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2.2.2立方根-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2021八上·王益期末）下列计算正确的是（ ）
A．√9=±3 B．√3−8=2 C．(√5) 2=√5 D．√22=2
2．（2024八上·叶县期末）下列说法中，正确的是 （ ）
1 1 1 1
①−64的立方根是−4 ； ②√49的平方根是±7；③ 立方根是± ；④ 算术平方根 ．
27 3 16 4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√ 1
3．（2025八上·成都期末）3 的值等于（ ）
64
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
4 4 8 8
4．下列语句正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
5．（2024八上·衡阳期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．2√2 B．2 C．√2 D．±√2
6．（2021八上·薛城期中）已知x为实数，且 √3 x−3 ﹣ √32x+1 ＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为
（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
7．（2021八上·六盘水月考）化简计算√64﹣√364的结果是（ ）
A．12 B．4 C．﹣4 D．﹣12
8．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册 第11章 数的开方 单元检测b卷）如果 √323.7=2.872 ，
√323700=28.72 ，则 √30.0237= （ ）
A．0.2872 B．28.72 C．2.872 D．0.02872
二、填空题
1 / 149．（2016八上·平谷期末）计算： √3−8 = ．
10．（2016八上·芦溪期中）已知一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，则这个数的立方根
．
√5
11．（2024八上·吉安期中）−64的立方根为 ，√16的平方根为 ，− 的倒数为
5
．
12．（2022八上·兴平期中）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有
x※ y=√x+ y+√3 xy+1，则7※9的值为 ．
13．（2024八上·石家庄期中）若√3x−2+√2y−6=0，则−4xy的立方根为 ．
14．（2023八上·仁寿期中）已知a+1的平方根是±2，2a+b−2的立方根是2，则a2 +b2的算术平方
❑ ❑
根是
三、解答题
15．（2023八上·昌平期中）已知3a+1的平方根是±4，2a+b−5的算术平方根是3.
（1）求a，b的值；
（2）求5b+a+2的立方根.
16．（2024八上·朝阳期末）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的
三大不可思议．如图是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为64cm3．
（1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长．
（2）若图中的四边形ABCD是一个正方形，则该正方形的边长为_____．
17．（2024八上·四川期中）已知4a−7的立方根与a+2的立方根互为相反数，−2a+b+3的算术平方
根是2，√13的整数部分为c．求a+b+c的平方根．
18．（2024八上·万州期末）已知x+2y是9的算术平方根，3x−y+2是−27的立方根.
（1）求2x+5 y+8的平方根；
（2）求20233−x÷2023y+1的值.
19．（2023八上·从江月考）对于结论：当a+b=0时，a3+b3=0也成立.若将a看成a3的立方根，b看成
b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数.”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若√3 8- y和√32y-5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根.
2 / 14四、实践探究题
20．（2023八上·萧县期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x … 0.064 0.64 64 6400 64000 …
√x … 0.25298 0.8 8 m 252.98 …
√3 x … n 0.8618 4 18.566 40 …
（1）表格中的m＝ ，n＝ ．
（2）从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，
它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：
．
（3）若√a≈14.142⋅√3700≈b，求a+b的值．（参考数据：
√2≈1.4142，√20≈4.4721，√37≈1.9129，√30.7≈0.8879）
21．（2023八上·长沙开学考）新定义：若无理数√T的被开方数T（T为正整数）满足n2<T<(n+1) 2
（其中n为正整数），则称无理数√T的“青一区间”为(n，n+1)；同理规定无理数−√T的“青一
区间”为(−n−1，−n)．例如：因为12<2<22，所以1<√2<2，所以√2的“青一区间”为(1，2)，
−√2的“青一区间”为(−2，−1)．请解答下列问题：
（1）√17的“青一区间”是 ；−√23的“青一区间”是 ；
（2）若无理数−√a（a为正整数）的“青一区间”为(−3，−2)，√a+3的“青一区间”为
(3，4)，求√3 a+1的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：√2x+3 y−m+√3x+4 y−2m=√x+ y−2023+√2023−x−y，
求m的算术平方根的“青一区间”．
五、综合题
22．（2021八上·六盘水月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成
b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若√32x−8与√3−x−28互为相反数，求√x﹣6的值．
23．（2020八上·长子期末）
（1）填空：√0.0001 ＝0.01，√0.01＝ ，√1＝1，√100＝10，√10000＝
，…
（2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
①已知√10 ≈3.16，则√1000 ≈ ；
②已知√3.68 ≈1.918，√a ≈191.8，则a＝ ．
3 / 14（3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知√32 ≈1.26，√3 m≈12.6，则m＝ ．
4 / 14答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、∵√9=3 ，∴选项A错误；
B、∵√3−8=−2 ，∴选项B错误；
C、 ∵(√5)
2=5
，∴选项C错误；
D、∵√22=√4=2 ，∴选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根、立方根以及实数的平方的计算方法，逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵(-4)3=-64，∴−64的立方根是−4，故①正确；
∵√49=7，7的平方根是±√7，∴√49的平方根是±√7， 故②错误；
(1) 3 1 1 1
∵ = ，∴ 立方根是 ，故③错误；
3 27 27 3
(1) 2 1 1 1
∵ = ，∴ 算术平方根 ，故④正确，
4 16 16 4
综上，正确的有①④，共2个.
