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考点 09 解三角形（核心考点讲与练）
一、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 ＝ ＝＝ 2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝ 2 R sin __C；
(2)sin A＝，sin B＝ ， sin C＝； cos A＝；
常见
变形 (3)a∶b∶c＝sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C； cos B＝；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝ cos C＝
csin A
2.S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
△ABC
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
二、解三角形的实际应用
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线
下方叫俯角(如图1).2.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.
2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，
再结合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cos C＝<0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.
4.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
正弦定理
一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））在 ABC中， ，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为
△
（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知在锐角 中， ，点M在边AC上，若
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·广东茂名·二模）如图，在四面体ABCD中， ， 底面ABC， ，若四
面体ABCD的外接球的表面积为 ，则四面体ABCD的体积不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2022··一模）设 ， ， 分别为锐角 三个内角 ， ， 的对边，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
三、填空题
5．（2022·陕西咸阳·二模（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，则 _______．6．（2022·河南·二模（文））在钝角 中， ，AC=6，BC=5，则AB=___________.
四、解答题
7．（2022·福建三明·模拟预测） 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
(1)若 ，试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 为锐角三角形，其外接圆半径为 ，求 周长的取值范围．
三角形面积公式
一、填空题
1．（2022·重庆·二模）点M在 ABC内部，满足 ，则 ____________．
△
2．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分，靠近某边的两
条三分角线相交于一点，则这样的三个交点构成一个正三角形（如下图所示）.若△ 为等腰直角三角
形，且 ，则△ 的面积是___________.
二、解答题
3．（2022·福建·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知， .
(1)证明： 为等腰三角形；
(2)设 的面积为 ，若___________，求 的值.
在① ；② ；③ 三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
4．（2022·湖南·雅礼中学二模） 中， 的对边分别为 .若 ，
，求 的最小值.
5．（2022·重庆八中模拟预测）已知 中， ， ，D是边BC上一点，且 的面积是
的面积的2倍.
(1)证明：AD平分 ﹔
(2)若 ，求BC.
6．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在 中，D为 上靠近点C的三等分点，且 ．记
的面积为 ．(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围．
7．（2022·辽宁锦州·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边AC上，BM平
分 ，△ABM的面积是△BCM面积的2倍.
(1)求 ；
(2)若 ， ，求△ABC的面积.
8．（2022·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，已知D是边BC上一点．且 ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)求△ABC的面积．余弦定理
一、单选题
1．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆 的上顶点 ，左右焦点分别为 ， 连
接 ，并延长交椭圆于另一点P，若 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南益阳·一模）如图，已知等腰 中， ， ，点 是边 上的动点，则
（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
二、多选题
3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在 中， ， ， ，下列命题为真命题的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为锐角三角形
C．若 ，则 为直角三角形D．若 ，则 为直角三角形
4．（2022·湖北·一模）我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三棱锥
S−ABC中，侧棱SA､SB､SC两两垂直，设SA=a，SB=b，SC=c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱
SA､SB､SC与底面所成的角分别为 ､ ､ ，下列结论正确的有（ ）
A．D为△ABC的外心 B．△ABC为锐角三角形
C．若 ，则 D．
三、填空题
5．（2022·江苏无锡·模拟预测）(1)若数列 的通项公式为 ，则该数列中的最小项的值为
__________．
(2)若 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．
(3)如图所示的数阵中，用 表示第m行的第n个数，则以此规律 为__________．
(4) 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知 ，且 ，
有下列结论：① ；② ；③ ， 时， 的面积为 ；④当
时， 为钝角三角形．其中正确的是__________ 填写所有正确结论的编号6．（2022·广东茂名·二模）正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为 ，D为棱AC的中点，则异面
直线SD与AB所成角的余弦值为__________．
7．（2022·江西·模拟预测（理））在 中，角 所对的边分别为 若对任意 ,不等式
恒成立，则 的最大值为___________.
四、解答题
8．（2022·湖南岳阳·二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角B；
(2)在① 的外接圆的面积为 ，② 的周长为12，③ ，这三个条件中任选一个，求
的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
9．（2022·重庆市育才中学模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，
，点O是AC的中点，点P在线段MC上，
(1)证明： 平面ABC；(2)若 ，直线AP与平面ABC所成的角为 ，求二面角 的余弦值的大小
10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
△ △
的面积为 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 .
