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重难点 13 解三角形的重要模型和综合应用【九大题型】
【新高考专用】
解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦
定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；综合考查以解答题为主，中等难度.对于解答题，
主要考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，
需要灵活求解.
【知识点1 解三角形中的重要模型】
1．中线模型(1)中线长定理：在△ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 是 BC 边上的中线，则
.
(2)向量法： .
2．倍角模型
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1： ；
推论2： .
3．角平分线模型
角平分线张角定理：如图， 为 平分线，则
斯库顿定理：如图， 是 的角平分线，则 ，可记忆：中方=上积-下
积．
4．等分点模型
如图，若 在边 上，且满足 ， ，则延长 至 ，使 ，连接 .
易知 ∥ ，且 ， ， ．【知识点2 正、余弦定理解三角形的解题策略】
1．正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用
正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的
关系，实现三角形边角关系的互化，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素
的方程，通过解方程求得未知元素．
2．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已
知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若 B= >1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若 B= =1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若 B= <1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0< B= <1可得B有两个值，一个大于 ，一个小于 ，考虑到“大边对大角”、
“三
角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论.
3．与三角形面积有关问题的求解思路：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
4．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：
(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运
用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究
其最值（范围）．
(2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊
边
角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．
【题型1 三角形中的边、角计算】
【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
3
sinA= ,B=2A,b=8，则a=（ ）
5
5 10 20
A． B．5 C． D．
2 3 3
【变式1-1】（2025·广东·一模）如图，已知∠CAB=45°，∠ACB=15°，AC=√6，CD=√7，则
BD=（ ）
−1+√13 1+√13
A． B． C．3或1 D．3
2 2
【变式1-2】（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
2π
b=1,c=√3,C= ，则a的值为（ ）
3
A．2 B．3 C．1 D．4
【变式1-3】（2024·福建厦门·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
1
b−c= a，2sinB=3sinC，则cosA=（ ）
4
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
4 4 3 3
【题型2 解三角形中的中线模型】
【例2】（23-24高一下·浙江·期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B=60°，
b=2，则边AC上中线BD的取值范围为（ ）
A．[√21 ] B．(√21 ]
,√3 ,√3
3 3C． D．
(1,√3) (1,√3]
【变式2-1】（2024·四川成都·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
⃗m=(a,b)与⃗n=(cosA,sinB)平行．若c=2，b=√2，则BC边上的中线AD为（ ）
√10
A．1 B．2 C．√10 D．
2
【变式2-2】（2024·新疆·模拟预测）在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，AD是∠BAC的
2√7
平分线，AE是边BC的中线，b=8, c=4, cosB= ．
7
(1)求a；
(2)求AD, AE的长．
【变式2-3】（2025·辽宁沈阳·一模）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分
π π
线交AC于点D，BE为△ABC的中线．若√3sin ( B+ ) −sin ( B− )=0，a=1，c=2．
6 3
(1)求BE的长；
(2)求BD的长.
【题型3 解三角形中的倍角模型】
【例3】（2024·广东·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且
(b+c)cosA=a(cosB−cosC)．
(1)证明：A=2B．b
(2)若△ABC是锐角三角形，求 的取值范围．
a
【变式3-1】（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角△ABC,a,b,c分别为角A,B,C的对边，若
a2+c2−b2=2bc(1+cosA).
(1)求证：A=2B；
b
(2)求 的取值范围.
c
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D
在B，E之间，AE⋅AC⋅BD=AD⋅AB⋅CE．
(1)求证：sin∠BAD=sin∠CAE．
(2)若 ，求证：AD2 AE2 2 ．
AB⊥AC + =
BD2 CE2 1−sin∠DAE
【变式3-3】（2024·浙江绍兴·三模）在锐角 ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量
⃗m=(a+c,a)，⃗n=(a−c,b)，且⃗m⊥⃗n. △
(1)求证：C=2A
b (2a) 2
(2)求 + 的取值范围.
a c【题型4 解三角形中的角平分线模型】
【例4】（23-24高一下·吉林·期末）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=√6，∠BAC的角平分
线交BC于D，则AD=（ ）
A．√3 B．2 C．2√2 D．2√3
【变式4-1】（24-25高三上·天津·期中）在△ABC中，AB=4，E是BC边中点，线段AE长为√3，
∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的角平分线，则AD的长为（ ）
2 4 8
A． B． C．2 D．
3 3 3
【变式4-2】（2024·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
a2=c(c+b)．
(1)求证：B+3C=π；
(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且a=12，b=7，求BD的长．
【变式4-3】（2024·江西新余·模拟预测）在△ABC中，AB=1,BC=2,∠ABC=120°，BD为∠ABC
的角平分线，D在线段AC上.
|AD| 1
(1)求证： = ；
|CD| 2
(2)求BD的长.
