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专题13.1 等腰（直角）三角形中的分类讨论问题 专项讲练
1、等腰三角形中的分类讨论：
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成等腰 △ABC
方法：两圆一线
具体图解：①当 AB=AC 时，以点A为圆心， AB 长为半径作⊙A，点 C 在⊙A上（B， C 除外）
②当 AB=BC 时，以点B为圆心， AB 长为半径作⊙B，点 C 在⊙B上（A，E除外）
③当 AC=BC 时，作 AB 的中垂线，点 C 在该中垂线上（D除外）
例1．（2022·上虞市实验中学初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC
和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割
成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
【答案】7
【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，
50°．
①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，
③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，
⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；
⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
变式1．（2022·河南·驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，已知 中， ，
在直线BC或射线AC取一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）A．2个 B．4个 C．5个 D．7个
【答案】C
【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．
【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合
条件；②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，
此时AB＝AP，共2个点符合条件；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆
心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．
∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力
和动手操作能力．
变式2．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且
是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】以点 为圆心、 长为半径画圆，交直线 于点 ；再以点 为圆心、 长为半径画圆，交
直线 于点 ，然后作 的垂直平分线，交直线 于点 ，由此即可得．【详解】解：如图，以点 为圆心、 长为半径画圆，交直线 于点 ；再以点 为圆心、 长为半
径画圆，交直线 于点 ，然后作 的垂直平分线，交直线 于点 ．
则符合条件的点 共有5个，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键．
例2．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连
接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．
（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？
请直接写出每种情况下∠BPC的度数．
（3）等边三角形的巧妙点的个数有（ ）
A．2个 B．6个 C．10个 D．12个
【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，作AB、AC的垂直平分线，交点P即为所求；
（2）分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，交于P，图中P、P、P、P、P、P 即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出∠BPC的度数即可得答案；
5 1 2 3 4 5 6
（3）根据（2）中作图方法画出图形，即可得答案．
【详解】（1）点P为所求，
（2）如图：分别以点B、C为圆心，BC为半径画圆，以点A、B为圆心画圆，作出BC、AB的垂直平分线，
交于P，图中P、P2、P、P、P、P 即为所求，共6个，
5 1 3 4 5 6
∵∠BAC=80°，AB=AC，PP 是BC的垂直平分线，
1 6
∴∠ABC=∠ACB=50°，∠BPA=∠CP A，∠BAP= ∠BAC=40°，
1 1 5
∵AP=AB，∴∠PBA=∠BPA，∴∠BAP=2∠PBA=40°
1 1 1 5 1
∴∠PBA=20°，∴∠BPC=2∠PBA=40°，
1 1 1
∵AP=AC，BP=BC，∴∠APC=∠ACP，∠BPC=∠BCP，
2 2 2 2 2 2
∴∠APC+∠BPC=∠ACP+∠BCP，
2 2 2 2
∴∠BPA=∠BCA=50°，∴∠ABP=∠ABC=50°，∴∠PBC=100°，
2 2 2
∴∠BPC= （180°-∠PBC）=40°，同理可得：∠BPC=40°，
2 2 3
∵∠BAP=40°，AP =BP ，∴∠ABP=∠BAP=40°
5 5 5 5 5
∵∠ABP=∠BAP=40°，∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=10°，
5 5 5 5
∵BP=CP ，∴∠BPC=180°-2∠PBC=160°，
5 5 5
∵AC=AP，∠CAP=40°，∴∠APC=70°，∴∠BPC=2∠APC=140°，
4 4
∵AC=CP ，∴∠APC=∠CAP=40°，∴∠BPC=2∠APC=80°．
6 6 6 6 6综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．
（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点
为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为
等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；
定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．
变式3．（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，线段 和射线 有公共端点 ．
求作：点 ，使点 在射线 上，且 为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件
的点 ，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析．
【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．
【详解】如图所示，点 、 、 即为所求．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意 是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．
例3．（2022·江西宜春·八年级期末）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐
角为30°．等腰三角形ABC中， 于点D，若 ，则 底角的度数为______．
【答案】 或 或
【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断
出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【详解】①BC为腰，∵AD⊥BC于点D， ，∴∠ACD=30°，
如图1，AD在 ABC内部时，底角∠B=75°；
△
如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，AD在 ABC外部时，底角∠B= =15°；
△
②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D， ，∴AD=BD=CD，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴底角∠B=45°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为 或 或 ．故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．变式4．（2021·重庆市荣昌初级中学八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，
∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC
固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的
三角形为等腰三角形时，α的大小为___．
【答案】7.5°或75°或97.5°或120°
【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当
∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为
顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，
如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得
∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．