故答案为：B．
【分析】若果一个数x3=a，则x就是a的立方根，据此可判断①③；如果一个正数x2=a，则x就是a
的算术平方根，据此可判断④；
先根据√a2=|a|化简√49 =7，再根据如果一个数x2=a，则x就是a的平方根可判断②.
3．【答案】B
【知识点】开立方（求立方根）
(1) 3 1
【解析】【解答】解：∵ = ，
4 64
√ 1 1
∴ 3 = ，
64 4
5 / 14√ 1 1
则3 的值等于 ，
64 4
故答案为：B．
【分析】如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根，据此求解即可.
4．【答案】D
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或﹣1，故
错误；
B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0；
C、负数有立方根，故错误；
D、正确；
故选：D．
【分析】根据立方根，一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或﹣1，即可解答．
5．【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：∵输入的x为64，
∴√364=4，
∴√4=2，
∵2是有理数，
∴2的算术平方根是√2，√2是无理数，
则输出的y是√2，
故选：C．
【分析】本题考查程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根.先根据程序得
出√3 x，据此可得：√364=4，再求它的算术平方根可得：√4=2，接着判断是否为无理数，是就输出
结果，否则就继续算它的算术平方根，进而可得2是有理数，2的算术平方根是√2，√2是无理数，
进而可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵√3 x−3 ﹣ √32x+1 ＝0，
∴√3 x−3=√32x+1 ．
∴x﹣3＝2x+1．
6 / 14∴x＝﹣4．
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．
∴x2+x﹣3的算术平方根为 √9=3 ．
故答案为：A．
【分析】根据立方根的性质及√3 x−3 ﹣ √32x+1 ＝0，可得x﹣3＝2x+1，求出x的值，再将x的值
代入 x2＋x﹣3 ，再根据算术平方根的性质求解即可。
7．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：√64−√364=8−4=4，
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根以及立方根的概念可得原式=8-4，然后根据有理数的减法法则进行计算.
8．【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：一个正数的立方根，被开方数扩大(或缩小)1000倍，立方根扩大(或缩小)10倍，
据此可推出选项A符合题意。
【分析】根据一个正数的立方根，被开方数扩大(或缩小)n倍，立方根扩大(或缩小)√3 n倍，据此可解
答。
9．【答案】﹣2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： √3−8 =﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】根据立方根的定义，一个数的立方等于-8，则这个数就是-8的立方根。
10．【答案】4
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，
∴2a+4+a+14=0．
解得：a=﹣6．
∴a+14=﹣6+14=8．
∴这个正数为64．
64的立方根是4．
故答案为：4．
7 / 14【分析】先依据一个正数的两个平方根互为相反数求得a的值，然后可得到这个正数的平方根，于
是可求得这个正数，最后求它的立方根即可．
11．【答案】−4；±2；−√5
【知识点】有理数的倒数；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵(−4) 3=−64，
∴−64的立方根为−4，
√16=4的平方根为±2，
( √5)
∵−√5× − =1，
5
√5
∴− 的倒数是−√5，
5
故答案为：−4；±2；−√5．
【分析】本题考查立方根的定义、平方根的定义、倒数的定义．根据(−4) 3=−64，利用立方根的定
义可求出−64的立方根、√16=4，利用平方根的定义可求出√16=4的平方根；根据
( √5) √5
−√5× − =1，利用倒数的定义可求出− 的倒数.
