文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 18 解三角形中的结构不良问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、“结构不良问题”的解题策略
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满
分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．
二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某
个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、“边化角”或“角化边”的变换策略
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
二、题型精讲精练
【典例1】在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角B；
(2)在① 的外接圆的面积为 ，② 的周长为12，③ ，这三个条件中任选一个，求
的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）由已知，根据给的 ，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，
然后再利用 ,把 换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完
成求解；
（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然
后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积
最值得求解；若选②，利用 ，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最
值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B
借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.
【详解】（1）∵
∴
∴
，∴
∵ ∴ ∴
∵ ，∴
（2）若选①，设 的外接圆半径为R，
则 ，∴
∴
由余弦定理，得：
即 ，当且仅当 时，等号成立.即 的面积的最大值为
若选②∵ ，∴
由余弦定理 ，
，又∴
∴ （舍）或 ，当且仅当 时等号成立
∴ ，当且仅当 时等号成立
若选③，由余弦定理，得：
即 ，当且仅当 时，等号成立.
∴ 即 的面积的最大值为
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（2023·北京·统考高考真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．2．（2021·北京·统考高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条
件① ， ，且 ；② ；③
中任选一个，回答下列问题．
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的最大值．
2．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数 .在下面两个
条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在 图象上相邻的两个对称中心的距离为 ；
条件②： 的一条对称轴为 .
(1)求ω；
(2)将 的图象向右平移 个单位（纵坐标不变），得到函数 的图象，求函数 在 上的值域.
3．（2023·全国·模拟预测）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若 外接圆的面积为 ，求 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ， ，且
______．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．
在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测） 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为
的内心，记△OBC， 的面积分别为 ， ， ，已知 ， ．
(1)若 为锐角三角形，求AC的取值范围；
(2)在① ；② ；③ 中选一个作为条件，判
断△ABC是否存在，若存在，求出 的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解
答，按第一个解答计分．）6．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，
且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且__________，求 的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的
横线中，并完成作答.① ；② 的面积为 ；③ .
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.
7．（2023·河北·统考模拟预测）在 中，内角A，B，C对应的边为a，b，c， 的面积为S，若
.
(1)当 时，求A；
(2)若角B为 的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，
① ；② ；③ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
8．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）在① ；②
；③ 这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横
线上，然后求解.问题：在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，______.（说明：只需选择一
个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)求角 的大小；
(2)求 内切圆的半径.
9．（2023·宁夏中卫·统考二模）在① ；②
；
③ ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在 中，
内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若 的内切圆半径为 ，求 ．
10．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆 是 的外接圆，圆 的直径 .设 ，
， ，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
① ；
② ；
③ 的面积为 .选择条件______.
(1)求 的值；(2)求 的周长的取值范围.
11．（2023·湖南益阳·统考模拟预测） 中，角 的对边分别为 ，从下列三个条件中任选
一个作为已知条件，并解答问题.① ；② ；③ 的面积为
.
(1)求角A的大小；
(2)求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在① ， ， ；②
；③ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问
题．在 中，内角 的对边分别是 ，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，
按第一个解答计分．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
13．（2023·山西吕梁·统考三模）在① ；② ，这两个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，___________.
(1)求 的值；(2)若 的面积为2， ，求 的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．（2023·全国·模拟预测）从① ，② （ 为 的面
积），③ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．
在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且______．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：① ；② ；
③ .
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足：___________.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 与 的平分线交于点 ，求 周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
16．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）在① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解
答．
问题：已知函数 ______．(1)求函数 的最小正周期及单调递减区间；
(2)在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为 的面积．若 在 处有最小值
，求 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（2023·江苏·校联考模拟预测）在① ，② 这两个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在 中，内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，且满足________．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 为 边上的一点，且 ，求 ．
18．（2023·海南·统考模拟预测）在① ；② 这两个条件中任选
一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且 ， ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求AM的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