【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，
∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，
①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，
∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，
∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，
∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，
∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，
∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；
②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，
∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；
③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，
∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．
故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是
运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．
2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成 Rt△ABC
即：
方法：两线一圆
具体图解：①当 ∠BAC=90° 时，过点A作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（A除外）②当 ∠ABC=90° 时，过点B作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（B除外）
③当 ∠ACB=90° 时，以 AB 为直径作圆，点 C 在该圆上（A，B除外）
例1．（2022·重庆市·八年级课时练习）如图，在 中， ， ， ， ．
是 边上的一个动点，点 与点 关于直线 对称，当 为直角三角形时， 的长为________．
【答案】7或17
【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】解：当E在线段AD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，∴∠AEC=∠FEC= =135°，∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，∴∠CEF=∠CEA=45°，∴ED=CD=5，∴AE=AD+DE=17，故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键
是注意运用数形结合的思想解决问题．
变式1．（2021·江苏兴化·八年级期中）在Rt ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且
AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为_______△_．
【答案】45°或135°
【分析】分四种情况：若点D、E在线段BC上时；若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时；若点
D在CB的延长线上点E在BC的延长线上时；若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时讨论，即可
求解．
【详解】解：如图，若点D、E在线段BC上时，
∵AB=DB，AC=EC，∴∠BAD=∠ADB，∠CAE=∠AEC，
∴∠BAE+∠DAE=∠CAD+∠C，∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠B，
∴∠BAE+∠CAD+2∠DAE=∠CAD+∠BAE+∠B+∠C，∴2∠DAE=∠B+∠C，
∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在线段BC上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴可设∠E=∠CAE =x，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2x，∵∠BAC=90°，∴∠B=90°-∠ACB=90°-
2x，
∵AB=DB，∴ ，∵∠ADB=∠DAE+∠E，∴∠DAE=45°；
如图，若点D在CB的延长线上，点E在BC的延长线上时，
∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，
∵AB=DB，∴∠D=∠BAD，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，
∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴2∠CAE+2∠BAD=90°，∴∠CAE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAD+∠BAC=135°；如图，若点D在CB的延长线上，点E在线段BC上时，∵AB=DB，∴可设∠D=∠BAD=y，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2y，∴∠ABC=2y，
∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-2y，∵AC=EC，∴∠AEC=∠CAE= ，
∵∠AEC=∠D+∠DAE，∴∠DAE=45°综上所述，∠DAE的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
变式2.（2022·广东广州·八年级阶段练习）在 中，若过顶点 的一条直线把这个三角形分割成两个三
角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 的关于点 的二分割线．例
如：如图 ，在 中， ， ，若过顶点 的一条直线 交 于点 ，且
，则直线 是 的关于点 的二分割线．如图 ，已知 ， 同时满足：①
为最小角；②存在关于点 的二分割线，则 的度数为______．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论．
【详解】解：如图2所示： ，
如图3所示： ，
如图所示： ，故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“ ABC的关于点B的二分割线”是解
题的关键 △
例2．（2022·全国·八年级专题练习）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点
P从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时
出发，用 表示移动的时间，当 _____s时， 是等腰三角形；当 ___s时， 是直角三角
形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据 是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 在 上，或点 在 上；根据 是
直角三角形，分两种情况进行讨论： ，或 ，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当 时， 是等腰三角形，
， ， 当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是等腰三角形，
， ， 当 时， ，解得 ；如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ， 当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ， 当 时， ，解得：t=10．
故答案为： 或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分
类时注意不能遗漏，也不能重复．
变式3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图， 是边长为 的正三角形，动点 从 向 以
匀速运动，同时动点 从 向 以 匀速运动，当点 到达点 时， 两点停止运动，设点
的运动时间为 秒，则当 __________时， 为直角三角形．
【答案】3或4.8
【分析】分两种情况：①当 时， ；②当 时，根据 列方程求出t的值
即可．
【详解】①当 时，∵ 是正三角形
∴
∴
∴在 中， ，即 ，解得
②当 时，
∵ 是正三角形
∴
∴
∴在 中， ，即 ，解得
即当 或 时， 为直角三角形
故答案为：3或4.8．
【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握正三角形的性质、特殊三角函数值、解一元一次方程的方法
是解题的关键．
变式4．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，
点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，
则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝ 秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝ 秒．（直接写出结果）
【答案】（1）∠CMQ 理由见解析；（2）①2；② 或
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角
的性质可证得∠CMQ=60°；
（2）①由△BPQ为等边三角形，可得 再建立方程求解即可；②当△BPQ为直角三角形时，分
两种情况讨论，当 而 则 当 时，则 再利用
含 的直角三角形的性质列方程求解即可.
