文档内容
专题
3-3
解三角形
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（四大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·（10-17）分）
命题点1 正弦余弦定理基本应用
命题点2 解三角形中三线问题
命题点3 解三角形中周长面积问题
命题点4 解三角形中最值范围问题
高考猜题
04创新好题·分层训练（ 精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
⃗AB
并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径）
⃗AB
2.变形：1） ．
2）化边为角：a:b:csin A:sinB:sinC；
⃗AB ⃗AB ⃗AB
3）化边为角：⃗AB
⃗AB ⃗AB⃗AB
4）化角为边：⃗AB
5）化角为边：
⃗AB
三角形面积 .
余弦定理： ⃗AB
⃗AB
⃗AB
⃗AB ⃗AB ⃗AB
变形 ：
利用余弦定理判断三角形形状：
设⃗AB、⃗AB、⃗AB是⃗AB的角⃗AB、⃗AB、⃗AB的对边，则：
①若， ，所以 为锐角
②若⃗AB
③若 ， 所以 为钝角，则是钝角三角三角形中常见
的结论
三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三边关系：两边之和大于第三边： ， ， ；
两边之差小于第三边： ， ， ；
在同一个三角形中大边对大角：⃗AB
三角形内的诱导公式：
⃗AB⃗AB⃗AB
⃗
AB
极化恒等式2 2
在△ 中， 是边 的中点，则⃗AB ⃗ AC=|⃗AD| −|⃗DB|.
A
B D C
如图，由
⃗AB ∗⃗ AC= [1 (⃗AB+⃗AC) ] 2 − [1 (⃗AB−⃗AC) ] 2 =⃗AD2− (1 ⃗CB ) 2 =|⃗AD| 2 −|⃗DB| 2 得证.
2 2 2
1
⃗AB ∗⃗AC=(⃗AM) 2− (⃗BC) 2
4
解三角形是新高考中必考点，一般以1+1（一道小题一道解答题） 或者是0+1（只出现一
道解答）形式出现，往往放在解答题前两题，相对难度比较小。
真题多维细目表
考点 考向 考题
① 正弦余 2023全国乙卷T4 全国乙卷T17 2021 全国甲卷T8
弦基本应用
2023新高考甲卷T16 2023新高考Ⅰ卷T17
解三角形
② 解三角
2023新高考Ⅱ卷T17 全国乙卷T18
形中三线问题
甲卷T17
2022乙卷T17 新高考Ⅱ卷T18
③ 解三角
2021全国乙卷T15 2021新高考Ⅱ卷T18
形中周长面积问题
2022全国甲卷 2022年新高考Ⅰ卷T18
④ 解三角
形中最值范围问题命题点2 正弦余弦定理基本应用
典例01 （2023·全国乙卷）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得 的值，
最后利用三角形内角和定理可得 的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
故选：C.
典例02 （2023·全国乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所
以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
命题点2 三角形中三线问题
典例01 （2023·全国甲卷）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出 ，再根据等面积法求出 ；
方法二：利用余弦定理求出 ，再根据正弦定理求出 ，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
典例02 （2023·全国新课标Ι）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【答案】(1) (2)6
【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
对于解三角形中的出现的角平分线问题 ，方法技巧在于用等面积法进行转化，
或者是采用角平分线定理（角平分线定理属于二级结论解答题中需要进行证明，小题中可以直接采用），
对于求高有关的问题也是采用面积等于底乘以高转化成三角形中面积公式。对于中线问题，一般思路是向
量思想，小题中可以采用激化恒等式去求解。
命题点三 解三角形中周长面积问题
典例01 （2023·全国高考乙卷）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
【答案】(1) ；(2) .【分析】(1)首先由余弦定理求得边长 的值为 ，然后由余弦定理可得
，最后由同角三角函数基本关系可得 ；
(2)由题意可得 ，则 ，据此即可求得 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
典例02 ．（2022·全国高考乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
命题点四 解三角形中最值范围问题
典例01 （2022·全国·高考甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ．
【答案】 /
【详解】[方法一]：余弦定理 设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .故答案为： .[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
， ，
， ，
令 ，则 ，
，
，当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
典例02 （2022·全国新高考Ⅰ）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ．
【详解】（1）因为 ，即
，而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
解 三 角形中求边长最值问题一般采用设角把边长转化成关于角的函数，最
后转化成基本不等式或者是关于二次函数去求解。但是对于锐角三角形中，求长度或者是面积范围及问题，
应采用边角转化思想，把边长问题转化成角度问题，再利用二次函数或者是辅助角公式去求解。
预计2024年高考会出现正弦余弦定理的基本应用及面积最值范围相关题目
.1．（23·24上·湖南·模拟预测）在 中， ， ，且 的面积为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理角化边可得 ，再由三角形面积公式可得 ，最后根据余弦定理求解
即可.【详解】设 中角 所对的边分别为 ，
因为 ，所以由正弦定理可得 ，
又 解得 ，
所以由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
故选：D
2．（23·24上·浙江·一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)若点 在边 上， ， ， ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由 可得 ，结合余弦定理列出方程，即可求得 ，
再由三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得 ，
所以 ，故
因为 ， .（2）设 ，则 ，
在 中，有 .
在 中，有 .
又 ，所以 ，
所以有 .又 ，所以 .
在 中，由余弦定理可得 .
又 ， ， ，
所以有 .
联立 ，解得 ，所以 ，
所以 .
3．（23·24上·绵阳·模拟预测）在斜三角形 中，内角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由题意证明如下，
在 中， ，
，
，，
又 为斜三角形，则 ，
，
，
∵ 为 的内角，
.
