文档内容
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
例题练习题答案
例1 【答案】A
练1.1 【答案】（1）是；（2）否；（3）是；（4）否；（5）否
例2 【答案】3x2 −8x−10 = 0，二次项系数3、一次项系数−8，常数项−10
练2.1 【答案】D
练2.2 【答案】D
例3 【答案】解：∵关于x的方程(a−3)x|a−1| +(a+1)x−3 = 0是一元二次方程
∴a−3 ≠ 0，|a−1| = 2
∴a = −1
练3.1 【答案】C
练3.2 【答案】1或−3
例4 【答案】解：（1）∵x2 = 25
∴x
1
= 5，x
2
= −5
（2）∵4x2 = 9
9
∴x2 =
4
3 3
∴x
1
= ，x
2
= −
2 2
2
（3）∵(x−1) = 3
– –
∴x−1 = √3或x−1 = −√3
– –
∴x
1
= 1+√3，x
2
= 1−√3
2
（4）∵(2x+3) = 49
∴2x+3 = 7或2x+3 = −7
∴x
1
= 2，x
2
= −5
练4.1 【答案】解：（1）∵x2 = 12
– –
∴x
1
= 2√3，x
2
= −2√3
1
（2）∵ x2 = 5
3
∴x2 = 15
−− −−
∴x
1
= √15，x
2
= −√15
1/87
2
1
（3）∵ x+ = 4
( 2)
1 1
∴x+ = 2或x+ = −2
2 2
3 5
∴x
1
= ，x
2
= −
2 2
2
1
（4）∵ x+3 = 16
(2 )
1 1
∴ x+3 = 4或 x+3 = −4
2 2
∴x
1
= 2，x
2
= −14
练4.2 【答案】D
【解析】移项得x2 = 2，
–
解得x=±√2．
例5
(1【) 答案】C
(2【) 答案】D
(3【) 答案】①∵x2 +2x = 0
∴x2 +2x+1 = 1即(x+1) 2 = 1
∴x+1 = 1或x+1 = −1
∴x
1
= 0,x
2
= −2
②∵x2 −4x−1 = 0
∴x2 −4x+4−1 = 4
2
∴(x−2) = 5
– –
∴x−2 = √5或x−2 = −√5
– –
∴x
1
= 2+√5,x
2
= 2−√5
1
③∵ x2 +2x−5 = 0
3
1
∴ (x2 +6x+9) −5−3 = 0
3
1
2
∴ (x+3) = 8
3
– –
∴x+3 = 2√6或x+3 = −2√6
– –
∴x
1
= −3+2√6,x
2
= −3−2√6
④∵3x2 −6x−15 = 0
∴3(x2 −2x+1) −15−3 = 0
2
∴3(x−1) = 18
– –
∴x−1 = √6或x−1 = −√6
2/87
– –
∴x
1
= 1+√6,x
2
= 1−√6
练5.1 【答案】B
【解析】x2 +4x = 3，
x2 +4x+4 = 7，
2
(x+2) = 7．
故选：B．
练5.2 【答案】D
【解析】方程移项得：x2 −6x = 10
配方得：x2 −6x+9 = 19，即（x−3） 2 = 19
故选D．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
2
【解析】−2(x−1) = x+3，
−2(x2 −2x+1) = x+3，
−2x2 +4x−2 = x+3，
−2x2 +4x−2−x−3 = 0，
−2x2 +3x−5 = 0，
2x2 −3x+5 = 0，
则b = −3，c = 5，
故选：B．
3 【答案】B
【解析】一元二次方程有②③，共2个，
故选：B．
4 【答案】C
a−1 ≠ 0
【解析】
由题意可知：
{|a|+1 = 2
3/87
∴a = −1
故选：C．
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】B
【解析】把选项变为一般式，故选B
8 【答案】D
9 【答案】A
【解析】公式法求根，可知选A
– –
√6 √6
10 【答案】
x
1
= 1+ ，x
2
= 1−
2 2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】D
【解析】x(x−9) = −3，
x2 −9x+3 = 0，
所以一次项系数、常数项分别为−9、3，
故选：D．
3 【答案】A
【解析】由(m−1)xm2
+1 −2x−m = 0是关于x的一元二次方程，得m2 +1 = 2，且
m−1 ≠ 0．
解得m = −1，
故选：A．
4 【答案】D
5 【答案】（1）x
1
= x
2
= −5；
– –
1+√5 1−√5
（2）x 1 = ，x 2 = ．
2 2
能力提高 / 初三 / 暑假
4/87
第 1 讲 一元二次方程初步
精选精练
1 【答案】B
【解析】（1）ax2 +bx+c = 0中，a可能为0，所以不一定是一元二次方程；
（2）x2 −4x = 8+x2 化简后只含有一个未知数，是一元一次方程；
（3）1+(x−1)(x+1) = 0和（4）(k2 +1)x2 +kx+1 = 0符合定义，是一元二
次方程．
一元二次方程的个数为2个．
故选：B．
2 【答案】C
【解析】(x+1)(2x−3) = 1，
整理得2x2 −x−4 = 0，
则a = 2，b = −1，c = −4，
故选：C．
3 【答案】−2
【解析】∵方程3x2 −5x+2 = 0的一个根是a，
∴3a2 −5a+2 = 0，
∴3a2 −5a = −2，
∴6a2 −10a+2 = 2(3a2 −5a) +2 = −2×2+2 = −．2
故答案是：−2．
4 【答案】6
【解析】∵m是关于x的方程x2 −2x−3 = 0的一个根，
∴m2 −2m−3 = 0，
∴m2 −2m = 3，
∴2m2 −4m = 6，
故答案为：6．
5 【答案】A
【解析】A−B = 10a2 +2b2 −7a+6−a2 −2b2 −5a+ 1
= 9a2 −12a+7
4 2 2
= 9[a2 − a+(− )2]+7−9×(− )2
3 3 3
5/87
2
2
= 9 a− +3，
( 3)
2
2
∵9 a− ≥ 0，
( 3)
2
2
∴9 a− +3 > 0，即A−B > 0．
( 3)
∴A−B的值是正数．
故选：A．
6 【答案】B
能力提高 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】①x
1
= −4,x
2
= 2
1
②x
1
= −1,x
2
= −
2
3
③x
1
= 3,x
2
= −
2
– –
3√2 3√2
④x
1
= −1+ ,x
2
= −1−
2 2
练1.1
(1【) 答案】B
−−
5−√53
(2【) 答案】
2
练1.2
(1【) 答案】B
(2【) 答案】B
例2 【答案】解：原方程整理得2x2 −x−6 = 0
∵a = 2，b = −1，c = −6
∴Δ = b2 −4ac = 1−4×2×(−6) = 49 > 0
6/87
1±7
∴x =
4
3
即x
1
= 2，x
2
= −
2
练2.1 【答案】C
练2.2 【答案】A
例3 【答案】C
练3.1 【答案】C
练3.2 【答案】C
【解析】由题知：x2 +4x+4 = 16
∴x2 +4x−12 = 0
∴(x−2)(x+6) = 0
∴x
1
= 2，x
2
= −6
故选C
例4
(1【) 答案】D
(2【) 答案】解：①∵5x2 = 4x
∴5x2 −4x = 0
∴x(5x−4) = 0
∴x = 0或5x−4 = 0
4
∴x
1
= 0，x
2
=
5
②∵x2 −9 = 0
∴(x+3)(x−3) = 0
∴x−3 = 0或x+3 = 0
∴x
1
= 3，x
2
= −3
③∵x2 +2x+1 = 0
2
∴(x+1) = 0
∴x
1
= x
2
= −1
④∵x2 −x−2 = 0
∴(x−2)(x+1) = 0
∴x−2 = 0或x+1 = 0
∴x
1
= 2，x
2
= −1
⑤∵3x2 −x−4 = 0
7/87
∴(x+1)(3x−4) = 0
∴x+1 = 0或3x−4 = 0
4
∴x
1
= −1，x
2
=
3
2
⑥∵2(x+5) = x(x+5)
2
∴2(x+5) −x(x+5) = 0
∴[2(x+5)−x](x+5) = 0
∴x+5 = 0或x+10 = 0
∴x
1
= −5，x
2
= −10
练4.1 【答案】B
【解析】解：x(x−2) = 3x，
x(x−2)−3x = 0，
x(x−2−3) = 0，
x = 0，x−2−3 = 0，
x
1
= 0，x
2
= 5，
故选B．
练4.2 【答案】解：（1）∵x2 −2x−35 = 0
∴(x+5)(x−7) = 0
∴x
1
= −5，x
2
= 7
（2）∵2x2 −x−15 = 0
∴(x−3)(2x+5) = 0，
5
∴x
1
= 3，x
2
= −
2
（3）∵x+3−x(x+3) = 0
∴(x+3)(x−1) = 0
∴x
1
= −3，x
2
= 1
（4）∵x(x−4) = 8−2x
∴(x+2)(x−4) = 0
∴x
1
= −2，x
2
= 4
能力提高 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
8/87
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】解：方程−x2 +3x = 1整理得：−x2 +3x−1 = 0，
则a，b，c依次为−1；3；−1．
故选：A．
2 【答案】D
【解析】解：∵a = 3，b = −2，c = −2
−−−−−−−
−b±√b2 −4ac
∴x =
2a
−−−−−−−−−−−−−−−−−
2
−(−2)± (−2) −4×3×(−2)
√
=
2×3
–
2±2√7
=
6
–
1±√7
=
3
– –
1+√7 1−√7
∴x
1
= ，x
2
=
3 3
–
1+√7
∴两个实数根中较大的根是
3
故选：D．
3 【答案】B
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】C
【解析】∵ x(x−3) = 3−x，
∴ x(x−3)+(x−3) = 0，
∴ (x−3)(x+1) = 0，
∴ x−3 = 0或x+1 = 0，
∴ x 1 = 3，x 2 = −1．
7 【答案】D
【解析】x2 −5x−6 = 0
(x−6)(x+1) = 0
x
1
= −1，x
2
= 6
8 【答案】C
9 【答案】B
10 【答案】解：（1）x2 +3x+1 = 0
9/87
∵a = 1，b = 3，c = 1
∴Δ = b2 −4ac = 32 −4×1×1 = 5 > 0
– –
−3±√5 −3±√5
∴x = =
2×1 2
– –
−3+√5 −3−√5
∴x
1
= ，x
2
=
2 2
2
（2）(x−2) = 3x−6
2
(x−2) = 3(x−2)
2
(x−2) −3(x−2) = 0
(x−2)(x−2−3) = 0
∴x−2 = 0或x−5 = 0
解得：x
1
= 2，x
2
= 5
能力提高 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】解：（1）2(x−3)−3x(x−3) = 0，
(x−3)(2−3x) = 0，
x−3 = 0或2−3x = 0，
2
所以x 1 = 3，x 2 = ；
3
（2）x2 −2x = 2，
x2 −2x+1 = 3，
2
(x−1) = 3，
–
x−1 = ±√3，
– –
所以x
1
= 1+√3，x
2
= 1−√3．
能力提高 / 初三 / 暑假
10/87
第 2 讲 一元二次方程的解法
精选精练
1
(1【) 答案】解：∵2x2 −7x+1 = 0，
∴Δ = b2 −4ac = (−7) 2 −4×2×1 = 4，1
−−
7±√41
∴x = ，
4
−− −−
7+√41 7−√41
∴x 1 = ，x 2 = ；
4 4
【解析】求出b2 −4ac的值，再代入公式求出即可；
(2【) 答案】∵x(x−3)+x−3 = 0．
∴x(x−3)+x−3 = 0，
∴(x−3)(x+1) = 0，
∴x−3 = 0，x+1 = 0，
∴x
1
= 3，x
2
= −1．
【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
2
(1【) 答案】解：∵x2 −2x = 0；
∴x(x−2) = 0，
∴x = 0或x−2 = 0，
∴x
1
= 0，x
2
= 2；
【解析】利用因式分解法求解即可；
(2【) 答案】方法一：
∵x2 −6x−1 = 0
