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专题 24.18 证明切线几种常用方法（6 种方法 3 类题型）（方法梳理
与题型分类讲解）
第一部分【模型梳理与题型目录】
【知识点1】证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证
明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”
2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆
心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
【知识点2】证明切线的类型与方法
类型一、有公共点：连半径，证垂直
【方法1】特殊角计算法证垂直..................................................1;
【方法2】平行线性质法证垂直..................................................6;
【方法3】等角代换法证垂直...................................................11;
【方法4】全等三角形法证垂直.................................................14;
类型二、无公共点：做垂直，证半径
【方法5】角平分线的性质法证半径..............................................18;
【方法6】全等三角形法证半径.........................................................23;
类型三、拓展延伸
【直通中考】........................................................................26；
【拓展延伸】........................................................................29.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】有公共点：连半径，证垂直（特殊角计算法证垂直）
【例1】（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在等腰 中， ，过点 作
交 于点 ，
(1)尺规作图：作 的外接圆 （保留痕迹，不要求写作法）；(2)在（1）所作的图形中，求证： 是 的切线．
【分析】此题考查了尺规作图，切线的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆的相关性质及垂
直平分线的尺规作图方法．
（1）作 的垂直平分线 交 于点 ，以点 为圆心， 的长为半径作圆， 即为所求；
（2）连接 ，由 可得 ， 是 的直径， 是 的半径，根据
， ，可得 ， ，即可求解．
（1）解：作 的垂直平分线 交 于点 ，以点 为圆心， 的长为半径作圆，如图， 即为
所求；
（2）证明：连接 ，
，
，
是 的直径，
是 的半径，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，是 的切线．
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）如图，已知 是 的直径，弦 交 于M，过点C的直线交
延长线于点P，若 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解； (2)
【分析】(1)连接 ， ，根据等腰三角形的性质得到 ，得到 ，
得到 ，求得 ，根据切线的判定定理得到结论．
(2)根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，得到
，根据等边三角形的判定以及性质得出 ，根据等腰
直角三角形的性质得到 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论，
（1）证明∶连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
即 ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积： ．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判
定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式2】（2024·西藏日喀则·一模）如图， 是 的外接圆， 且
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径长．【答案】(1)详见解析； (2) 的半径为2
【分析】此题考查圆周角定理、切线的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定
理和切线的判定是解题的关键．
（1）连接 ．利用圆周角定理得到 ，再求出 ，即可得到结论；
（2）连接 ．求出 ． 证明 ．则 ．进一步得到
．即可得到答案．
（1）证明∶ 连接 ．
∵
∵
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解∶ 连接 ．由(1)证可得， ．
∵ 为直径，
∴ ．
∴
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴
即 的半径为2．
【题型2】有公共点：连半径，证垂直(平行线性质法证垂直)
【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点C在以 为直径的 上， 平分 交
于点D，过点D作 的垂线，垂足为E．
(1)求证： 与 相切；
(2)请探究线段 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析； (2) ，见解析
【分析】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定与性质，等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）连接 ，先证 ，再根据 ，可得 ，即可得证结论．
（2）过点 作 于 ，根据 证 ，再根据 证 ，再利用等
量代换即可得出 ．
（1）证明：连接 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
为 的半径，
与 相切；
（2）解： ，理由如下：
过 作 于 ，则 ，
平分 ， ， ，
， ，
在 与 中，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
．
【变式1】（24-25九年级上·全国·期中）如图， 为 直径，点 为 上一点， 平分 ，
，垂足为 ， 交 于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的直径．
【答案】(1)见解析 (2) 的直径长为20．
【分析】（1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出 ，利用平行线的性质判定可得
出 ，利用平行线的性质可得出 ，然后利用切线的判定即可得证；
（2）作 于点I，由垂径定理得 ，再证明四边形 是矩形，得 ，，则 ，由勾股定理得 ，求得 ，即可求
的直径．
（1）证明：连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又 是 的半径；
∴直线 是 的切线；
（2）解：作 于点I，则 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ 的直径长为20．
【点拨】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的
性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 为 的直径，C为 上一点， 和过
点C的直线互相垂直，垂足为D， 平分 ．
(1)求证：直线 与 相切；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析； (2)2
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理,正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连结 ，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可证明 ，再根据圆的切线的判定定理
即可证明结论；
（2）连结 ，根据直角三角形的性质可得 ，设 ，则 ，根据勾股定理列方程，
即可求解答案．
（1）证明：连结 ，
，
，
平分 ，，
，
，
，
，
，
又 是半径，
直线 与 相切；