（2）由题意及（1）得，
在 中， ， ，是等腰三角形，
由正弦定理 ，则 ，
又 ，即 ，
，
，
令 ， ，
又因为 ，即 ，
当 即 时， 取最小值，且 ，
∴ 的最小值为 ．
4 （23·24上·泰州·期中）在锐角 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 .
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 面积S的取值范围.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
整理得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 面积S的取值范围为 .
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A·新题速递
1．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）在 中， ， ， ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由正弦定理求出 ，进而得到 ， ，从而求出 ，
利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由正弦定理得 ，
因为 ， ， ，
所以 ，故 ，
则 ，
因为 ，
所以 ， ，
故 ，
故 .
故选：D
2．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
， ，则 外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出 ，再利用正弦定理即可.
【详解】由题意得 ，所以 ，设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理得 ，
所以 ，
故选：B.
3．（2023·山东济宁·统考二模） 的内角 的对边分别为 ，若 边上的高为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知，用c表示出a、b，然后由余弦定理可得.
【详解】如图， 边上的高为CD,
因为 ，所以
所以 ，
由勾股定理可得 ，
由余弦定理可得 .
故选：B
二、填空题4．（2023上·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）在 中，角 的对边分别为
为 边中点，若 ，则 面积 的最大值为 .
【答案】
【分析】根据向量模长公式即可 ，结合基本不等式即可求解 ，进而根据三角函数的单
调性，结合面积公式即可求解.
【详解】由于 为 边中点,所以 ,平方
,
因此 ,
由于 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
由于 在 单调递减，故当 时， 最小，且为钝角，
,
由于 在 单调递增，故当 取最小值时，此时面积最大，故当 时，此时 最小，
进而 最小，故面积最大，
由 可得 ，故面积的最大值为 ，
故答案为：
5．（2023·河南郑州·统考模拟预测） 中， ， ， ， 平分线与 交于点 ，
则 .
【答案】 【详解】由余弦定理 ，
，所以 ，所以 ，
因为 为 的平分线，所以 ，
所以 ，
在 中由正弦定理 ，
即 ，所以 .
故答案为：
三、解答题
6．（2023上·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）在 中，内角A，B，C对应的边分
别是a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积是 ， ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由 ，可得到 ，
即 ．
因为 ，所以 ，故 ．
（2）由 ，可得 ，因为 ，所以 ，则 ．
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，故 的周长是 ．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四边形 中，
的面积为 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）设 ，
因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
在 中， ，所以 ，所以 ；
（2）由（1）可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，且 ．
由（1）可得 ，又 ，
所以 ．
8．（2023·山东烟台·统考二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题意和余弦定理可得 ，结合 计算即可求解；
（2）由（1）可得 ，则 ，代入 ，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）由余弦定理知 ，
所以 ，
由 ,得 ，即 ,
又因为 ，所以 ，
即 ，在 中， ，所以 ．
（2）由（1）知 ，则 ，
得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
B·易错提升
1．（2023·浙江·校联考二模）在三角形 中， 和 分别是 边上的高和
中线，则 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】将 作为基底，用基底表示 和 ，根据数量积的规则计算即可.
【详解】
设 ，则有 ，
由余弦定理得 ，
，其中 ， ，解得 ，
；
故选：C.
2．（2023·四川宜宾·统考三模）在 中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若 ，
，则 面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】 ， ， ，
， ， ，
由正弦定理得 .设 ， ， ，
∵ ，∴ ，
，化简得 ，点C的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆.
过C作 ，当CD最大时， 有最大值， .
故选：C
3．（2023·新疆·校联考二模）在 中，角A，B，C所对的过分别为a，b，c，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理即可判定.
【详解】由二倍角公式可化简得： ，而
，故 ，
由正弦定理可得 ，
反之，也成立，即为充要条件.
故选：C．
4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）在锐角 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
△
则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】确定 角范围后，由正弦定理表示出 ，再利用三角函数性质得结论．
【详解】因为 是锐角三角形，所以 ， ，所以 ， ，
由正弦定理得 ，所以 ．
故选：C．
二、填空题
5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若
，则 外接圆的面积为 .【答案】
【详解】由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，可得 .
因为 ，所以 ，得 ，解得 .
，化简得 ，
由正弦定理､余弦定理，得 ，化简得 ，
由正弦定理可得 ，得 ，因此 外接圆的面积为 .故答案为：
三、解答题
6．（2023·河南·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 的面积记为S，已
知 ， ．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
由正弦定理可得 ，即
所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）设AE为BC边上的中线如下图所示：
则 ，
所以 ，解得 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ；由 可得 ，
利用余弦定理可得 ，
所以 ．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 的外心为 ，点 分别在线段 上，且 恰为
的中点．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）解：由正弦定理，得 ，
所以 ，又 ，所以 或 ，
当 时，
由余弦定理，得
，
所以 ， 的面积 ，
当且仅当 时，取等号；
当 时，
同理可得 ， 的面积 ，
当且仅当 时，取等号．
综上， 面积的最大值为 ；
（2）证明：设 ，
由余弦定理知 ， ，
因为 ，
所以 ，
化简整理得 ，
而 ，因此 ，
又因为 是 外心，故 ，
同理可知 ，
因为 恰为 的中点，
因此 ，所以 ．8．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
.
(1)求角 的大小；
(2)若 为 上一点， ， ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得 的最小值.
【详解】（1）依题意， ，
由正弦定理得 ，
，所以 ，
所以 是钝角，所以 .
（2） ，
，所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立.