∴x2 −6x+9 = 10
2
∴(x−3) = 10
−− −−
∴x−3 = √10或x−3 = −√10
−− −−
∴x
1
= 3+√10，x
2
= 3−√10．
方法二：
∵x2 −6x−1 = 0
11/87
∴a = 1，b = −6，c = −1，
2
∴Δ = (−6) −4×1×(−1) = 40，
−−
6±√40 −−
∴x = = 3±√10，
2
−− −−
∴x
1
= 3+√10，x
2
= 3−√10．
3
(1【) 答案】解：∵x2 −10x+9 = 0
∴(x−9)(x−1) = 0
∴x−9 = 0或x−1 = 0
∴x
1
= 9，x
2
= 1
【解析】根据因式分解法，可得答案；
(2【) 答案】∵x2 −3x−1 = 0
∴a = 1，b = −3，c = −1，
∴Δ = b2 −4ac = 9−4×1×(−1) = 13 > ，0
−−
3±√13
∴x = ，
2
−− −−
3+√13 3−√13
∴x 1 = ，x 2 = ．
2 2
【解析】根据公式法，可得答案．
4
(1【) 答案】∵x(2x−5) = 4x−10
∴x(2x−5)−2(2x−5) = 0
∴(2x−5)(x−2) = 0
∴2x−5 = 0或x−2 = 0
5
∴x
1
= ，x
2
= 2
2
【解析】用因式分解法求解即可；
(2【) 答案】∵2x2 +5x+1 = 0
∴a = 2，b = 5，c = 1
∴Δ = 52 −4×2×1 = 17
−− −−
−5±√17 −5±√17
∴x = =
2×2 4
−− −−
−5+√17 −5−√17
∴x
1
= ，x
2
=
4 4
【解析】用公式法求解即可；
12/87
(3【) 答案】∵x2 +5x+7 = 3x+6
∴x2 +2x+1 = 0
2
∴(x+1) = 0
∴x
1
= x
2
= −1
【解析】用因式分解法求解即可．
2
5 【答案】解：∵2(x−2) = 338
2
∴(x−2) = 169
∴x−2 = ±13
∴x
1
= 15，x
2
= −11
能力提高 / 初三 / 暑假
第 3 讲 平行与比例
例题练习题答案
例1
a d
(1【) 答案】 =
c b
5
(2【) 答案】
3
1
(3【) 答案】
3
(4【) 答案】3
(5【) 答案】2或−1
练1.1 【答案】−13
6或−3
练1.2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】D
例2 【答案】A
练2.1 【答案】C
13/87
【解析】解：A、3×9 ≠ 5×7，故此选项不符合题意；
B、2×8 ≠ 5×6，故此选项不符合题意；
C、3×18 = 6×9，故此选项符合题意；
D、1×7 ≠ 3×4，故此选项不符合题意．
故选：C．
练2.2 【答案】B
例3
(1【) 答案】C
(2【) 答案】C
练3.1 【答案】B
【解析】由平行线分线段成比例可知
2 3
=
x 6
∴ x = 4
练3.2 【答案】D
【解析】∵AH=2，HB=1，
∴AB=3，
∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
DE AB 3
∴ = =
EF BC 5
2
例4 【答案】
3
练4.1 【答案】15
练4.2 【答案】A
AE 2
例5 【答案】 =
AC 3
【解析】∵DE∥BC，∴ ，故可得EF∥AB，故 ，
练5.1 【答案】∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ．
BD EC
AD DE
∵ = ，
BD EF
AE DE
∴ = ，
EC EF
∴AD∥CF．
AE 2
∵ = ，
AC 3
AD AE
∴ = = 2．
FC EC
14/87
AE DE
【解析】 提示：由平行线分线段成比例定理和已知条件得出 = ，证出AB∥CF，再由平行
AC EF
线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．
6
练5.2 【答案】
5
能力提高 / 初三 / 暑假
第 3 讲 平行与比例
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
【解析】 由题：a = k(b+c +d),b = k(a+c +d),c = k(a+b+d),d = k(a+b+c
全部相加：a+b+c +d = 3k(a+b+c +d)
（1）若a+b+c +d = 0，则k = −1
1
（2）若a+b+c +d ≠ 0，则k =
3
1
∴k = −1或
3
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】D
【解析】∵ AB//CD//EF
AC BD
∴ =
CE DF
5 4
∴ =
7 DF
28
∴ DF =
5
48
∴ BF = BD+DF =
5
7 【答案】C
8 【答案】A
【解析】∵ DE//BC
AD AE
∴ = ,选项A错误；
AB AC
CE AE
∵ EF//AB ∴ =
CF BF
又由DE//BC，EF//AB
15/87
可得四边形DBFE为平行四边形
CE AE
则DE=BF ∴ = 选项B正确；
CF DE
AE AD AD DE
由DE//BC可得 = 且 = 选项C，D正确。
AC AB AB BC
9 【答案】C
AF AD AF AE AE AD
10 【答案】 ∵DF∥BE ， ∴ = ， 又 = ， ∴ = ， ∴DE∥BC ， ∴
FE DB FE CE CE DB
DE AE
= ，
BC AC
AE 2 AE 2 DE 2
∵ = ，∴ = ，∴ =
CE 3 AC 5 BC 5
能力提高 / 初三 / 暑假
第 3 讲 平行与比例
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ，
BD EC
5 3
即 = ，
10 EC
解得EC = 6．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 3 讲 平行与比例
精选精练
1 【答案】 3
a+4 b+3 c +8
2 【答案】 解：令 = = = k．
3 2 4
∴a+4 = 3k，b+3 = 2k，c +8 = 4k，
16/87
∴a = 3k−4，b = 2k−3，c = 4k−8．
又∵a+b+c = 12，
∴(3k−4)+(2k−3)+(4k−8) = 12，
∴k = 3．
∴a = 5，b = 3，c = 4．
∴△ABC是直角三角形．
3 【答案】3 : 2
1
4 【答案】
4
5 【答案】解：（1）∵GF∥BC，
DF DG
∴ = ，
FC BG
DF 3
∵ BD = 20， =
FC 2
∴ BG = 8．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB = CD，
DM DG
∴ = ，
AB GB
DM 3
∴ = ，
AB 2
DM 3
∴ = ，
CD 2
CM 1
∴ = ．
CD 2
6 【答案】证明：∵AD∥BC，
AM AO
∴ = ，
NC CO
∵AD∥BC，
AO AD PD MD
∴ = = = ，
OC BC PC NC
AM MD
∴ = ，
NC NC
∴ AM = MD．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 相似三角形判定
例题练习题答案
例1
17/87
(1【) 答案】③
(2【) 答案】②
(3【) 答案】α = 80∘ ；β = 72∘ ；x = 12
练1.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】24
28
83∘
练1.2
(1【) 答案】B
(2【) 答案】4.4
2.7
85∘
例2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】证明：∵∠A = 36∘ ，AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = 72∘ ，又BD是∠ABC的角平分线，
1
∴∠CBD = ∠ABC = 36∘ = ∠A，又∠C = ∠C，
2
∴△BDC∽△ABC．
练2.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】证明：∵∠ACD = ∠B，∠A = ∠A，
∴△ADC∽△ACB．
练2.2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】证明：∵∠BAD = ∠EAC，
∴∠BAC = ∠DAE，又∠C = ∠E，
18/87
∴△ABC∽△ADE．
例3 【答案】证明：∵ AB2 = AC ⋅AD，
AB AD
∴ = ，
AC AB
又∵ ∠BAD = ∠CAB，
∴ ΔADB ∽ ΔABC．
练3.1 【答案】证明：∵ AB⋅AD = AC ⋅AE，
AB AC
∴ = ．
AE AD
又∵ ∠BAC = ∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
AD 1
例4 【答案】 证明：∵ = ，AE = EB，AB = AC = BC，
AC 3
AE AD 1
∴ = = ，
BC CD 2
又∠A = ∠C = 60∘ ，
∴△AED∽△CBD．
BC AB
练4.1 【答案】证明：∵ = = 3，
DE CD
∠ABC = ∠CDE = 90∘ ，
∴△ABC∽△CDE．
练4.2 【答案】C
例5 【答案】证明：∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠ABD = ∠ACE，
又AB2 = BD⋅CE，
AB CE CE
∴ = = ，
BD AB AC
∴△ABD∽△ECA．
练5.1 【答案】B
– −− – –
【解析】已知给出的三角形的各边长分别为√2，2，√10，则只有选项B的各边长1，√2，√5与
各边对应成比例。
练5.2 【答案】证明：∵点D、E、F分别为△ABC的三边中点，
∴DE、DF、EF分别为△ABC的中位线，
1 1 1
∴DE = AC，EF = AB，DF = BC（中位线定理），
2 2 2
DE DF EF 1
∴ = = = ，
AC BC AB 2
∴△ABC∽△EFD．
19/87
能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 相似三角形判定
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】25
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】B
9 【答案】B
【解析】 已知两个三角形的三边长满足32+42=52，62+82=102，符合勾股定理逆定理，所以两个三角
形均为直角三角形
3 4 5
由 = = 可得对应边成比例，所以两个三角形相似
6 8 10
10 【答案】 证明：∵CD = CE，
∴∠CDE = ∠CED．
∵∠AEC +∠CED = 180∘ = ∠BDA+∠CDE，
∴∠BDA = ∠AEC．
又∵∠B = ∠EAC，
∴△ABD∽△CAE．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 相似三角形判定
课堂落实答案
1 【答案】A
20/87
【解析】
由两个四边形相似，根据相似多边形对应角相等和四边形内角和为360∘ 可求得∠α = 87∘
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB = ∠DBC．
∵BD⊥DC，
∴∠BDC = 90∘ ．
∵∠BAD = 90∘ ，
∴∠BAD = ∠BDC．
∴△ABD∽△DCB．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 4 讲 相似三角形判定
精选精练
1 【答案】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，
且相似比为1 : 2，
AB AE 1
∴ = = ，
DE DC 2
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD = AB = 4，
4 AE 1
∴ = = ，
DE 4 2
∴DE = 8，AE = 2，
∴AD = AE +DE = 2+8 = 10．