【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ，
在△APC和△BQA中 ，
∴△APC≌△BQA（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；
（2）① △BPQ为等边三角形，
由题意得：
解得：
所以当△BPQ为等边三角形时，则 s
②当△BPQ为直角三角形时，
当 而 则
解得：
当 时，则解得：
综上：当 s或 s时，△BPQ为直角三角形.
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含 的直角三角形的性质，
掌握“利用图形的性质得到边与边之间的关系，再建立方程求解”是解题的关键.
课后训练
1．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所
在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，
符合条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同
一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M，M，交BC有一点M，（此时AB＝AM）；
1 2 3
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M，M，交AC有一点M（此时BM＝BA）．
5 4 6
③AB的垂直平分线交AC一点M（MA＝MB），交直线BC于点M；
7 8
∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，
思考要全面，做到不重不漏．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使
△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有____个．
【答案】4．
【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA为底，可能OA为腰两种情况，依此即可得出答案．
【详解】①以A为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于1个点（O除外）；
②以O为圆心，以OA为半径作圆，此时交y轴于2个点；
③作线段AO的垂直平分线，此时交y轴于1个点；
共1+2+1=4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分
类讨论．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动点P
从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速度移动，如果点 同时
出发，用 表示移动的时间，当 _________s时， 是等腰三角形；当 _________s时，
是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据 是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 在 上，或点 在 上；根据 是
直角三角形，分两种情况进行讨论： ，或 ，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，， ，
当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ，
当 时， ，解得：t=10．
故答案为： 或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分
类时注意不能遗漏，也不能重复．
4．（2022·河北承德·八年级期末）如图， ， ，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度
的速度沿射线 运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动， 形状在发生变化，设点P的运动
时间为t秒．
（1）当 是直角三角形时，t的值为_________；
（2）当 是钝角三角形时，t满足的条件是____________．
【答案】 和6 或
【分析】（1）分两种情况讨论：当∠APB=90°时；当∠BAP=90°时，结合直角三角形的性质，即可求解；（2）由（1）得，当 时，∠APB＞90°；当 时，∠BAP＞90°，即可求解．
【详解】解：（1）如图，当∠APB=90°时，
∵ ，
∴∠BAP=30°，
∴AB=2BP，
∵ ，
∴ ，
此时 ；
如图，当∠BAP=90°时，
∵ ，
∴∠BPA=30°，
∴BP=2AB=6，
此时t=6；
综上所述，t的值为 和6；
故答案为： 和6；
（2）由（1）得，当 时，∠APB＞90°；
当 时，∠BAP＞90°；∴当 是钝角三角形时，t满足的条件是 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一
半是解题的关键．
5．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，在 中， ，在直线 或 上取一
点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】分别以A为顶点、B为顶点、P为顶点讨论即可．
【详解】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答
本题的关键．
6．（2022·全国·八年级阶段练习）如图，在 中， ， ，以C为原点，
所在直线为y轴， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使 为等腰三角
形，符合条件的点M有__________个．
【答案】6
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情
况解答即可：①AB = AM；②BM = BA；③MA = MB．
【详解】如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，
交x轴有一点 ，交y轴有两点 ， 此时AB = AM， 为等腰三角形；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线x轴有两点 ，交y轴有一点 ，
此时BM = BA， 为等腰三角形；
③作AB的垂直平分线交y轴于点 ，交x轴于点 ，
此时MA = MB， 为等腰三角形，
是等边三角形，故 重合 符合条件的点有6个，故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，
思考要全面，做到不重不漏．
7．（2022·北京一七一中九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上
取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．
【详解】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点 ，然后作AB的垂直平分线
交直线BC于点 ，如图所示：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，∴点 重合，∴符合条件的点P有2个；故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题
的关键．
8．（2022·上海·七年级专题练习）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使
△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以
A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的
垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
【详解】解：分二种情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的
圆弧与y轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．
∴符合条件的点一共4个．故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类
讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．
9．（2022·湖南·长沙八年级阶段练习）如图，在 中， ， ，在坐标轴上取
点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的点 有__________个.
