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第二章 有理数及其运算
2.3 绝对值
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·黑龙江大庆·期中）如果 ，则a的值为 （ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】C
【分析】根据题意，结合绝对值的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即a是非正数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的知识，解题的关键是理解并掌握绝对值和不等式的性质．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习） 的相反数的绝对值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据相反数的定义和绝对值意义求解即可得到．
【详解】 的相反数是 ， 的绝对值是 ．
故选：D
【点睛】此题考查了相反数的定义和绝对值的意义，解题的关键是熟记相反数的定义和绝对值的意义．
3．（2020·海南省直辖县级单位·七年级期中）若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质列式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了绝对值，明确 是解答本题的关键．
4．（2020·河南·洛阳市实验中学七年级阶段练习）下列说法中正确的有（ ）
（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；
（2）符号相反的数互为相反数；
（3）正数、负数和零统称为有理数；
（4）一个有理数的绝对值必为正数；
（5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，可判断（1）（4）；根据相反数的意义，可判断（2）；根据有理数的意义，
可判断（3）；根据有理数与数轴的关系，可判断（5）．
【详解】解：（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远是正确的；
（2）只有符号相反的数互为相反数，原来的说法是错误的；
（3）正有理数、负有理数和零统称为有理数，原来的说法是错误的；
（4）一个有理数的绝对值必为非负数，原来的说法是错误的；
（5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示是正确的．
故说法中正确的有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数，任何数的绝对值都是非负数．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）如图， ， 是有理数，它们在数轴上的对应点的位
置如图所示，把 ， ， ， 按照从大到小的顺序排列，正确的是( )A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】在数轴上表示出-a，-b，根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案．
【详解】解：如图，
∴b＞-a＞a＞-b，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）下列说法：①如果一个数的绝对值是它的相反数，那么
这个数一定是负数；②任何有理数的绝对值都不小于它本身；③一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个
数的点离原点越远；④如果 与 的绝对值相等，那么 与 相等．正确的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据相反数的定义和绝对值的意义即可解答．
【详解】如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数一定是负数， 故说法错误，不符合题意；
任何有理数的绝对值都不小于它本身， 故说法正确，符合题意；
一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远，故说法正确，符合题意；
如果 与 的绝对值相等，那么 与 相等，故说法错误，不符合题意．
正确的个数有2个
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值的意义和相反数的定义，解题的关键是熟悉相关概念并且会应用．
二、填空题
7．（2022·福建省泉州市培元中学七年级期中） _________．
【答案】2
【分析】根据去绝对值的法则即可求解．
【详解】解： 2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，正确理解绝对值的性质是解本题的关键．
8．（2021·河南南阳·七年级期中）已知 ，则 等于______．
【答案】
【分析】根据绝对值的定义，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值的定义，解本题的关键在熟练掌握绝对值的定义．数轴上，表示数a的点到原
点的距离，即 ．
9．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）用“ ”，“ ”，“ ”填空： _________ ．
【答案】
【分析】对于负分数之间的比较，应该先比较该分数绝对值的大小，再比较负分数的大小，负分数的绝对
值越大，负分数越小．
【详解】∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查有理数大小的比较，对于负分数之间的比较，负分数的绝对值越大，负分数越小．
10．（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）若 、 互为相反数，则 ______ ．
【答案】5
【分析】根据互为相反数的两个数的和为 ，可得 的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】解： 、 互为相反数，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值，先算 的值，再算绝对值．
三、解答题
11．（2022·云南昭通·七年级期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)-10
(2)
【分析】（1）利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简即可得出答案；
（2）先计算乘法，绝对值与二次根式，后计算加减即可．
（1）
原式 ；
（2）
原式
【点睛】本题考查实数的混合运算中立方根的性质，二次根式的性质，平方，确定准确的运算顺序是关键．
12．（2021·湖北宜昌·七年级期中）将下面的数轴画完整，并在数轴上表示下列各数：0，﹣（﹣1），
，|﹣2.5|，最后用“＜”将这些数连接起来．
【答案】图见解析，【分析】先将 和 化简，再把各点依次在数轴上表示出来，其中正数在0右侧，负数在0左侧，
绝对值的大小为到0点的距离．
【详解】解： ， ，
数轴如下图所示：
数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，
因此 ．