5 5
12．【答案】8
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解： 7※9=√7+9+√37×9+1=√16+√364=4+4=8.
故答案为：8
【分析】利用定义运算法则： x※ y=√x+ y+√3 xy+1，先列式，再利用算术平方根和立方根的性
质，可求出结果.
13．【答案】−2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵√3x−2+√2y−6=0，且√3x−2≥0,√2y−6≥0，
∴3x−2=0，2y−6=0，
2
∴x= ,y=3，
3
8 / 142
∴−4xy=−4× ×3=−8，
3
∵−8的立方根是−2，
∴−4xy的立方根为−2，
故答案为：−2．
【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，已知字母的值求代数式的值.先利用算
术平方根的非负性可列出方程3x−2=0，2y−6=0，，解方程可求出x、y的值，再计算−4xy，
最后根据立方根的定义进行计算可求出答案．
14．【答案】5
【知识点】平方根的性质；求算术平方根；立方根的性质
【解析】【解答】解：∵a+1的平方根为±2，∴a+1=4，a=3，
∵2a+b-2的立方根为2，∴6+b-2=8，b=4，
∴a2+b2=9+16=25，25的算术平方根为5；
故答案为：5.
【分析】根据平方根、立方根的含义求出a和b，继而计算a2+b2的算术平方根即可。
15．【答案】（1）解：∵3a+1的平方根是±4，2a+b−5的算术平方根是3.
∴3a+1=16，2a+b−5=9.
∴a=5，b=4.
（2）解：5b+a+2=5×4+5+2，
=27
27的立方根是3，所以5b+a+2的立方根是3.
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据平方根、算术平方根的定义得出3a+1=16 ，2a+b-5=9，进而求出a、b
的值。
（2）求出5b+a+2的值，再根据立方根的定义进行计算即可。
16．【答案】（1）解：∵√364÷64=1(cm)，
∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为1cm.
（2）√10cm
【知识点】勾股定理；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（2）解：由勾股定理得BC=√12+32=√10(cm)，
9 / 14∴正方形ABCD的边长为√10cm，
故答案为：√10cm.
【分析】（1）先求出一个小正方体的体积，再求出棱长即可作答；
（2）利用勾股定理求出BC的值即可。
（1）解：√364÷64=1cm，
∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为1cm；
（2）解：由勾股定理得BC=√12+32=√10cm，
∴正方形ABCD的边长为√10cm，
故答案为：√10cm。
17．【答案】解：∵4a−7的立方根与a+2的立方根互为相反数，∴4a−7与a+2也互为相反数，
∴4a−7+a+2=0，
解得，a=1，
∵−2a+b+3的算术平方根是2，
∴−2a+b+3=4，
解得，b=3，
∵√13的整数部分为c，3<√13<4，
∴c=3，
∴a+b+c=1+3+3=7
∴a+b+c的平方根为±√7．
【知识点】相反数的意义与性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据题意可得4a−7+a+2=0，−2a+b+3=4，求出a，b的值，由√13的整数部
分可得c=3，然后代入求平方根即可．
18．【答案】（1）解：由题可得：
{ x+2y=3 {x=−1
，解得 ，
3x−y+2=−3 y=2
∴2x+5 y+8=2×(−1)+5×2+8=16，
∴2x+5 y+8的平方根是±4；
（2）解：20233−x÷2023y+1=20233−(−1)÷20232+1=20234−3=2023
【知识点】同底数幂的除法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的含义和求法．
{ x+2y=3
（1）先根据算术平方根的定义和立方根的定义可得方程组 ，进而求出x，y的值，
3x−y+2=−3
10 / 14据此可求出2x+5 y+8的值，根据平方根的定义可求出答案；
（2）把x、y的值代入后，再利用同底数幂的除法：同底数幂相除底数不变，指数相减可求出答案
19．【答案】（1）解：如√38+√3 -8=0，则8+(-8)=0，即8与-8互为相反数，
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立.
（2）解：因为√38- y和√32y-5互为相反数，
所以√38- y+√32y-5=0，
所以8-y+2y-5=0，解得y=-3.
因为x+5的平方根是它本身，
所以x+5=0，所以x=-5，
所以x+y=-5-3=-8，
所以x+y的立方根是-2.
