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专题 13.2 几何图形中的翻折变换
【典例1】如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折
叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分
别为S，S．
1 2
（1）若AC＝3，求S 的值．
1
（2）若S+S＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．
1 2
【思路点拨】
1 1
（1）设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，依据S = AB×DM= BM×AC，即可得到x的值，进而得出S 的
△ABM 1
2 2
值．
1 1 3 3
（2）如图1，依据S = AB×DM= BM×AC，即可得到 DM= x，进而得出 S = x2；如图2，依据
△ABM 1
2 2 2 2
1 1 4 2
S = AB×EN= AN×BC，即可得到EN= x，进而得出S = x2，再根据S+S ＝26，即可得到x2＝12，
△ABN 2 1 2
2 2 3 3
进而得出单个直角三角形纸片的面积．
【解题过程】
解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，
∴BC＝4，AB＝5，
由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，
设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，1 1
∵S = AB×DM= BM×AC，
△ABM
2 2
∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），
3
解得x= ，
2
1 1 3 3
∴S = BD×DM= ×2× = ．
1
2 2 2 2
（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，
如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，
1 1
∵S = AB×DM= BM×AC，
△ABM
2 2
∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，
3
解得DM= x，
2
1 1 3 3
∴S = BD×DM= ×2x× x= x2；
1
2 2 2 2
如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，
∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，
1 1
∵S = AB×EN= AN×BC，
△ABN
2 2
∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，
4
解得EN= x，
3
1 1 4 2
∴S = AE×EN= ×x× x= x2，
2
2 2 3 3
∵S+S＝26，
1 2
3 2
∴ x2+ x2=26，
2 3
解得x2＝12，
1
∴S = ×3x×4x=6x2＝72．
△ABC
2
1．（2022春•镇平县期末）如图①是一个直角三角形纸片，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕
为BD，如图②，如果C′为AB的中点，△BCD的面积为1，则△ABC的面积为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022春•槐荫区期末）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，以BC所在直线为对称轴翻折
△ABC得到△A′BC，点A的对称点为A′，连结BA′，AH⊥BA′于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确
的是（ ）
A．A′C＝A′H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A′H
3．（2022春•江岸区校级月考）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的
点M处．折痕为AP，再将△PCM和△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处．
下面结论：①M是CD的中点；②∠ABP＝90°；③MN⊥AP；④AD∥BC．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022•东坡区校级模拟）如图，AD是△ABC的高线，BD＝CD，点E是AD上一点，BE＝BC，将
△ABE沿BE所在直线折叠，点A落在点A′位置上，连接AA'，BA′，EA′与AC相交于点H，BA′与AC相交
于点F．小夏依据上述条件，写出下列四个结论：①∠EBC＝60°；②∠BFC＝60°；③∠EA′A＝60°；
④∠A′HA＝60°
以上结论中，正确的是（ ）A．① B．③④ C．①②③ D．①②④
5．（2021秋•渝北区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D是边BC上一点，连接AD．
将△ABD沿直线AD翻折后，点B恰好落在边AC上B'点，若AB'：B'C＝3：2，则点D到AC的距离是
．
6．（2022春•姜堰区期末）如图，在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝4，且S ＝5，P为BC上一点，
△ABC
将纸片沿AP剪开，并将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE
面积的最小值为 ．
7．（2022•沙坪坝区校级开学）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为
“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在
BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 ．8．（2022春•五华县期末）如图，AB∥CD，∠C＝60°，点E是射线CD上一点，连接AE，将△AEC沿着
AE翻折得△AEF，点C的对应点为点F，若∠EAF＝2∠FAB，那么∠AEC＝ ．
9．（2021秋•汉阳区期中）如图，三角形纸片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个
三角形，折痕为BD（点D在线段AC上且不与A，C重合）．