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AM时，AB=BM时，AM=BM时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得到
符合题意的点的个数.
【详解】①当AB=AM时，在y轴上有2个满足条件的点M,在x轴上有1个满足条件的点M;②当AB=BM时，在y轴上有1个满足条件的点M,在x轴上有2个满足条件的点M,有1点与AB=AM时的
x轴负半轴上的点M重合；
③当AM=BM时，在x轴、y轴上各有1个满足条件的点M，有一点与AB=AM时的x轴负半轴上的点M
重合．综上所述，符合条件的点M共有6个．故答案为:6.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，注意有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形，故存在重
合的情况，此为解题的关键. °
10．（2022·广东中山·八年级期末）如图， 中， 厘米，如果点M从点C出发，点
N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止
运动．运动时间为t（秒）．
(1)当 且 为直角三角形时，求t的值；(2)当t为何值， 为等边三角形．
【答案】(1) 或 (2) 或
【分析】（1）根据题意可知当 时，点M在BC上，点N在AB上，根据 为直角三角形，则
或 ，分类讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方
程求解即可；（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则 ，分① 时，②
时两种情况，根据等边三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；
(1)当 ，点M在BC上，点N在AB上，
， ，
为直角三角形，则 或 ，
①当 时， ， ，
即 ，解得： ．
②当 时， ， ，即 ，解得： ．
综上， 或 时， 为直角三角形．
(2)点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则 ，
①在 时，当 时， 为等边三角形
此时， ，解得： ．
②在 时， 为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，
此时， ．
综上， 或 时， 为等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
11．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边 ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿
AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．
设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当 时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当t为何值时， PBQ是直角三角形？
【答案】（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由见解析；（2）当t的值为 或4时， PBQ为直角三角形．
【分析】（1）当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，结合已知条件可得点Q为BC的中点，再根据等腰三角
形的三线合一即可证得AQ⊥BC；（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，然后分两种情况讨论即可：
当∠PQB＝90°时，当∠BPQ＝90°时．
【详解】解：（1）当t＝2时，AQ⊥BC，理由如下：
由题意可得：当t＝2时，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，
∵等边 ABC的边长为8，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，
∴CQ＝BC－BQ＝4＝BQ，∴点Q为BC的中点，
又∵AB＝AC，∴AQ⊥BC，∴当t＝2时，AQ⊥BC；
（2）由题意知AP＝t，BQ＝2t，则PB＝8﹣t，当∠PQB＝90°时，∵∠ABC＝60°，∴∠BPQ＝90°－∠ABC＝30°，∴PB＝2BQ，
∴8﹣t＝2×2t，解得：t＝ ；
当∠BPQ＝90°时，∵∠ABC＝60°，∴∠BQP＝90°－∠ABC＝30°，∴BQ＝2BP，
∴2t＝2（8﹣t），解得：t＝4；
∴当t的值为 或4时， PBQ为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本
题的关键．