11．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.12．（2022·湖南永州·三模）从① ，② 这两个条件中选一个，补充在下
面问题中，并解答.
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 的值；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 的最大值.(注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答记分)
解三角形的实际应用
一、单选题
1．（2022·江苏·海安高级中学二模）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，
50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利
用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N
之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米2．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面
某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射点纬度， 为当地纬度值，那么这三个量满足 ．
通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（ 取正值），选择春分当日（ ）测算正午太
阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同
一场地进行，测量结果如下：
乙
组别 甲组 丙组 丁组
组
木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
二、多选题
3．（2021·广东佛山·一模）在 中， 、 、 所对的边为 、 、 ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
4．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在锐角三角形 中，不等式 恒成立
C．若 ，则三角形 为等腰三角形
D．在锐角三角形 中，
5．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在 ， ，使
B．在 中，若 ，则 是等腰三角形
C．在 中，“ ”是“ ”的充要条件
D．在 中，若 ， 则 的值为 或
6．（2021·湖南·长郡中学一模）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 (A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得 .测绘兴趣小组利用测
角仪可测得的角有： ，则根据下列各组中的测量数据可计算出
塔 的高度的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2022·浙江嘉兴·二模）2022年北京冬奥会闭幕式上，呈现了大雪花（火炬）被中国结紧紧包裹的画面，
体现了中国“世界大同，天下一家”的理念，数学中也有类似“包裹”的图形.如图，双圆四边形即不仅有
内切圆而且有外接圆的四边形，20世纪80年代末，国内许多学者对双圆四边形进行了大量研究，如：边
长分别为a，b，c，d的双圆四边形，则其内切圆半径 ，外接圆半径
.现有边长均为1的双圆四边形，则 ___________.
8．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞
做直线往复运动.当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A 处.设连杆AB长200
0 0
，曲柄CB长70 ，则曲柄自CB 按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移
0
动的距离AA）约为___________ .（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）
09．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高
AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60
到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________ .
四、解答题
10．（2022·辽宁沈阳·二模）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
．
(1)判断 的形状并给出证明；
(2)若 ，求 的取值范围．
11．（2022·江苏·海安高级中学二模）在平面凸四边形ABCD中，已知
，求sinA及AD．12．（2022·重庆·模拟预测）在① ；② ；③
.这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在 中，内
角 、 、 的对边长分别为 、 、 ，且_______．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值．
13．（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从 地飞往 地，两地相距 .飞行员为了避开某一区域
的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 角的方向飞行，飞行到 地，再沿与原来的飞
行方向成 角的方向继续飞行 到达终点.
(1)求 、 两地之间的距离；
(2)求 .
1. （2021年全国高考甲卷）在 中，已知 ， ， ，则 （ ）A. 1 B. C. D. 3
2. （2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知
，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
一、解答题
1. （2022·全国·模拟预测） 的内角A，B，C的对边分别为 ， ， .已知
.
（1）求B；
（2）若 ，______，求 的面积.在① ，② 的周长为 这两个条件中任
选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2. （2022·黑龙江·一模（理））在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
，角C的内角平分线与边AB交于点D．
（1）求角B的大小；
（2）记 ， 的面积分别为 ， ，在① ， ，② ， ，
这两个条件中任选一个作为已知，求 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计
分．
3. （2022·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
.
（1）求B；
（2）若 ，求c的取值范围.4. （2022·全国·模拟预测）在① ，② ，③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中， ， ，且______.
（1）证明： ；
（2）若 ，求四边形ABCD的面积.
5. （2022·全国·模拟预测）已知△ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边BC上，且 ， ，求△ 的面积.
6. （2022·全国·模拟预测）在锐角 中，已知 ，其
中 分别是 的内角 的对边.（1）求角 的大小；
（2）试比较 与 的大小.
7. （2022·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求B；
（2）如图，若D为 外一点，且 ， ， ， ，求AC．
8. （2022·河北·模拟预测）如图，在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
.（1）求 的值；
（2）在 的延长线上有一点D，使得 ，求 .
9. （2022·山东淄博·一模） 从① ，② ，③
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若______，求角B的大小．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
10. （2022·全国·模拟预测）在① ；② ；③ ，这
三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形的周长；若问题中的三角形
不存在，请说明理由.设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
，______.11. （2022·全国·模拟预测）已知四边形 内接于圆 ， ， ， 是钝角.
（1）求 的最大值；
（2） ，求四边形 周长的最大值.