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】（1）例子中的被开方数最好是一个整数的立方，比如1与-1，8与-8，27与-27.
（2）根据“ 如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数 ”这一结论转化为被开方
数互为相反数，求出y，平方根是它本身的数是0，可求出x，最后求x+y的立方根.
20．【答案】（1）80；0.4
（2）开立方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左
（或向右）移动一位
（3）解：根据平方根的变化规律得：
∵√2≈1.4142，
∴√200≈14.142，
即a＝200，
根据立方根的变化规律得：
∵√30.7≈0.8879，
∴√3700≈8.879，
即b＝8.879，
∴a+b＝200+8.879
＝208.879．
【知识点】探索数与式的规律；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】(1)解：√6400=80，则m=80；√30.064=0.4，则n=0.4；
11 / 14【分析】本题考查平方根、立方根的计算及规律，从表格的数据得出规律，是解题关键。（1）根据
算术平方根的意义和立方根的规律求解；（2）依照算术平方根的规律探索；（3）根据发现的规律
计算。
21．【答案】（1）(4，5)；(−5，−4)
（2）解：∵无理数−√a的“青一区间”为(−3，−2)，
∴2<√a<3，
∴22<a<32，即4<a<9，
∵√a+3的“青一区间”为(3，4)，
∴3<√a+3<4，
∴32<a+3<42，即9<a+3<16，
∴6<a<13，
∴6<a<9，
∵a为正整数，
∴a=7或a=8
当a=7时，√3 a+1=√37+1=√38=2，
当a=8时，√3 a+1=√38+1=√3 9，
∴√3 a+1的值为2或√3 9；
（3）解：∵√2x+3 y−m+√3x+4 y−2m=√x+ y−2023+√2023−x−y，
∴x+ y−2023≥0，2023−x−y≥0，
∴x+ y−2023=0，
∴x+ y=2023，
∴√2x+3 y−m+√3x+4 y−2m=0，
∴2x+3 y−m=0，3x+4 y−2m=0，
两式相减，得x+ y−m=0，
∴m=x+ y=2023，
∴m的算术平方根为√2023，
∵442<2023<452，
∴44<√2023<45，
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵42＜17＜52，42＜23＜52，
∴4＜√17＜5，4＜√23＜5，
12 / 14∴-5＜-√23＜-4，
∴√17的“青一区间”是（4，5）；−√23的“青一区间”是（-5，-4）；
故答案为：（4，5）；（-5，-4）；
【分析】（1）仿照题干中方法，根据定义求解即可；
（2）先根据无理数−√a和√a+3的“青一区间”求出a的范围，再求出正整数a的值，再代入
√3 a+1计算即可；
（3）先根据 x+ y−2023≥0，2023−x−y≥0， 得出x+ y=2023，进而得出 2x+3 y−m=0，
3x+4 y−2m=0， 两式相减可得m=x+ y=2023， 再根据“青一区间”的定义即可求解.
22．【答案】（1）解：∵2+(−2)=0，
而且23=8，(−2) 3=−8，有8−8=0，
∴结论成立；
∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．
（2）解：由（1）验证的结果知，若√32x−8与√3−x−28互为相反数，
则2x−8和−x−28也互为相反数，
即：2x−8−x−28=0，
∴x=36，
∴√x−6=6−6=0．
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）取a=2，b=-2，则a+b=0，a3+b3=0，结论成立；
（2）根据（1）的结论结合题意可得2x-8-x-28=0，求出x的值，然后代入√x-6中进行计算.
23．【答案】（1）0.1；100
（2）31.6；36800
（3）2000
【知识点】平方根；立方根及开立方；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）√0.01=0.1；√10000=100；
故答案为：0.1；100；
（2）①∵√1000=10√10，√10≈3.16，
∴√1000≈10×3.16=31.6；
故答案为：31.6；
②∵191.8=1.918×100，
∴√a=100√3.68=√36800，
13 / 14∴a=36800，
故答案为：36800；
（3）∵12.6=1.26×10，
∴√3 m=10√32=√32000，
∴m=2000，
故答案为：2000．
【分析】（1）根据算术平方根的意义直接求解即可；
（2）由（1）可得规律：当被开方数的小数点向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位，
据此即可求解；据此解答①②；
（3）当被开方数的小数点向右移动三位，立方根的小数点向右移动一位，据此即可求解；
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