2 【答案】C
3 【答案】B
【解析】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，
当6和8是直角边时，斜边为10，直角三角形的三边为6，8，10
– –
当8为斜边时，两条直角边为2√7和6，此直角三角形的三边为2√7，6，8，
∵另一个直角三角形的边长分别是3和4及x，
21/87
当3和为4直角边时，斜边x=5，直角三角形的三边为3，4，5，
3 4 5
∴ = = ，满足这两个直角三角形相似的条件；
6 8 10
–
当3和x为直角边时，4便是斜边，则：根据勾股定理得，x=√7，
–
∴此直角三角形的三边为√7，3，4，
–
√7 3 4
∴ = = ，
–
2√7 6 8
–
∴x=5或√7．
∴x的值可以有2个．
故选：B．
4 【答案】B
5 【答案】D
6 【答案】证明：在△ABC与△AEF中，
∵AB = AE，BC = EF，∠B = ∠E，
∴△AEF≌△ABC，
∴AF = AC，
∴∠AFC = ∠C，
又∵∠E = ∠B，∠ADE = ∠FDB，
∴△ADE∽△FDB．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】③；k = 1．
(2【) 答案】−1
(3【) 答案】解：∵由题意得：xy = 1200，
1200
∴y = ，
x
∴y是x的反比例函数．
练1.1 【答案】D
22/87
练1.2 【答案】B
例2
(1【) 答案】如图．
(2【) 答案】B
练2.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】C
练2.2 【答案】C
例3
(1【) 答案】B
(2【) 答案】C
(3【) 答案】>
练3.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】B
练3.2 【答案】C
6
例4 【答案】y =
x
练4.1 【答案】A
练4.2 【答案】B
23/87
例5
(1【) 答案】解：作图如下，根据反比例函数的几何意义，
S = 4．
矩形ABOC
(2【) 答案】D
练5.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】D
练5.2 【答案】6
【解析】S
1
+S
阴影
= 5，S
2
+S
阴影
= 5，S
1
+S
2
= 6．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 反比例函数初步
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】B
3 【答案】D
【解析】解：A、根据题意，得S=a 2 ，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选
项错误；B、根据题意，得l=4a，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；
故本选项错误；C、根据题意，得S=20a，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函
24/87
40
数关系；故本选项错误；D、根据题意，得b= ，所以正方形的面积S与边长a的关系是
a
反比例函数关系．
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】D
8 【答案】C
9 【答案】C
1
10 【答案】解：S
ΔAOC
= S
ΔBOE
= |k|
2
∴S
ΔAOC
−S
ΔDOC
= S
ΔBOE
−S
ΔDOC
∴S
四边形DCEB
= S
△AOD
= 1
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 反比例函数初步
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】A
4 【答案】A
【解析】
5 【答案】∵A(3,m)，AB⊥x轴，
∴OB = 3，AB = m，
1 1 1
∴S ΔAOB = OB⋅AB = ×3m = ，
2 2 2
1
∴m = ，
3
1 k 1 k
把点A 3, 代入y = ， =
( 3) x 3 3
∴k = 1，
1
∴反比例函数的表达式为y = (x > 0)．
x
k
【解析】 根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y = ，可求出k的值．
x
25/87
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 反比例函数初步
精选精练
1 【答案】D
【解析】解：由题意得：m（m3）≠0，
解得：m≠0且m≠3，
故选：D．
2 【答案】C
3 【答案】−2
【解析】由题意得：|m|−3 = −1，m−2 ≠ 0；
解得m = ±2，
又∵m ≠ 2；
∴m = −2．
故填= −2．
4 【答案】解：y = (2m−3)x|m|−5 是反比例函数，
|m|−5 = −1，m = ±4，
2m−3 = 5，2m−3 = −11，
图象分布在第一、第三象限，
5
2m−3 = 5，m = 4，y = ．
x
5 【答案】D
k
【解析】
解：把A（-1，-2）代入反比例函数y= ，则-2=-k，
x
解得：k=2，
2
∴反比例函数的解析式为：y= ，
x
当x=1时，y=2，
根据图象可知：当x＞1时，函数值y的取值范围是0＜y＜2．
故选：D．
6 【答案】C
能力提高 / 初三 / 暑假
26/87
第 6 讲 锐角三角函数
例题练习题答案
例1
3 4 3 4 3
(1【) 答案】①sinA = ，cosA = ，tanA = ， sinB = ，cosB = ，
5 5 4 5 5
4
tanB = ；
3
5 12 5 12 5
②sinA = ，cosA = ，tanA = ， sinB = ，cosB = ，
13 13 12 13 13
12
tanB = ．
5
(2【) 答案】A
−− −−
√10 3√10 1
(3【) 答案】
sinB = ，cosB = ，tanB = ．
10 10 3
4 4
(4【) 答案】cosA = ，tanB = ，AB = 15
5 3
练1.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】∵在△ABC中，∠C = 90∘ ，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
∴AC = AB2 −BC2 = √132 −52 = 12．
√
AC 12 AC 12
∴sinB = = ，tanB = = ．
AB 13 BC 5
练1.2
(1【) 答案】A
4
(2【) 答案】在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，AC = 3，tanB = ，
3
AC
∵tanB = ，
BC
AC 3 9
∴BC = = = ，
tanB 4 4
3
−−−−−−−−−−
15
则AB = AC2 +BC2 = ．
√ 4
例2
(1【) 答案】C
27/87
【解析】如图，取格点D，连接BD，
∵AC和BD都是刚好穿过每个小正方形的对角顶点，
∴BD⊥AC，
–
AD √5
∴cos∠A = =
AB 5
3
(2【) 答案】
4
练2.1 【答案】C
练2.2 【答案】A
例3
(1【) 答案】D
(2【) 答案】B
(3【) 答案】D
1
(4【) 答案】
2
练3.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】B
练3.2
(1【) 答案】B
(2【) 答案】B
(3【) 答案】D
例4 【答案】 ∣ √2 – ∣ √3 – 2
已知∣sinA− ∣ + −cosB = 0，
∣ 2 ∣ ( 2 )
– –
√2 √3
所以sinA− = 0，且 −cosB = 0，
2 2
– –
√2 √3
所以sinA = ，且cosB = ，
2 2
28/87
又知∠A、∠B都是锐角，
所以∠A = 45∘ ，∠B = 30∘ ，
所以∠C = 105∘ ．
【解析】 ∣ √2 – ∣ √3 – 2 √2 –
已知∣sinA− ∣ + −cosB = 0，所以sinA− = 0，且
∣ 2 ∣ ( 2 ) 2
–
√3
−cosB = 0，
2
– –
√2 √3
所以sinA = ，且cosB = ，又知∠A、∠B都是锐角，所以∠A = 45∘ ，
2 2
∠B = 30∘ ，
所以∠C = 105∘ ．
练4.1 【答案】A
– 2 – –
【解析】已知(√3tanA−3) +|2cosB−√3| = 0，则√3tanA−3 = 0，
–
– – √3
2cosB−√3 = 0，所以tanA = √3，cosB = ，即∠A = 60∘ ，∠B = 30∘ ．
2
练4.2 【答案】A
–
例5 【答案】（1）1+√3；
1
（2） ；
4
–
√3+1
（3） ；
2
（4）0．
练5.1 【答案】B
练5.2 【答案】B
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 锐角三角函数
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】根据三角函数的定义：
a
A．sinA＝ ，
c
a
B．cosB＝ ，错误；
c
a
C．tanA＝ ，正确；
b
a
D．cotB＝ ，错误．
b
29/87
2 【答案】C
3 【答案】D
【解析】如图，∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，
3
所以，tan∠ABC = ．
4
4 【答案】D
5 【答案】A
6 【答案】A
7 【答案】D
8 【答案】D
9 【答案】C
3
10 【答案】（1）2；（2） ．
2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 锐角三角函数
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】B
【解析】 解：如图，连结AC，
−− –
根据勾股定理可以得到：AC=BC=√10，AB=2√5．
−− 2 −− 2 – 2
∵（√10） +（√10） =（2√5） ．
∴AC2 +BC2 =AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°，
–
√2
∴∠ABC的正弦值为 ．
2
故选：B．
30/87
3 【答案】C
4 【答案】D
3
5 【答案】−
2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 锐角三角函数
精选精练
1 【答案】D
–
√3
【解析】 ∵cos30∘ = ，sin80∘ = cos10∘ ，余弦函数随角增大而减小，
2
∴10∘ < A < 30∘ ．
故选：D．
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】B
【解析】解：∵ CD⊥AB，BE⊥AC，则易证ΔABE ∽ ΔACD，
AD AC
∴ = ，
AE AB
又∵ ∠A = ∠A，
∴ ΔAED ∽ ΔABC，
AD DE 2
∴ = = ，
AC BC 5
设AD = 2a，则AC = 5a，
−−
根据勾股定理得到CD = √21a，
−−
CD √21
因而sinA = = ．
AC 5
故选：B．
5 【答案】C
6 【答案】2
31/87
能力提高 / 初三 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】D
【解析】该题考查的是反比例函数的概念．
k
只有形如y = (k ≠ 0)的才是反比例函数，故答案选D．
x
2 【答案】B
3 【答案】D
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】A
9 【答案】B
10 【答案】A
13
11 【答案】
4
12 【答案】16或25
【解析】该题考查等腰三角形和一元二次方程的基本性质．
当BC作为腰时，方程必有一根是8，代入方程得m = 16，当BC作为底边时，方程的两根
相等，则Δ = b2 −4ac = (−10) 2 −4m = 0，所以m = 25．
– –
13 【答案】x < −√2或0 < x < √3 .