【点睛】本题考查用数轴表示有理数、去绝对值及有理数的大小比较，能够用数轴上的点表示出有理数是
解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）式子|x-1|+|x﹣2|+|x-3|+|x﹣4|+|x-5|+|x﹣6|+|x-7|+|x﹣8|+|x-9|+|x﹣10|的
最小值是_________．
【答案】25
【分析】观察已知条件可以发现，|x−a|表示x到a的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小
数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．
【详解】解：由题意可得：当x位于5、6之间，即 时，代数式|x-1|+|x﹣2|+|x-3|+|x﹣4|+|x-5|+|x﹣6|
+|x-7|+|x﹣8|+|x-9|+|x﹣10|的值最小，则最小值为：
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质及数形结合求最值问题，掌握|x−a|表示x到a的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出x的值．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校期中）已知数轴上A、B两点表示的数互为相反数，并且两点间
的距离是18，在A、B之间有一点P，若P到A的距离是P到B的距离的 ，则P点表示的数是
___________．
【答案】
【分析】直接利用相反数的意义得出A，B表示的数，再利用P到A的距离是P到B的距离的 得出PA的
长度，然后分情况求解即可．
【详解】解：∵数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是18，
∴A表示−9，B表示9或A表示9，B表示−9，
∵在A、B之间有一点P，P到A的距离是P到B的距离的 ，
∴PA＝6，PB＝12，
∴当A表示−9时，点P表示的数是－9＋6＝－3，
当A表示9时，点P表示的数是9－6＝3，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了数轴以及相反数的意义，正确得出点A，B的位置是解题关键．
3．（2022·四川广元·七年级期末）已知有理数 ，则化简 的结果是_______．
【答案】
【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去
掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可．
【详解】∵a < - 1，
∴a + 1< 0，1- a > 0，
∴
= (- a -1) + (1- a)
= - a -1+1- a
= -2a，
故答案为： -2a．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·江苏·七年级专题练习）设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为 __．
【答案】6
【分析】|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和，所以当x在﹣1和1之间
时，它们的距离之和最小，继而即可求解．
【详解】解：设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c=|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以
及到1的距离的2倍之和，
所以当x在﹣1和1之间时，它们的距离之和最小，
此时a+2b+c＝6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，将原式转化为 到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和是
解题的关键．
5．（2021·广西南宁·七年级期中）已知 ， ， 都是不等于0的有理数，且 的最大值是 ，最
小值是 ，则 ______．
【答案】0
【分析】）当a，b，c为正数时， 有最大值3，当a，b，c为负数时， 有最小值-3，
求得m、n值，从而可求解．
【详解】解：当a，b，c为正数时， 有最大值是3,
∴m=3，
当a，b，c为负数时， 的最小值是-3，
∴n=-3．
∴m+n=3-3=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是分两种情况讨论．
二、解答题
6．（2020·河南省洛阳市第二十三中学七年级阶段练习）已知a，b在数轴上对应的点如图示．化简：|a|＋|
a＋b|﹣|a﹣b|﹣|b﹣a|．【答案】﹣3b
【分析】首先根据图示，可得a＜0，a＋b＜0，b﹣a＞0，a﹣b＜0，然后根据整数的加减的运算方法，求
出算式的值是多少即可．
【详解】解：根据图示，可得a＜﹣b＜0＜b＜﹣a；
∴a＜0，a＋b＜0，a﹣b＜0，b﹣a＞0，
∴|a|＝﹣a，|a＋b|＝﹣（a＋b），|a﹣b|＝﹣(a﹣b），|b﹣a|＝b﹣a，
∴|a|+|a＋b|﹣|a﹣b|﹣|b﹣a|
＝﹣a﹣a﹣b+a﹣b﹣b＋a
＝﹣3b．
【点睛】此题考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数
总比左边的数大．还考查了整式的加减运算，解答此类问题的关键是要明确整式的加减的实质就是去括号、
合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
7．（2022·江西·赣州市南康区教学研究室七年级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0， 0．
(2)化简： ．
【答案】(1)＜，＞，＞
(2)
【分析】（1）当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大，据此逐个判断即可；
（2）根据绝对值的含义和求法，化简 即可．
（1）解：由图可得 ， ， ，∴b﹣c＜0，a+b+3＞0， ＞0；
（2）解：由（1）可得 ， ， ，又∵ ，∴ ，， ，∴原式
．
【点睛】此题主要考查了有理数比较大小的方法、绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解决此题的关键是：
当数轴方向向右时，右边的数总比左边的数大．
8．（2021·四川成都·七年级期中）a，b，c在数轴上的位置如图所示：
(1)求 _______
(2) 、 、c在数轴上的位置如图所示，则：化简： ；
(3)求 的最大值，并求出此时x的范围．
【答案】(1)-1
(2)
(3)b-a，x≥b
【分析】（1）根据数轴上的位置可得a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；
（2）根据a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；
（3）分x＜a，a≤x≤b，x＞b三种情况进行讨论，综合讨论结果可得．
(1)
解：由数轴可知：a＜b＜0＜c，
；
(2)
∵a＜b＜0＜c，
∴
=
=(3)
当x＜a时，
= = ＜0，
当a≤x≤b时，
= = ，
∴ ，
当x＞b时，
= = ＞0，
综上： 的最大值为 ，
此时x的范围是：x≥b．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，数轴，解题的关键是能根据绝对值的性质化简式子，同时更好的理解
题意，将困难的问题分开讨论．
