单调递减， 当 时， ；当 时， ， 所以不等式 的解集为 ， 5.定义在区间 上函数 使不等式 恒成立，（ 为 的导数），求 的取值范围. 【答案】 【解析】令 ， 则 ， 因为 ，即 ， 所以 在 恒成立， 即 在 上单调递减， 可得 ，即 ， 由 ，可得 ，则 ； 令 ， ， 因为 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ， 即 ，则 ， 即有 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.设 是定义在 上的奇函数.若 是严格减函数，则称 为“ 函数”. (1)分别判断 和 是否为 函数，并说明理由； (2)若 是 函数，求正数 的取值范围； (3)已知奇函数 及其导函数 定义域均为 .判断“ 在 上严格减”是“ 为 函数”的什么条件，并说明理由. 【解析】（1）设 ， 所以 ， 所以 和 均为定义在 上的奇函数. 当 时，函数 严格减，故 是 函数. 而当 和 时， ，故 不是 函数. （2） ， 设 ，定义域为 ， ， 所以 是定义在 上的奇函数. 当 时， 不是 函数，下设 . 当 时，令 ， 则 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】再设 ，则 . 设 ， 所以当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，即 恒成立， 所以当 时， ， 所以当 时， ；当 时， . 因为 ，所以当 时， 当 时， ，即 恒成立，则函数 严格单调递增， 当 时， ，即 恒成立，则函数 严格单调递减， 所以正数 的取值范围是 . （3）证：函数 是定义在 上的奇函数， 且 在 上严格减，故为 函数. 但当 或 时 取值相等， 从而不是 上严格减的函数. 故“ 在 上严格减”不是“ 为 函数”的必要条件. 下证“ 在 上严格减”是“ 为 函数”的充分条件. 对任意 ，定义 . 则由 得 ，且由 严格减得, 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 故当 时， ，即 . 现任取 ，考虑 . 则 ，且当 时， . 由关于函数 的讨论知，此时 . 故当 时， ， 即：对任意 ， . 移项得 ，故 在 上严格减， 即 为 函数. 综上，“ 在 上严格减”是“ 为 函数”的充分非必要条件. 7.设 是定义在 上且满足下列条件的函数 构成的集合： ①方程 有实数解； ②函数 的导数 满足 ． （1）试判断函数 是否集合 的元素，并说明理由； （2）若集合 中的元素 具有下面的性质：对于任意的区间 ，都存在 ，使得等式 成立，证明：方程 有唯一实数解． （3）设 是方程 的实数解，求证：对于函数 任意的 ，当 ， 时，有 ． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）函数 是集合 中的元素．理由如下： ①方程 ，即 ． 显然 是方程 的实数解，因此，方程 有实数解. ②由于 ，又 ，即 ，所以 . 综上，函数 是集合 中的元素. （2）（反证法）由条件①知方程 有实数解. 假设方程 有两个不相等的实数解 ， ，不妨设 ，则 ， . 由函数 的性质知，存在 ，使得 ， 即 ． 又由条件②知 ，所以 ，即 ，这与 矛盾． 因此，方程 有唯一实数解. （3）对任意的 ，当 且 时， 不妨设 ，则 ． 因为 ，所以 在 上是增函数，所以 . 令 ，则 ，所以 是 上的减函数， 所以 ，即 ， 所以 . 因此，对任意的 ，当 ，且 时，有 ． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】