14 【答案】10
15 【答案】4
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABG∽△FHG，△ABE∽△DHE∽△CHB，
∴图中的相似三角形共有4对
16 【答案】4
32/87
【解析】由正比例函数和反比例函数的对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，所以其面积为
1 1
△ AOB面积的4倍，因为S
△AOB
= |k| = ×2 = 1，所以四边形ABCD的面积是
2 2
4．
– –
17 【答案】（1）x
1
= 1+√6，x
2
= 1−√6；（2）x
1
= 3，x
2
= 1．
18 【答案】（1）x
1
= −4，x
2
= 3；（2）x
1
= −3，x
2
= −5．
19 【答案】方程无解．
−−
2 −3±√13
20 【答案】
（1）x 1 = 1，x 2 = ；（2）x = ．
3 2
21 【答案】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90°．
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE．
AB BC
∴ = ．
AD DE
∵DE =3，
10 6
∴ = ．
AD 3
∴AD=5．
【解析】该题考查的是相似三角形的判定与性质，垂线，直角三角形的性质．
在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC= k≤46，
∴AB=10． ………………………1分
∵DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90°．
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE． ……………………… 3分
AB BC
∴ = ． ………………………4分
AD DE
∵DE =3，
10 6
∴ = ．
AD 3
∴AD=5． ………………………5分
22 【答案】（1）设4月初猪肉价格下调后每斤x元．
60 60
根据题意得： - = 2 ．
x 3x
2
解得：x=10．
33/87
经检验：x=10是原方程的解．
答：4月初猪肉价格下调后每斤10元；
（2）设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y．
2
根据题意得：10(1+y) = 14.4
解得：y = 0.2= 20%，y = −2.2（舍去）．
1 2
答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%．
【解析】
（1）设4月初猪肉价格下调后每斤x元．
60 60
根据题意得： - =2．（2分）
x 3x
2
解得：x=10．（3分）
经检验：x=10是原方程的解．（4分）
答：4月初猪肉价格下调后每斤10元；（5分）
（2）设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y．
2
根据题意得：10（1+y） =14.4．（7分）
解得：y =0.2=20%，y =-2.2（舍去）．（9分）
1 2
答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%．（10分）
23 【答案】证明：∵DE∥BC，
∴DE∥FC，
∴∠AED=∠C．
又∵EF∥AB，
∴EF∥AD，
∴∠A=∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．
24 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴CD∥BQ，
∴△DCP∽△QBP；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，
∴△DCP∽△QBP，
BQ PB 1
∴ = = ，
CD CP 3
BQ 1
∴ = ，
AB 3
34/87
AB 3
AB AB 3
∴ = = ．
AQ AB+BQ 4
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴CD∥BQ，
∴△DCP∽△QBP；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，
∴△DCP∽△QBP，
BQ PB 1
∴ = = ，
CD CP 3
BQ 1
∴ = ，
AB 3
AB AB 3
∴ = =
AQ AB+BQ 4
25 【答案】（1）解：∵点A（2，a）在y=x上，
∴a=2，则A（2，2），
k
∵点A（2，2）在y = 上，
x
∴k=2×2=4，
4
∴反比例函数的解析式是y = ；
x
将y=x向上平移3个单位，得l 2：y=x+3；
y = x+3，
x = −4， x = 1，
（2）解：解方程组⎧ 4 得 或
⎨ y = ， {y = −1， {y = 4，
⎩ x
∴B（1，4），A(−4,−1)，
当x=0时，y=x+3=3，则D（0，3），
1 3
∴S △OBD =
2
×3×1 =
2
．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 解直角三角形
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】D
35/87
(2【) 答案】C
(3【) 答案】B
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】B
例2
(1【) 答案】解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，
–
易求得：DC = 1，AD = √3，
–
AD √3
从而可得：tan∠B = =
BC −CD 2
(2【) 答案】解：过点C作CD⊥AB交AB于点D，
–
3√3 9
易求得：CD = BD = ，AD = ，
2 2
–
9+3√3
∴AB = AD+BD =
2
(3【) 答案】解：过点C作CD⊥AB交AB于点D，
由∠A=30∘ ，∠B = 45∘
–
得：AD = √3CD，BD = CD
–
∴AB = (1+√3)CD
∴CD = 1
–
∴AC = 2，BC = √2
(4【) 答案】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
36/87
–
由∠B = 135∘ ，BC = 2√2，
易得：BD = CD = 2，
从而由AD2 +CD2 = AC2 ，
−−
易得：AC = 2√10
(5【) 答案】解：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
–
由∠B = 120∘ ，AB = 4，易得：AD = 2√3，
– –
从而由∠C = 45∘ ，易得：AC = √2AD = 2√6
练2.1
−−
2√13
(1【) 答案】
13
–
(2【) 答案】3+√3
–
练2.2 【答案】（1）9+4√3
−− –
（2）√14 −√2
【解析】(1)解：过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠A = 30∘ ，
1 –
∴CD = AC = 3√3，AD = AC ⋅cosA = 9，
2
4
∵cosB = ，
5
∴设BD = 4x，则BC = 5x，
由勾股定理得，CD = 3x，
–
由题意得，3x = 3√3，
–
解得， x = √3
37/87
–
∴BD = 4√3，
–
∴AB = AD+BD = 9+4√3．
（2）解：过C作CE⊥AB交AB的延长线于E，则∠E = 90∘ ，
∵∠B＝135°，AC＝4，BC＝2
∴∠CBE＝45°＝∠BCE
∴BE＝CE
∵BC2 = BE2 +CE2 = 4
–
∴BE＝CE = √2
由勾股定理得：AC2 = AE2 +CE2 = (AB+√2 – ) 2 +(√2 – ) 2 = 16
−− – −− –
所以AB＝√14 −√2或AB＝−√14 −√2（舍掉）
−− –
则AB＝√14 −√2.
例3 【答案】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∵坝高10米，斜坡AB的坡度i
1
= 1 : 3，
BE 1
∴ = ，
AE 3
10 1
∴ = ，
AE 3
解得：AE=30m,
−−−−−−−− −−
则AB = √302 +102 = 10√10(m)，
−−
∴斜坡AB的长为10√10m；
（2）过点C作CF⊥AD于点F，
∵斜坡CD的坡度i
2
= 1 : 1，坝高10米，
∴CF = FD = 10m，
已知BC = EF = 6m，
∴AD = AE +EF +FD = 30+6+10 = 4(6m)，
∴坝底AD的长度为46m；
（3）∵斜坡CD的坡度i
2
= 1 : 1，
∴斜坡CD的坡角α：tanα = 1，
38/87
则α = 45∘ .
练3.1 【答案】36
–
【解析】 – √3
因为坡度比为1：√3，即tanα= ，
3
∴α=30°．
则其下降的高度=72×sin30°=36（米）．
练3.2 【答案】1 : 2
例4 【答案】解：如图，设平台AB的高度的高度为h，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE = 45°，∠CBE = 30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形．
∴CE = AB = h．
CE
在Rt△CBE中，tan∠CBE = ，
BE
CE –
∴BE = = √3h.
tan∠CBE
在Rt△BDE中，由∠DBE = 45°，
–
得DE = BE = √3h．
–
∴CD = CE +DE =(√3+1)h = 100，
100 –
解得：h =
–
= 50√3−50，
√3+1
–
答：平台的高度为(50√3−50)米．
【解析】设平台AB的高度的高度为h，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意得到∠DBE=45°，
∠CBE=30°．推出四边形ABEC为矩形．根据矩形的性质得到CE=AB=h．根据三角函数的
– – – –
定义得到BE=CE•cot30°=h×√3=√3h．DE=BE=√3h．根据CD=CE+DE=h（√3+1）
=100，即可得到结论．
39/87
练4.1 【答案】B
练4.2 【答案】B
【解析】解：过点A作AC⊥BE于点C．
根据题意有：AC=DE=60，CE=AD=1.5．
–
∴BC=AC×tan30°=20√3．
–
故古塔BE的高为BC+CE=（20√3+1.5）m．
故选：B．
例5 【答案】解：过B作BD⊥AC于点D,
–
√3 –
在Rt△ABD中，BD = AB⋅sin∠BAD = 12× = 6√3千( 米），
2
∵在△BCD中，∠CBD = 45∘ ，
∴△BCD是等腰直角三角形，
–
∴CD = BD = 6√3（千米），
– –
∴BC = √2BD = 6√6（千米）．
–
答：B，C两地的距离是6√6千米．
【解析】过B作BD⊥AC于点D．
–
√3 –
在Rt△ABD中，BD = AB⋅sin∠BAD = 12× = 6√3（千米），
2
∵△BCD中，∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
–
∴CD = BD = 6√3（千米），
– –
∴BC = √2BD = 6√6（千米）．
40/87
练5.1 【答案】A
–
练5.2 【答案】20√2
【解析】解：作CE⊥AB于E，
由题意知AC = 20，
∵ ∠A = 45∘，
–
∴ CE = AC ⋅sin45∘ = 10√2，
∵ ∠NCB = 75∘ ，∠A = 45∘ ，
∴ ∠B = 30∘ ，
–
CE 10√2 –
∴ BC = = = 20√2，
sin∠B 1
2
–
故答案为：20√2．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 解直角三角形
自我巩固答案
1 【答案】B
AC 3
【解析】解：∵sinB = = ，
AB 5
3
∴AC = ×15 = 9．
5
2 【答案】A
– 1
【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2√5，tanA= ，
2
∴设BC=a，则AC=2a，
∴a2 +(2a) 2 = (2√5 – ) 2 ，
解得，a=2或a=﹣2（舍去），
∴BC=2．
3 【答案】B
4 【答案】D
41/87
5 【答案】B
6 【答案】D
【解析】 ，错误，，选项ABC正确，故选D．
7 【答案】D
8 【答案】C
【解析】解：如图，记灯塔P的正北方向为射线PN的方向．
由题意可知∠NPA = 55∘ ，AP = 2海里，∠ABP = 90∘ ．
∵AB∥NP，
∴∠A = ∠NPA = 55∘ ．
在Rt△ABP中，∵∠ABP = 90∘ ，∠A = 55∘ ，AP = 2海里，
∴AB = AP ⋅cos∠A = 2cos55∘ 海里．
故选：C．
9 【答案】D
10 【答案】解：（1）由题意，得：∠AHC = 90∘ ，i = 1 : 2.4，
AH 5
在RtΔABH中，i = = ，
BH 12
设AH = 5x，则BH = 12x，
∴ AH2 +BH2 = AB2 ，
∴ AB = 13x，
∵ AB = 13，
∴ x = 1，
∴ AH = 5，
答：这个车库的高度AH为5米；
（2）由（1）得：BH = 12，
AH
在RtΔACH中，tan∠ACH = ，
HC
∵ ∠ACH = 14∘ ，AH = 5，
5
∴ CH = ≈ 20(m)，
tan14∘
∴ CB = CH −BH ≈ 20−12 = 8（米)，
42/87
答：点B与点C之间的距离约为8米．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 解直角三角形
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】A
【解析】∵∠C = 90∘ ，AB = 6，AC = 2，
−−−−−−−−−−
–
∴BC = AB2 −AC2 = 4√2，
√
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = 90∘ ，
∴∠A+∠ACD = ∠A+∠B = 90∘ ，
∴∠ACD = ∠B =α ，
– –
BC 4√2 2√2
∴cosα = cosB = = = ，
AB 6 3
故选：A．
3 【答案】B
4 【答案】B
90 2
5 【答案】（1）90cm（2）BC = −90× ≈ 276cm．
tan15∘ 3
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 解直角三角形
精选精练
1 【答案】C
BD BD
【解析】由题意可得：tan45∘ = = = 1，
AD 90
解得：BD = 90，
DC DC –
tan60∘ = = = √3，
AD 90
–
解得：DC = 90√3，
43/87
–
故该建筑物的高度为：BC = BD+DC = 90+90√3
故答案为：C．
2 【答案】A
3 【答案】D
4 【答案】A
【解析】如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，
AH 2 1
tan∠ACB = = = ．
HC 6 3
1
5 【答案】
5
【解析】如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
5
∵tanB = ，
3
AD 5
∴ = ，
AB 3
∴设AD = 5x，则AB = 3x，
−−
由勾股定理得BD = √34x.