（2）连结 ，
是直径，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
，
解得 ， （舍去）
， 的半径为2．
【题型3】有公共点：连半径，证垂直（等角代换法证垂直）
【例3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图， 为 的直径， 交 于点C，D为
上一点，延长 交 于点E，延长 至F，使 ，连接 ．(1)求证： 为 的切线；
(2)若 且 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析 (2) 的半径为3
【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
（1）连接 ，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设 的半径 ，则 ， ，在 中，由勾股定理
得得出方程求解即可．
（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 是半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：设 的半径 ，则 ，∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
解得 ，或 （舍去），
∴ 的半径为3．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径，点 为 外一点，连接 交
于点 ，连接 并延长交线段 于点 ， ．求证： 与 相切．
【分析】本题主要考查切线的判定．由题意易得 ， ，
，进而根据角的等量关系可进行求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切．
【变式2】（22-23九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，AB是 的直径， 是弦，D是 的中点，
CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且 ．
(1)求证：CF为 的切线；(2)连接BD．若 ， ，求BD的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
（1）如图，连接 ， ，证明 即可；
（2）设 ，则 ，在 中， ，可得 ，再根据勾股
定理可解决问题；
熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
（1）如图，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是半径，∴ 是 的切线；
（2）设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【题型4】有公共点：连半径，证垂直（全等三角形法证垂直）
【例4】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 为 的切线， 为切点，过点 作 ，
垂足为点 ，交 于点 ，延长 与 的延长线交于点 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ．由切线的
性质得出 ，则 ，可得出结论；
（2）由勾股定理求出 的长，设 ，则 ，得出方程 ，解方程可得x，即可得出答案．
（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定
理等知识，证明 是解题的关键．
【变式1】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形 是平行四边形，以点O为圆心， 为半径
的 交 于点D，交 于点E，延长 交☉O于点F，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线，求证： 也是 的切线．
【分析】本题考查平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，切线的判定
等：
（1）根据平行线的性质证明 ， ，根据 得出 ，等
量代换得出 ，即可证明 ；
（2）由切线的定义可知 ，再证 ，推出 ，即可证明
也是 的切线．
（1）证明：如图，连接 ， ，四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
；
（2）证明： 是 的切线，
；
由（1）得 ，即 ，
在 和 中，
，
，
，
又 点D在 上，
是 的切线．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线
交 的延长线于点C，过点O作 交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径及 的长．【答案】(1)见详解
(2) 的半径为3； 的长为6
【分析】（1）由切线的性质可得 ，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得 平方 ，
从而可得 ，进而可证 ，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设 的半径为r，在 中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得 ，
最后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）证明： 与 相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为 的半径，
直线 是 的切线；
（2）设 的半径为r，
在 中， ，
，，
，
，
由（1）得 ，
，
在 中， ，
，
解得 ．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形
的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
【题型5】无公共点：做垂直，证半径（角平分线的性质法证半径）
【例5】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图， 为正方形 对角线 上一点，以 为圆
心， 长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证∶ 与 相切；
(2)若正方形 的边长为4，求 的半径．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）过 作 于 ，连接 ，由正方形的性质结合已知条件可得出
，由三角形内角和可得出 ，进一步即可证明 与
相切；
（2）由（1）易知 为等腰直角三角形， 为半径，设 ，由勾股定理可得出 ，
进而可得出 ，再由勾股定理可得出 ，由正方形的性质可得出 ，求出，进而列出等式计算即可．
（1）证明∶过 作 于 ，连接 ，
与 相切于点 ，
，
四边形 为正方形，
，
，
又 为正方形 对角线，
，
∴ ，
，
与 相切；
（2）解∶由（1）易知 为等腰直角三角形， 为半径，
设 ，
∴
，
在 中， ，
∴ ，
，
．
，，
的半径为 .
【点拨】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以
及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
【变式1】（2024·广西南宁·模拟预测）如图， 是等腰直角三角形， ，O为 的中点，
连接 交 于点E， 与 相切于点D．
（1）求证： 是 的切线；
（2）延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了判定直线是圆的切线的判定、切线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理
等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，过点O作 于点P，根据等腰三角形的性质得到 ，推出
，即可证明结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出 的长，勾股定理求出 ，如图：连接 ，过点O作
于点H，根据等面积法可得 ，勾股定理求出 ，最后根据等腰三角形的性
质求解即可．
（1）证明：连接 ，过点O作 于点P，∵ 与 相切于点D，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，O为 的中点，
∴ ，
∴ ，即 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵O为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
如图：连接 ，过点O作 于点H，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ .
【变式2】（2024·江西吉安·模拟预测）如图，在同心 ，大 的直径 交小 于 、 ，大
的两弦 、 交于 ，且 ， ，弦 与小 切于 ，过 作 于
．小 的半径为 ．
（1） 的长为__________；
（2）试问弦 与小 是什么位置关系？请证明你的结论；
【答案】(1) (2)相切，证明见解析 【分析】（1）根据切线的性质得 ，证明四边形
是矩形，即得得解；
（1）解：连接 ，
∵弦 与小 切于 ，小 的半径为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为： ；
（2）相切．证明：过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与小 相切；
【点拨】本题考查切线的判定与性质，矩形的判定与性质，弦、弧、弦心距和圆周角的关系，垂径定理，
勾股定理及锐角三角函数的定义等知识点．掌握圆的基本性质、勾股定理及锐角三角函数的定义是解题
的关键．
【题型6】无公共点：做垂直，证半径（全等三角形法证半径）
【例6】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心， 长为
半径作圆，与 相切于点C，过点A作 交 的延长线于点D，且 ．
求证： 为 的切线；
【分析】本题主要考查切线的判定和性质，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质，熟练掌握切
线的判定是解题的关键．
过点O作 于点E，根据题意证明 ，再证明 ，根据切线的判
定定理即可得到结论；
证明：过点O作 于点E，
于点D，
，
，，
，
又 为 的切线，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， 是半径，
是 的切线；
【变式1】（2024·广西南宁·二模）如图， 是 的直径， 和 分别是 的切线， 平分
，且与 交于点E，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，由切线的性质得出 ，于是有 ，根
据角平分线的定义得出 ，于是利用 证得 和 全等，得出 ，于是
问题得证；
（2）过点 作 于点 ，根据切线长定理得出 ，再证四边形 是矩
形，得出 ，在 中求出 的度数、 的长，即可求出 的长，
的度数，于是得出 为等边三角形，问题即可得解．
（1）证明：如图1，过点 作 于点 ，
，
是 的切线， 是 的直径，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
又∵ 为半径， ，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图2，过点 作 于点 ，由（1）知 是 的切线，
∵ 和 分别是 的切线，
，
，
，
，
，
，
都是 的切线，
，
，
∴四边形 是矩形，
，
，
在 中， ，
，
由勾股定理得， ，
，
，
平分 ，
，
，，
∴ 是等边三角形，
．
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，
角平分线的定义，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，需熟练掌握．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）如图， 为 的直径，如果圆上的点 恰使 ，求
证：直线 与 相切．
【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出 ，则 ，再由切线的判定即
可得出结论．
证明：如图，连接 ，
，
，
为 的直径，
，
，
，
，
即 ，
，
是 的半径，
直线 与 相切．【点拨】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌
握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
【例2】．（2023·湖北恩施·中考真题）如图， 是等腰直角三角形， ，点O为 的
中点，连接 交 于点E， 与 相切于点D．
（1）求证： 是 的切线；
（2）延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）连接 ，过点O作 于点P，根据等腰三角形的性质得到 ，
推出 ，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出 ， 的长，勾股定理求出 ，连接 ，过O作
于点H，利用面积法求出 ，勾股定理求出 ，即可根据等腰三角形的性质求出 的长．
（1）证明：连接 ，过点O作 于点P，∵ 与 相切于点D．
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，点O为 的中点，
∴ ，
∴ ，即 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵点O为 的中点，
∴ ，
∵
∴ ，
在 中，
连接 ，过O作 于点H，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，D是
的中点， 交 的延长线于点E．
（1）求证：直线 与 相切；
（2）若 的直径是10， ，求 的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵
活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）如图：连接 ，先利用垂径定理得到 ，再根据平行线的性质得到 ，然后根据
切线的判定方法即可证明结论；
（2）先根据圆周角定理得到 ，则 ，再根据平行线的性质得到 ，则可判断
为等腰直角三角形，于是可求出 ，然后计算 即可．
（1）证明：如答图，连接 ，∵D是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ 是 的半径，
∴直线 与 相切．
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【例2】（2023·云南楚雄·模拟预测）如图，已知直线 交 于A、 两点， 是 的直径，点
为 上一点，且 平分 ，过 作CD⊥PA，垂足为 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的直径 的长．【答案】(1)见解析； (2) ，
【分析】（1）如图：连接 ，根据 推出 ，根据角平分线得出
，推出 ，得出 ，根据切线的判定定理即可解答；
（2）如图：过 作 于 ，得出矩形 ，推出 ， ，求出 的长，
利用勾股定理求出 的长，设圆的半径为 ，则 ，再根据勾股定理列方程，求出 的值即
可求出 的半径，从而求出 的直径的 ．
（1）证明：如图：连接 ．
，
．
平分 ，
，
，
．
，
，即 ，点 在 上，是 的切线．
（2）解：过 作 于 即 ，
，
四边形 是矩形，
， ．
， ，
，
设圆的半径为 ，则 ，
在 中， ，根据勾股定理得： ．
，解得： ，
的半径是 ，
的直径的 ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定
等知识点，灵活运用相关知识以及方程思想成为解题的关键．