（1）如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；
（2）如图②，若点C落在AB边下方的点E处，记△ADE的周长为L，直接写出L的取值范围 ．
10．（2022春•广州期中）在长方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°．
（1）如图1，∠ADB＝20°，P为BC上一动点，将△ABP沿AP翻折到△AEP位置，若AE∥BD，求∠BAP的度数；
（2）如图2，若CD＝3，BD＝5，BC＝4，P是线段BD上一动点，连接CP，求线段CP的最小值．
11．（2021秋•斗门区期末）如图1，将长方形ABEF的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，
OC为折痕，则OC平分∠AOA′．
（1）若∠AOC＝25°，求∠A'OB的度数；
（2）若点D在线段BE上，角顶点B沿着折痕OD折叠落在点B′处，且点B′在长方形内．
①如果点B′刚好在线段A′O上，如图2所示，求∠COD的度数；
②如果点B′不在线段A′O上，且∠A'OB'＝40°，求∠AOC+∠BOD的度数．
12．（2022春•法库县期中）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD，AE分别是△ABC中
BC边上的高和△ABC的角平分线．
（1）如图1，∠B＝70°，∠C＝30°，则∠DAE的度数．
（2）若∠B＝α，∠DAE＝10°，则∠C＝
（3）F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BE上的点（不与端点重合），将△ABC沿着GH折叠，
使点B落到点F处，如图2所示，其中∠1＝∠AGF，∠2＝∠EHF，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关
系．13．（2021春•襄汾县期末）如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．
（1）若∠A：∠ABC＝3：4，∠ACD＝140°，求∠A的度数；
（2）若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试说明：∠MCP＝
1
90°− ∠A；
2
（3）在（2）的条件下，将△MCB以直线BC为对称轴翻折可得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的
角平分线交于点Q（如图2），若∠A＝60°，试求出∠BQC的度数．14．（2021秋•仁怀市期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM
上运动，连接AB．
（1）如图1，已知AC，BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
①点A，B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试
求出∠ACB的大小．
②如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C'，则∠ABO＝ °；如图3，
将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C″，则∠ABO＝ °．
（2）如图4，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E，
3
F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的 倍，求∠ABO的度数．
215．（2021春•镇江期中）将△ABC纸片的一角∠CAB折叠，使点A落在点P的位置，折痕为DE．
（1）如图1，点A落在△ABC内的点P的位置．
①若PE∥AC，那么PD与AB有怎样的位置关系，请说明理由；
②如图2，∠1、∠2与∠A之间有怎样的数量关系？并说明理由；
③连接CP、BP，已知CP、BP恰好分别平分∠ACB、∠ABC（如图3），∠1、∠2与∠CPB之间有怎样的
数量关系，并说明理由；
（2）如图4，点A落在△ABC外的点P的位置连接CP、BP，如果CP、BP恰好分别平分△ABC的两个外
角∠MCB，∠NBC，那么∠1、∠2与∠CPB之间的数量关系是 （请直接写出结果）．16．（2021春•沙坪坝区期末）如图，在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝90°．将△BCD沿BD对折
得到△BED，BE交AC于点F．
（1）如图①，若∠A＝40°，∠C＝30°，求∠AFB的度数；
（2）如图②，若∠1＝∠2，请说明∠4＝4∠3；
（3）若∠A＝40°，将△BED绕点B逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜180°），记旋转中的△BED为
△BDE ．在旋转过程中，直线DE 分别与直线AB、直线AC交于点M、点N，是否存在这样的点M、点
1 1 1 1
N，使∠AMN与∠ANM相等？若存在，请直接写出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．17．（2022春•沙坪坝区期末）如图，在△ABC中，点D，E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将
△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H，将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
（1）如图1，当点G与点H重合时，请说明∠BAC＝∠EHD；
（2）当点G落在△ABC外，且HE∥AD，∠GAB：∠CAD＝1：3．
①如图2，请说明∠EHD＝4∠GAB；
②如图3，若∠B＝30°，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜180°），则在这个旋转过程
中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角α的度数．18．（2022春•泗阳县期末）如图1，已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，G点为射线FD
上一动点，且∠FEG＞∠EFG，将△EFG沿着EF翻折得到△EFH，直线EQ平分∠BEH交直线CD于点
P．
（1）当EG⊥CD时，
①若∠EFG＝30°，则∠PEF＝ ．
②若去掉条件“∠EFG＝30°”，你还能求出∠PEF的度数吗？试一试．
（2）如图2，在点G运动的过程中，当∠EGF＝a时，求∠PEF的度数（用含a的代数式表示）；
（3）在点G运动的过程中，若∠PEG＝5°，且∠EGF＝4∠EFG，直接写出∠EGF的度数．