−− −−
5√34 √34
∴sinB = ，DC = x
34 2
∵∠CDE = ∠BDA，∠CED = ∠BAD，
∴∠DCE = ∠B
−−
DE 5√34
Rt△CDE中，sin∠DCE = = ，
DC 34
5 15
∴DE = x，AE = x
2 2
5
∵tan∠DCE = tanB =
3
3
∴CE = x，
2
EC 1
∴tan∠CAD = = ，
AE 5
1
故答案为： ．
5
6 【答案】B
44/87
【解析】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．
∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，
∴ BE//CD，
∴ ∠AOD = ∠ABE．
−− – –
在ΔABE中，AB = √10，AE = 2√2，BE = √2，
∵ AB2 = AE2 +BE2 ，
∴ ∠AEB = 90∘ ，
–
AE 2√2
∴ tan∠ABE = = – = 2．
BE √2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 二次函数的初步认识
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】−2
练1.1 【答案】a ≠ 2
练1.2 【答案】0
例2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】C
(3【) 答案】5
【解析】解：∵y=(2-m)x |m|-3 是二次函数,∴|m|-3=2,解得m=5或m=-5,
∵抛物线图象开口向下,∴2-m<0,解得m>2,∴m=5,
故答案为：5．
45/87
(4【) 答案】a > a > a
1 2 3
练2.1 【答案】C
练2.2 【答案】D
1
【解析】四个选项中二次项系数的绝对值依次为： ，3，1，6，
5
1
∵ ＜1＜3＜6，
5
∴四个抛物线中开口最小的是：y = 6x2 ．故选D．
例3 【答案】
y = x2 +2 y = x2 −2
开口方向 向上 向上
对称轴 x = 0 x = 0
顶点坐标 (0,2) (0,−2)
当x < 0时，y随x增大而减小； 当x < 0时，y随x增大而减小；
增减性
当x ≥ 0时，y随x增大而增大 当x ≥ 0时，y随x增大而增大
最值 x = 0时，有最小值，最小值为2 x = 0时，有最小值，最小值为−2
【解析】解析解析解析
练3.1 【答案】(0,−1)；x = 0；> 0；< 0；0 ；大；−1
练3.2 【答案】(0,−1)；x = 0；< 0；> 0；0；小；−1
例4 【答案】C
练4.1 【答案】C
46/87
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 二次函数的初步认识
自我巩固答案
1 【答案】B
【解析】根据二次函数的定义，得m−2 ≠ 0，即m ≠ 2
∴当m ≠ 2时，函数y = (m−2)x2 +4x−5（m是常数）是二次函数．故选B．
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】B
7 【答案】B
【解析】（1）y = 2x2 开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y = −2x2 开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y = 2x2 +1开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为(0,1)．
故选：B．
8 【答案】D
9 【答案】A
2
【解析】y = (x+2) 的对称轴为x = −2，A正确；
y = 2x2 −2的对称轴为x = 0，B错误；
y = −2x2 −2的对称轴为x = 0，C错误；
2
y = 2(x−2) 的对称轴为x = 2，D错误．
故选：A．
1
10 【答案】函数y = x2 −3的对称轴为x = 0，顶点坐标为(0,−3)；
3
1
函数y = x2 的对称轴为x = 0，顶点坐标为(0,0)．
3
47/87
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 二次函数的初步认识
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】A
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 二次函数的初步认识
精选精练
1 【答案】0
2 【答案】−1
【解析】∵m2 −m = 2
∴m = 2或m = −1
∵m−1 ≠ 0
∴m ≠ 1
∴当m = 2或−1时，这个函数都是二次函数，
48/87
∵m−1 < 0，m < 1
∴m = −1．
3 【答案】>
【解析】根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数绝对值越大，开口越小，故
m > n，答案为>．
4 【答案】D
5 【答案】C
【解析】A、根据一次函数得出a < 0，b > 0，根据二次函数得出a > 0，则a的取值互相矛盾，故
本选项错误；
B、根据一次函数得出a > 0，b < 0，根据二次函数得出a > 0，则ab < 0，故本选项错
误；
C、根据一次函数得出a < 0，b < 0，根据二次函数得出a < 0，则ab > 0，故本选项正
确；
D、根据一次函数得出a < 0，b > 0，根据二次函数得出a < 0，则ab < 0，故本选项错
误；
故选：C．
6 【答案】D
【解析】A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2 < 0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m > 0，由直线可知，−m > 0，错
误；
C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m < 0，由直线可知，−m < 0，错
误；
D、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m < 0，由直线可知，−m > 0，正
确，
故选：D．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质
例题练习题答案
49/87
例1 【答案】开口向上，对称轴为x = 1，
顶点坐标为(1,2)；
x < 1时，递减；
x > 1时，递增；
x = 1时，有最小值为2．
练1.1 【答案】开口向下，对称轴为x = 1，
顶点坐标为(1,2)；
当x > 1时，y随x的增大而减小；
当x < 1时，y随x的增大而增大；
练1.2 【答案】C
【解析】∵a = 2 > 0，
∴抛物线开口方向向上；
2
∵二次函数解析式为y = 2(x+2) −1，
∴顶点坐标为(−2,−1)，对称轴x = −2．
故选：C．
例2 【答案】(−2,−3)
x = −2
< −2
> −2
−2
50/87
小
−3
练2.1 【答案】(2,5)
练2.2 【答案】C
【解析】①③④正确，故选C
例3 【答案】y = 2(x−1) 2 −3；(1,−3)；x = 1.
练3.1 【答案】D
【解析】∵y = x2 −4x+7 = (x−2) 2 +3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）．
练3.2 【答案】(−1,−2)
例4 【答案】向下;
x = 2；
(2,3)
x < 2
练4.1 【答案】(1)开口向上，对称轴为x = −3，顶点坐标为(−3,−10)；
(2)x > −3；
(3)x = −3，y有最小值，最小值为−10．
2
【解析】把函数变形为y = 4(x+3) −10即可求出．
练4.2 【答案】−1
例5 【答案】D
【解析】A是顶点纵坐标，不是Δ
练5.1 【答案】A
练5.2 【答案】四
【解析】根据图象得：a < 0，b > 0，c > 0 ，
故一次函数y = bx+c的图象不经过第四象限．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质
自我巩固答案
1 【答案】D
51/87
2 【答案】A
2
【解析】由y = 2(x−3) +1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,1)．
故选：A．
3 【答案】D
【解析】A、a = 2 > 0，则函数开口向上，故正确；
B、对称轴是x = 1，故正确；
C、顶点坐标是(1,−3)，故正确；
D、最小值是−3，故错误．
4 【答案】C
2
【解析】∵二次函数y = 2(x−3) −2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(3,−2)，对称轴为x = 3，
∴当x ≤ 3时，y随x的增大而减小，
故①、②、④正确，
令x = 0可得y = 16，故图象与y轴的交点坐标为(0,16)，
故③不正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
5 【答案】B
6 【答案】A
7 【答案】C
1 1
8 【答案】∵y = x2 −4x+5 = (x−4) 2 −3，
2 2
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x = 4，顶点坐标是(4,−3)．
【解析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
9 【答案】C
10 【答案】A
【解析】开口判断 ；对称轴 ，则 ；令 ， ；故选A
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质
课堂落实答案
52/87
1 【答案】C
2
【解析】二次函数y = (x−1) +1的图象的顶点坐标是(1,1)．
故选：C．
2 【答案】D
3 【答案】D
4
(1【) 答案】∵y = −x2 +4x−6 = −(x2 −4x) −6 = −(x2 −4x+22 −4) −6
2
= −(x−2) −2
2 2
故二次函数写成y = a(x+h) +k的形式为：y = −(x−2) −2；
【解析】根据配方法的操作整理即可得解；
(2【) 答案】a = −1 < 0，图象开口向下，对称轴x = 2，所以当x > 2时，y随x的增大而减
小．
【解析】由a = −1 < 0利用二次函数的性质即可得出：当x > 2时，y随x的增大而减小，此
题得解．
5 【答案】C
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质
精选精练
1 【答案】D
2 【答案】C
【解析】∵抛物线的顶点(−m,n)在第四象限，
∴−m > 0，n < 0，
∴m < 0，
∴一次函数y = mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选：C．
3 【答案】C
【解析】①∵抛物线的开口向上，∴a > 0，
∵与y轴的交点在y轴负半轴上，∴c < 0，
53/87
∴ac < 0，故①正确；
②∵对称轴在y轴的右侧，
b
∴− > 0，
2a
∵a > 0，
∴b < 0，故②错误；
③当x = −1时，y = a−b+c > 0，故③正确．
故选：C．
4 【答案】B
【解析】∵a > 0，
∴开口方向向上，
∵b < 0，a > 0，
b
∴对称轴x = − > 0，
2a
∵c = 0，
∴此函数过原点．
∴它的图象经过一，二，四象限．
故选：B．
5 【答案】B
【解析】∵开口向上，
∴a > 0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c < 0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b > 0，
∴bc < 0，
∴一次函数y = ax+bc的图象不经过第二象限．
故选：B．
6 【答案】A
b
【解析】 A、由抛物线可知，a < 0，x = − < 0，得b < 0，由直线可知，a < 0，b < 0，
2a
故本选项正确；
B、由抛物线可知，a > 0，由直线可知，a < 0，故本选项错误；
b
C、由抛物线可知，a > 0，x = − > 0，得b < 0，由直线可知，a > 0，b > 0，故
2a
本选项错误；
54/87
D、由抛物线可知，a > 0，由直线可知，a < 0，故本选项错误．
故选：A．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数求解析式与平移
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】y = −3x2 +4x−1
(2【) 答案】y = x2 −2x−3
(3【) 答案】y = 2x2 −3x+5
练1.1 【答案】y = −x2 +2
y轴
(0,2)
练1.2 【答案】y = −x2 +4x+5
例2
(1【) 答案】y = 2x2 −8x+11
(2【) 答案】y = 2x2 −12x+22
5 5 3
(3【) 答案】y = − x2 − x+
4 2 4
练2.1 【答案】D
【解析】二次函数 ，其图象的顶点为 ，可知 和 ，故选D．
练2.2 【答案】设二次函数的解析式为y = a(x+1) 2 −3，
把(1,5)代入得a×4−3 = 5，解得a = 2，
2
所以二次函数的解析式为y = 2(x+1) −3．
1 81
例3 【答案】y = x2 −x−20，顶点 ,− ．
(2 4 )
【解析】两点 和 ，解析式可设为 ，再将点 代入得解析式为
，顶点
练3.1 【答案】y = −x2 −2x+3
55/87
【解析】设抛物线解析式为y = a(x+3)(x−1)，
把C (0,3)代入得a×3×(−1) = 3，解得a = −1，
所以抛物线解析式为y = −1(x+3)(x−1)，即y = −x2 −2x+3．
练3.2 【答案】A
例4 【答案】y = −x2 +6x−8
【解析】根据题意得抛物线的对称轴为直线x = 3，
而抛物线与x轴两交点之间的距离为2，
所以抛物线与x轴的两交点坐标为(2,0)，(4,0)，
设抛物线解析式为y = a(x−2)(x−4)，
把(3,1)代入得a×1×(−1) = 1，解得a = −1，
所以抛物线的解析式为y = −(x−2)(x−4)，即y = −x2 +6x−8．
练4.1 【答案】根据题意可知二次函数过(4,−3)，(7,0)，(1,0)．
1
2
设y = a(x−4) −3，则9a−3 = 0，解得a = ，
3
1 8 7
所以这个二次函数的解析式为y = x2 − x+ ．
3 3 3
1 3
练4.2 【答案】y = x2 +x−
2 2
例5
(1【) 答案】D
(2【) 答案】b = 2，c = 0．
【解析】把y = x2 −2x−3向上移动3个单位，再向左平移2个单位长度得到y = x2 +2x．
练5.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】C
练5.2 【答案】C
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数求解析式与平移
自我巩固答案
1 【答案】C
56/87
2 【答案】D
【解析】点 ， 代入 ，故选D
3 【答案】C
4 【答案】B
5 【答案】B
6 【答案】B
1
【解析】设抛物线解析式为y = ax−32 −1，把（0，﹣4）代入解得a = − ，所以抛物线解析
3
1 1
式为y = − x−32 −1 = − x2 +2x−4．
3 3
7 【答案】A
【解析】交点为 和 ，解析式可设为 ，题干解析式比较可知 ，故
选A
8 【答案】解析式为y = −x2 +2x+8，顶点坐标为(1,9)
9 【答案】A
10 【答案】D
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数求解析式与平移
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】C
3 【答案】C
2 10 8
4 【答案】y = x2 − x+
9 9 9
5 【答案】A
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数求解析式与平移
精选精练
57/87
1 1 1 3
1 【答案】y = x2 − x+2 或 y = − x2 + x+2
8 4 8 4
【解析】∵点C在直线x = 2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x = 1或x = 3，
当对称轴为直线x = 1时，设抛物线解析式为y = a(x−1)2 +k，
将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，
a+k = 2
则 ，
{9a+k = 3
a = 1
8
解得 ，
{k = 15
8
1 15 1 1
所以，y = (x−1)2 + = x2 − x+；2
8 8 8 4
当对称轴为直线x = 3时，设抛物线解析式为y = a(x−3)2 +k，
将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，
9a+k = 2
则 ，
{a+k = 3
a = −1
8
解得 ，
{k = 25
8
1 25 1 3
所以，y = − (x−3)2 + = − x2 + x+2，
8 8 8 4
1 1 1 3
综上所述，抛物线的函数解析式为y = x2 − x+2或y = − x2 + x+2．
8 4 8 4
2
(1【) 答案】y = −x2 +2x+3
1 5
(2【) 答案】y = x2 −3x+
2 2
3
(1【) 答案】y = x2 −6x+8
1 1
(2【) 答案】y = − x2 + x或y = x2 +x
3 3
4 【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为y轴，
∴b = 0.
又∵抛物线过点(0,−4)，
∴c = −4.
∴抛物线的解析式为y = x2 −4；
（2）当x = −2时，y = x2 −4 = 0，
1
当x = 3时，y = x2 −4 = 5，
2
∴y ＜y ．
1 2
58/87
故答案为＜．
【解析】（1）利用对称轴方程可得b=0，利用抛物线与y轴的交点可得到c的值，于是可确定抛物线
解析式；
（2）把点（2，y ）与（3，y ）都代入（1）中的解析式计算出y 和y 的值，然后比较
1 2 1 2
大小．
5
16+4b+c = 3
(1【) 答案】 将 (4,3) ， (3,0) 代 入 y = x2 +bx+c， 得 ， 解 得 ：
{9+3b+c = 0
b = −4
；
{c = 3
(2【) 答案】二次函数y = x2 −4x+3 = (x−2) 2 −1，则顶点坐标为(2,−1)，对称轴是直线
x = 2，如图，
2
【解析】把二次函数的解析式配成顶点式y = (x−2) −1，然后确定顶点坐标和对称轴，再
画出函数图象；
(3【) 答案】将该函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y = x2 的图象．
【解析】把顶点(2,−1)移到原点即可．
6
(1【) 答案】由“左加右减”的原则可知，将抛物线y = −x2 向左平移3个单位所得直线的解析式
2
为：y = −(x+3) ；
2
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y = −(x+3) 向上平移4个单位所得抛物线
2
的解析式为：y = −(x+3) +4．
2
故平移后的抛物线的函数关系式是：y = −(x+3) +4．
【解析】分别根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；
(2【) 答案】顶点坐标A(−3,4)
2
令 y = −(x+3) +4 = 0，
解得x
1
= −1，x
2
= −5．
59/87
∴C(−1,0)， B(−5,0)，CB = 4．
1
∴S
ΔABC
= CB×4 = 8．
2
【解析】在解析式中令y = 0，求得x的值，即可求得B和C的横坐标，则BC的长即可求得，然
后根据三角形的面积公式即可求得．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 垂径定理
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】①②⑤
(2【) 答案】C
练1.1 【答案】B
【解析】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是
圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假
命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把
圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的
弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两
个．故选：B．
练1.2 【答案】C
【解析】半径相等的圆是等圆，所以①正确；
长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③正确；
半径相等的两个半圆是等弧，所以④正确．
故选C．
例2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】36∘ ，54∘ ．
练2.1
60/87
(1【) 答案】D
(2【) 答案】29∘ ，58∘ ．
练2.2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】28∘
例3 【答案】B
练3.1 【答案】C
练3.2 【答案】D
例4 【答案】A
【解析】∵OC⊥AB，
1 1
∴AD=BD= AB= ×8=4，
2 2
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
−−−−−−−−−−
∴OD=
OA2 −AD2
=3，
√
∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．
练4.1 【答案】D
练4.2 【答案】D
【解析】连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径CD=10，
∴OA=5，
∵弦AB=8，AB⊥CD，
1 1
∴AM= AB= ×8=4，
2 2
在Rt△AOM中，
−−−−−−−−−−
−−−−−−
OM=
OA2 −AM2 =√52 −42
=3，
√
∴DM=OD+OM=5+3=8；
例5 【答案】D
61/87
【解析】解：连接OC，根据题意，
1
CE= CD=6，BE=2．
2
在Rt△OEC中，
设OC=x，则OE=x2，
故：（x−2） 2 +62 =x2
解得：x=10
即直径AB=20．
故选：D．
练5.1 【答案】C
【解析】连接OA，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣3，
∵半径OD与弦AB互相垂直，AB=8，
1
∴AC= AB=4．
2
25
2 2 2 2 2 2
在Rt△AOC中，OA =OC +AC ，即r =（r﹣3） +4 ，解得r= ．
6
练5.2 【答案】A
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 垂径定理
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】B
【解析】①④正确，故选B
3 【答案】D
4 【答案】B
【解析】 ，故选B
5 【答案】D
62/87
【解析】
PA2＋PB2＝AB2，
又因为四边形PAOB是矩形，
则有AB＝OP，
所以可知PA2＋PB2＝25，
故选D．
6 【答案】A
7 【答案】A
8 【答案】B
【解析】连接OD，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD=2DE．
∵AE=8，BE=2，
∴⊙O的半径=5，
∴OE=5﹣2=3，
在Rt△ODE中，
∵OE=3，OD=5，
−−−−−−
∴DE=√52 −32
=4，
∴CD=2DE=8．
9 【答案】A
10 【答案】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，
∴PE = AE，PF = BF，
1
∴EF为△ABP的中位线，EF = AB = 5．
2
能力提高 / 初三 / 暑假
63/87
第 12 讲 垂径定理
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】解：连接OA，连接OC交AB于点D，
设⊙O的半径为r．
⌢
∵C是AB的中点，AB = 8，
1
∴OC⊥AB，AD = AB = 4，
2
–
在Rt△ACD中，AC2 = AD2+CD2 ，AC = 2√5，解得CD = 2．
在Rt△AOD中，r2 = AD2+(r−2) 2 ，解得r = 5．
∴⊙O的半径的长为5．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 垂径定理
精选精练
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】2.5
64/87
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆周角定理
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】44∘
(3【) 答案】40∘
(4【) 答案】5
练1.1
(1【) 答案】30∘
(2【) 答案】12.5∘
(3【) 答案】50∘
练1.2
(1【) 答案】30∘
(2【) 答案】40∘
例2
(1【) 答案】120∘
(2【) 答案】100∘
练2.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】30°或150°
练2.2
(1【) 答案】120∘
65/87
(2【) 答案】120°或60°
例3 【答案】解：（1）如图，连接OB，OC．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC = 90∘ ，
1
∴∠BPC = ∠BOC = 45∘ ；
2
（2）由（1）得∠BOC = 90∘ ，则在Rt△BOC中， OB2 +OC2 = BC2 ，
又∵OB = OC = 8，
–
∴BC = 8√2．
–
∴正方形ABCD的边长为8√2．
练3.1 【答案】解：如图，连接OB，OA．
∵∠BCA = 45∘ ，
∴∠BOA = 90∘ ，
∴在Rt△BOA中，OB2 +OA2 = AB2 ，
又∵OB = OA，AB = 2，
–
∴OB = OA = √2．
–
∴⊙O的半径为√2．
练3.2 【答案】D
例4
(1【) 答案】70∘
(2【) 答案】证明：∵ AB = BC = CD，DE = EF = FA
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
∴AB +AF = CD+DE
1
= ×360∘ = 120∘
3
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
即BF = CE = BC +EF = 120∘
66/87
⌢ ⌢
∴BDF = CAE = 240∘
∴∠BAF = ∠CDE = 120∘
练4.1 【答案】C
【解析】连接CO，如图：
∵在⊙O中，AB = AC，
ˆ ˆ
∴∠AOC = ∠AOB，
∵∠AOB = 40∘ ，
∴∠AOC = 40∘ ，
1
∴∠ADC = ∠AOC = 20∘ ，
2
故选：B．
练4.2 【答案】AD = BC
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆周角定理
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】C
【解析】连结CB，可知 ，由直径所对应的圆周角等于180°，可知弦BC为直径，可知
，故选C．
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】C
8 【答案】A
67/87
【解析】∵∠ACB = 90∘ ，∠A = 56∘ ，
∴∠ABC = 34∘ ，
∵CE = CD，
ˆ ˆ
∴2∠ABC = ∠COE = 68∘ ，
又∵∠OCF = ∠OEF = 90∘ ，
∴∠F = 360∘ −90∘ −90∘ −68∘ = 112∘ ．
故选：C．
9 【答案】C
10 【答案】解：连接CB，CO，DO，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘
，
又∵∠P=75∘
，
∴∠PBC = 15°
1
又∵∠PBC= ∠COD，
2
∴∠COD=30∘
．
⌢
∴CD所对的圆心角的度数为30∘
．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆周角定理
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】C
68/87
4 【答案】B
5 【答案】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = ∠ADB = 90∘ ，
∵AB = 10，AC = 6，
−−−−−−−−−−
∴BC = AB2 −AC2 = 8．
√
∵CD平分∠ACB，
⌢ ⌢
∴AD = BD，AD = BD．
−−−−−
AB2
–
∴AD = BD = = 5√2．
√ 2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆周角定理
精选精练
1 【答案】75
2 【答案】B
3 【答案】D
4 【答案】B
5 【答案】B
6 【答案】解：（1）∵AB＝BC＝CD＝DE
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
∴AB = BC = CD = DE
⌢ ⌢
∴BCDE = ABCD
∴∠A＝∠E
又∵AB∥ED
∴∠A+∠E＝180∘
∴∠A＝∠E＝90∘
；
（2）①CH平分∠BCD；
②CH∥BA；
③CH∥DE；
④CH⊥AE；
⌢ ⌢
⑤AH = EH
69/87
⑥AG＝EG等．
（写出其中4条即可）
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 概率
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】5
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】C
例2
(1【) 答案】B
(2【) 答案】D
(3【) 答案】D
【解析】解析：如图所示：
小张从进入到离开共有8种可能的进出方式，不从同一个验票口进出的情况有6种，
6 3
∴P(小张不从同一个验票口进出)= = ．
8 4
(4【) 答案】B
练2.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】A
【解析】解：画树状图如下：
70/87
由树状图可知，所有可能的情况共有12种，且它们出现的可能性相等，其中抽到1班
2 1
和2班的可能性有2种，故恰好抽到1班和 2班的概率是 P = = .
12 6
练2.2 【答案】A
【解析】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
6 1
∴小灯泡发光的概率为： = ．
12 2
例3 【答案】解：（1）同学甲的方案不公平．
理由如下：
由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一红一白”有4种，摸到“一白一蓝”有2种，
4 1 2 1
故小刚获胜的概率为 = ，小明获胜的概率为 = ，所以这个游戏不公平．
12 3 12 6
（2）拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了．
练3.1
(1【) 答案】解：画树状图如下：
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为8的结果有3种，
1
因此P(两数和为8)=
3
(2【) 答案】答：这个游戏规则对双方不公平．理由如下：
71/87
4 5 4 5
∵ P(和为奇数)= ，P(和为偶数)= ，而 ≠ ，
9 9 9 9
∴这个游戏规则对对方是不公平的．
练3.2 【答案】解：（1）列表得：
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
∴一共有36种等可能的结果；
（2）这个游戏对他们不公平，
理由：由上表可知，所有可能的结果有36种，并且它们出现的可能性相等，
6 1
而P(两次掷的骰子的点数相同) = = ；
36 6
5
P(两次掷的骰子的点数之和是6) = ，
36
∴这个游戏对他们不公平．
【解析】（1）列表得：
∴一共有36种等可能的结果，
（2）这个游戏对他们不公平，
理由：由上表可知，所有可能的结果有36种，并且它们出现的可能性相等，
6 1
而P（两次掷的骰子的点数相同）＝ = ；
36 6
72/87
5
P（两次掷的骰子的点数的和是6）＝ ，
36
∴不公平．
例4 【答案】C
练4.1 【答案】B
练4.2 【答案】B
例5 【答案】A
练5.1 【答案】A
练5.2 【答案】A
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 概率
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】D
4 【答案】B
5 【答案】A
6 【答案】B
1
7 【答案】解：（1）P(爸爸出“石头”)= ；
3
（2）画树状图如下：
1
共有9种等可能的情况，其中妈妈获胜的有3种，故妈妈获胜的概率为 ．
3
8 【答案】C
9 【答案】B
【解析】∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖，
4 1
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值= = ，
16 4
1
∴它停在黑色区域的概率是 ．
4
10 【答案】B
73/87
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 概率
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】D
9
【解析】根据题意得 = 30%，解得n = 30，
n
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
4 【答案】A
5 【答案】解：这个游戏对双方是公平的．
如图，
∴一共有6种情况，和小于4的有3种，
3 1
∴P(两次指针所指数字之和小于4)= = ，
6 2
∴这个游戏对双方是公平的．
【解析】这个游戏对双方是公平的．
如图，
∴一共有6种情况，和大于4的有3种，
3 1
∴P（和大于4）= = ，
6 2
∴这个游戏对双方是公平的．
74/87
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 概率
精选精练
1 【答案】B
2 【答案】B
【解析】小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，所有的可能性是：
（剪刀，剪刀）、（剪刀，石头）、（剪刀，布）、（石头，剪刀）、（石头，石头）、
（石头，布）、（布，剪刀）、（布，石头）、（布，布），
∵共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，
布）．
3 1
∴小强和小华平局的概率为： = ．
9 3
故选：B．
3 【答案】25
2
【解析】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，口袋中有10个白球，
7
∴假设有x个红球，可得：
10 2
= ，
x+10 7
解得：x = 25，
∴口袋中有红球约25个．
故答案为：25．
4 【答案】解：不妨设这三道单项选择题的答案依次为：BAC，列树状图表示小明答这三道题的所有
可能的结果为：
∴一共有12种情况，其中小明三题全错的有2种情况，答对了两道题的有4种情况，
4 1
则：P(小明只答对两道题)= = ，
12 3
2 1
P(小明三题全错)= = ，
12 6
75/87
∴P(小明只答对两道题)> P(小明三题全错)，
∴小明三题全错的概率比他答对了两道题的概率小．
1
5 【答案】
4
【解析】根据正方形的性质易证：图中正方形对角线将正方形分成的四个三角形均为等底等高的三
1
角形，它们的面积相等，均为正方形面积的 ；
4
根据轴对称性质易证，阴影区域的面积与上述分割方法获得的一个三角形的面积相等，故
1
针头扎在阴影区域的概率为 ．
4
1
故答案为： ．
4
6 【答案】解：选择A转盘．理由如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，A转盘的数字大于B转盘数字的有5种情况，A转盘的数字小于B
转盘数字的有4种情况，
5 4
∴P(A转盘数字较大)= ，P(A转盘数字较小) = ，
9 9
∴选择A转盘的获胜概率更大，应选A转盘．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】B
【解析】该题考查的是二次函数的图形变换．
抛物线y = 2x2 的图象先向右平移2个单位，解析式变为y = 2(x−2) 2 ，
2
再向上平移3个单位，解析式变为y = 2(x−2) +3，
故选B．
2 【答案】D
3 【答案】B
【解析】本题考查的是垂径定理．
76/87
∵直径AB⊥弦CD且∠D = 30∘ ，
1 1
∴在Rt△BED中，根据30∘ 所对直角边等于斜边一半可知，BE= BD = ×2 = 1，
2 2
−−−−−−−−−− −−−−−− –
再根据勾股定理得ED=√BD2 −BE2 = √22 −12 = √3，
连结OD，设圆的半径为r，
∴OE = r−1，OD = r，BE = 1，
∴在Rt△OED中，根据勾股定理，
∴r2 = (√3 – ) 2 +(r−1) 2 ，
∴r = 2，OE = r−1 = 2−1 = 1
∴AE = r+OE = 2+1 = 3，故答案是B．
4 【答案】A
5 【答案】C
【解析】该题考察正弦值的计算和勾股定理．
正弦值是直角三角形中锐角的对边比斜边的值，即= ．
CD
∴sinA = ．
AC
∵在Rt△ADC中，AD = 4，CD = 2
−−−−−−−−−− –
∴根据勾股定理可得AC = √AD2 +CD2 = 2√5．
–
2 √5
∴sinA = – = ．
2√5 5
6 【答案】B
【解析】该题考察的是反比例函数的解析式．
设点P的坐标为(x,y)(x < 0)，且在反比例函数上．
∵矩形PEOF的面积为3，即−x⋅y = 3
3
∴y = − ．故选B
x
7 【答案】A
77/87
8 【答案】B
9 【答案】D
【解析】该题考查的是二次函数的性质．
A．由二次函数的图象开口向下可得a < 0，故选项A错误；
B．由抛物线与y轴交于x轴上方可得c > 0，故选项B错误；
C．由抛物线与x轴有两个不同交点可以看出方程ax2 +bx+c = 0的根的判别式应
满足
Δ = b2 −4ac > 0，故选项C错误；
#x200eD．把x = 1代入方程y = ax2 +bx+c得y = a+b+c，由函数图象可以看出
当x = 1时二次函数的值为正，故D正确．
答案选D．
10 【答案】C
【解析】∵ ⊙O是ΔABC的外接圆，∠BOC = 120∘，
1 1
∴ ∠BAC = ∠BOC = ×120∘ = 60∘．
2 2
11 【答案】25
12 【答案】y = x2 +4x+3
3 –
13 【答案】3− √2
2
【解析】该题考查的是解特殊直角三角形．
△ABC是等腰直角三角形；△EDC是含30°的直角三角形，
∵CB = 3，
−−−−−−−−−−
−−−−−− –
∴AB = ED = CB2 +AC2 = √32 +32 = 3√2，
√
–
1 – 1 3√3
CD = ED = 3√2× = ，
2 2 2
–
3√3
∴BD = BC −CD = 3− ．
2
14 【答案】−1
15 【答案】2或−2
【解析】如图所示：
–
√3
∵点A与双曲线y= 上的点B重合，点B的纵坐标是1，
x
–
∴点B的横坐标是√3，
−−−−−−−−−
∴OB= 12 +(√3 – ) 2 =2，
√
∵A点可能在x轴的正半轴也可能在负半轴，
∴A点坐标为：（2，0），（﹣2，0）．
78/87
16 【答案】x = 1.5或x = 2．
【解析】该题考查的是解一元二次方程
−− −−
17 【答案】x
1
= 4+√15；x
2
= 4−√15．
【解析】x2 −8x = 1，
x2 −8x+42 = −1+16
(x−4)2 = 15，
−−
x−4 = ±√15，
−− −−
所以x
1
= 4+√15，x
2
= 4−√15．
1
18 【答案】x = − ．
3
【解析】解：去分母得：1+x=3x-x 2 +2-2x 2 ，
1
解得：x =1，x =- ，
1 2
3
经检验x =1是增根，舍去，
1
1
则原方程的解是x=- ．
3
19 【答案】∵抛物线y = −x2 +bx+c过点(0,−3)和(2,1)，
c = −3 b = 4
∴ 解得 ，
{ −4+2b+c = 1 {c = −3
抛物线的解析式为y = −x2 +4x−3．
令y = 0，得−x2 +4x−3 = 0，
即x2 −4x+3 = 0，解得x
1
= 1，x
2
= 3，
抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(3,0)．
k
20 【答案】 （1）设反比例函数的解析式为y = ，
x
∵图象经过点P (2,−3)，
∴k = 2×(−3) = -6，
6
∴反比例函数的解析式为y = − ；
x
（2）∵点P沿x轴负方向平移3个单位，
∴点P′的横坐标为2﹣3=﹣1，
79/87
6
∴当x=﹣1时，y = − = 6，
−1
∴n=6﹣（﹣3）=9，
∴沿着y轴平移的方向为正方向．
21 【答案】（1）将x = 3代入，得y = 1即LA = 1，
–
从而LR = √3．
（2）将x = 6代入，得y = 3即LB = 3，
–
从而tan∠BRL = √3．
k 3
22 【答案】 （1）由题设y = ，把(−2,−3)代入，得k = 3，∴y =
x+1 x+1
1
（2）把x = 代入解析式，得y = 2．
2
23 【答案】y = 2x−8．
【解析】此题主要考查了一次函数图象的几何变换，关键是掌握一次函数图象平移后k值不变．
根据上面例题可在直线y = 2x−3上任取一点A(0,−3)，由题意算出A向右平移3个单
位，再向上平移1个单位得到A′点坐标，再设平移后的解析式为y = 2x+b，再把A′点坐标
代入解析式即可．
在直线y = 2x−3上任取一点A(0,−3)，由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个
单位得到A′ (3,−2)，
设平移后的解析式为y = 2x+b，
则A′ (3,−2)在y = 2x+b的解析式上，
−2 = 2×3+b，
解得：b = −8，
所以平移后的直线的解析式为y = 2x−8．
24 【答案】（1）解：由折叠的性质可得，△BMN≌△PMN．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A = ∠D = 90∘ ，AB = CD = 2．
在Rt△ABM中，AM = y，AB = 2，BM2 = 4+y2 ．
在Rt△MPD中，MD = 3−y，DP = 2−x，MP2 = (3−y) 2 +(2−x) 2 ．
∵BM = MP，
1 2 3
∴4+y2 = (3−y) 2 +(2−x) 2 ，化简得y = x2 − x+ ．
6 3 2
（2）解：∠BMP可以等于90°．
若∠BMP = 90∘ ，则∠AMB+∠DMP = 90∘
又∠AMB+∠ABM = 90∘ ，
∴∠ABM = ∠DMP，
80/87
又BM = MP，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴DM = AB = 2，
∴DP = AM = 3−2 = 1，
∴CP = CD−DP = 2−1 = 1．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 16 讲 【补充选讲】】矩形基础
例题练习题答案
例1 【答案】C
练1.1 【答案】A
练1.2 【答案】4
【解析】∵ AE⊥BD，∠BAE = 30∘ ，
∴ AB = 2BE = 2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD = 90∘ ，
∴ ∠BDA = ∠BAE = 30∘ ，
∴ BD = 2AB = 4，
故答案为：4．
例2 【答案】12
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ OA = OC，OB = OD，AC = BD，
∴ OA = OB，
∵∠AOD = 120 °，AB = 6，
∴ ∠AOB = 60∘ ，△OAB是等边三角形，
∴ OA = OB = AB = 6，
∴AC = 12；
81/87
练2.1 【答案】18∘
练2.2 【答案】证明：在矩形ABCD中，AC = BD，AD∥BC．
又∵CE∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
∴BD = EC，
∴AC = CE．
例3 【答案】6
练3.1 【答案】48
练3.2 【答案】证明：∵BD、CE是△ABC的两条高
∴△BCD、△BCE都是直角三角形
连接DM、EM
因为M、N分别是BC、DE的中点
即DM、EM分别为Rt△BCD、Rt△BCE的斜边中线
1
∴EM = DM = BC
2
所以△EMD为等腰三角形
又∵N为DE中点，由等腰三角形三线合一可知
∴MN⊥DE
例4 【答案】AB⊥BC(答案不唯一)
练4.1 【答案】B
【解析】能判定四边形ABCD是矩形的条件为：对角线互相平分．
理由如下：∵ AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵ AC = BD，
∴ ABCD是矩形．
其它三个条件再加上AC = BD均不能判定四边形ABCD是矩形．
故选：B．
练4.2
(1【) 答案】D
(2【) 答案】∵∠ABC = ∠BCD = 90∘
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
AC = DB
{BC = CB
82/87
∴Rt△ABC≌Rt△DCB
∴AB = DC
又∵∠ABC = ∠BCD = 90∘
∴AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC = BD
∴四边形ABCD是矩形
例5 【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
则EB∥DF
∵DF = BE
∴四边形BFDE为平行四边形
∵DE⊥AB
∴四边形BFDE为矩形
【解析】由平行四边形的性质和DF = BE，先证明四边形BFDE为平行四边形，再证明四边
形BFDE为矩形．
练5.1 【答案】证明：∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB．
∵∠CAM是△ABC外角，
∴∠MAC = ∠B+∠ACB．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
1
∴∠MAE = ∠MAC．
2
∴∠MAE = ∠B，
∴AN∥BC．
∵AB = AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADC = 90∘ ．
又∵AN∥BC，
∴∠DAE = 180∘ −∠ADC = 90∘ ．
∵CE⊥AN，
∴∠AEC = 90∘ ．
83/87
∵∠AEC = 90∘ ，∠DAE = 90∘ ，∠ADC = 90∘ ，
∴四边形ADCE为矩形．
【解析】∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
1
∴∠MAE= ∠MAC，
2
∵∠MAC=∠B+∠ACB，AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
练5.2
(1【) 答案】证明：□ABCD中，AB = CD且AB∥CD
又∵AE = AB
∴AE = CD，AE∥CD
∴四边形ACDE是平行四边形
(2【) 答案】证明：∵□ABCD中，AD∥BC
∴∠EAF = ∠B
∵∠AFC = ∠EAF +∠AEF
∠AFC = 2∠B
∴∠EAF = ∠AEF
84/87
∴AF = EF
∵平行四边形ACDE中AD = 2AF
EC = 2EF
∴AD = EC
∴平行四边形ACDE是矩形
能力提高 / 初三 / 暑假
第 17 讲 【补充选讲】菱形与正方形
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】D
练1.2 【答案】B
例2 【答案】B
练2.1 【答案】B
–
练2.2 【答案】18√3
例3 【答案】C
练3.1 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AEG = ∠BFG，
∵ EF垂直平分AB，
∴ AG = BG，
又∠AGE = ∠BGF，
∴△ AGE≌△ BGF(AAS)；
∴ AE = BF，
∵ AD//BC，
∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵ EF⊥AB，
∴四边形AFBE是菱形．
练3.2 【答案】证明：∵纸片ABCD、BFDE是两个完全相同的矩形，
∴BC//AD，BE//DF，
85/87
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵∠ABM +∠MBN = 90∘ ，
∠MBN +∠FBN = 90∘ ，
∴∠ABM = ∠FBN．
在矩形纸片ABCD、BFDE中，
∵∠A = ∠BFN = 90∘ ，AB = BF
∴△ ABM≌△ FNB(ASA)．
∴BM = BN，
∴四边形BNDM是菱形．
例4 【答案】B
【解析】
练4.1 【答案】C
练4.2 【答案】2
例5 【答案】解：如图连接AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ACB = 45∘ ，
∵ FE⊥AC，
∴ ∠AEF = ∠CEF = ∠B = 90∘ ，
∴ ∠ECF = ∠EFC = 45∘ ，
∴ EF = CE，
在Rt △ AFE和Rt △ AFB中，
AF = AF
，
{AE = AB
∴ Rt △ AFE≌Rt △ AFB，
∴ BF = EF = CE，
∴ BF = EC．
练5.1 【答案】C
练5.2 【答案】AE = BF且AE⊥BF．
∵四边形ABCD是正方形，
86/87
∴ AB = BC = CD，∠ABC = ∠BCD = 90∘ ．
在△ ABE与△ BCF中，
AB = BC
⎧⎪∠ABE
= ∠BCF ，
⎨
⎩⎪ BE = CF
∴△ ABE≌△ BCF(SAS)，
∴ AE = BF，∠BAE = ∠CBF．
∵ ∠ABE = 90∘ ，
∴ ∠BAE +∠AEB = 90∘ ，
∴ ∠CBF +∠AEB = 90∘ ，
∴ ∠BGE = 90∘ ，
∴ AE⊥BF．
∴ AE = BF且AE⊥BF．
例6
(1【) 答案】AC⊥BD
(2【) 答案】A
练6.1 【答案】AC=BD
练6.2 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠FAB = ∠ABE = 90∘ ，AF//BE，
∵ EF⊥AD，
∴ ∠FAB = ∠ABE = ∠AFE = 90∘ ，
∴四边形ABEF是矩形，
∵ AE平分∠BAD，AF//BE，
∴ ∠FAE = ∠BAE = ∠AEB，
∴ AB = BE，
∴四边形ABEF是正方形．
87/87