【题型5 解三角形中的等分点模型】
【例5】（23-24高一下·江苏连云港·期中）在 ABC中，点D为边AC上靠近A的四等分点，
∠ABD=∠ACB，CB⊥BD，S =15，△则AB=（ ）
△ABC
A．5 B．3 C．3√5 D．5√3
【变式5-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中T是房梁与该截面的交点，A，B分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在
铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子c 与c 之间的距离是√3L（L为测量单位），柱子c 与c 之间
1 2 2 3
的距离是2√3L．如果把AT，BT视作线段，记P ，P ，P 是AT的四等分点，Q ，Q ，Q 是BT的四等
1 2 3 1 2 3
分点，若BQ =2L，则线段P Q 的长度为（ ）
2 3 2
A．√7L B．√3L C．√5L D．2√2L
【变式5-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
2b−√3c=2acosC.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为4√3，sinB=1+cosC，点D为边BC上靠近B的四等分点，求AD的长.
【变式5-3】（2024·湖北·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
a2(1+cosA)=2bcsin2A．
(1)判断△ABC的形状；
2π
(2)已知D为BC上一点，则当A= ，a=3√3，AD=√3时，D为BC的几等分点？
3【题型6 三角形、四边形的面积最值或范围问题】
2π
【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）在△ABC中，A= ，D为边BC上一点，若AD⊥AB，且
3
AD=1，则△ABC面积的最小值为（ ）
√3 2√3 3√3
A． B． C． D．√3
2 3 4
【变式6-1】（2024·安徽合肥·二模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
1 1 1
c=2, + + =1．则△ABC面积的最大值为（ ）
tanA tanB tanAtanB
A．1+√2 B．1+√3 C．2√2 D．2√3
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，若
c b 1+bc
a=1, + = .
b c bc
(1)求A；
(2)求△ABC面积的最大值.
【变式6-3】（2024·山西·一模）△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其面积为S，且
4S=b2+c2−a2.
(1)求A；
(2)已知a=2√2，求S的取值范围.
【题型7 三角形中的边长或周长的最值或范围问题】
【例7】（2024·全国·模拟预测）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若
A √3b−c a
sin = ，则 的取值范围是（ ）
2 4b bA． B．
(√3,2) (1,√3)
C． D．
(√2,2) (√2,√3)
【变式7-1】（2024·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知B=2A，a=2，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A． B．
(4+2√2,6+2√3) [4+2√2,6+2√3)
C． D．
(4+2√2,6+2√3] [4+2√2,6+2√3]
【变式7-2】（2024·广东韶关·一模）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且
bcosC+ccosB=2acosA.
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC周长的最大值.
【变式7-3】（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且
cosB−sinC
tan A= ．
cosC+sinB
π
(1)若B= ，求C的大小．
6
(2)若a=2，求b+c的取值范围．
【题型8 解三角形的实际应用】
【例8】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合
中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形
象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取
端点绘制了 ABD（如图乙），测得AB=3,BD=4,AC=AD=2，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算
sin∠ACD的△值（ ）
1 11 3√15 11
A． B． C． D．
2 14 16 16
【变式8-1】（24-25高一下·湖南·阶段练习）如图，某城市有一条公路从正西方MO通过市中心O后转向
东北方ON，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在MO,ON上分别设置两个出
口A,B，若AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）
A． 千米 B． 千米
20(√2−1) 40(√2−1)
C． 千米 D． 千米
20(√2+1) 40(√2+1)
【变式8-2】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取
A，B，C，D四个点，使得AD=2√2BC，测得∠BAD=30∘，∠BCD=45∘，∠ADC=120∘．
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD=10√2km，CD=20km，求A，C两点间
距离；(2)求tan∠BDC的值．
【变式8-3】（23-24高一下·四川·期末）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣
之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．
1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的
三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，∠ADC=60°，AD=2．
(1)若∠ACD=45°，求三角形手巾的面积；
AC
(2)当 取最小值时，请帮设计师计算BD的长．
AB
【题型9 解三角形与三角函数综合】
【例9】（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数f(x)=2sinx⋅cosx+√3cos2x.
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f (A)=0且a=3，求b+c的取值范
围.
【变式9-1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）设函数f(x)=⃗m⋅⃗n，其中向量⃗m=(2cosx,1)，
⃗n=(cosx,√3sin2x)(x∈R).(1)求f(x)的最小值；
√3
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面积为 ，求
2
b+c
的值.
sinB+sinC
( π π)
【变式9-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,− <φ< 的部分图
2 2
象如图所示．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=√3，b=2，且△ABC的面积
3√3
为 ，求a．
2
【变式9-3】（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期为 .
f(x)=2√3sinωxcosωx+2cos2ωx,(ω>0) π
(1)求ω的值；
[ π]
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为f(x)在 0, 上的最大值，再从条件①、
2条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a−b的取值范围.条件①：
acosB+bcosA=2ccosC；条件②：2asin AcosB+bsin2A=√3a；条件③：△ABC的面积为S，且
√3(a2+b2−c2).注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
S=
4
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·一模）在 ABC中，已知∠ABC=2∠BAC，3BC=2AB，BD⊥AC，D为垂足，
CD=2√10，则BD=（ ） △
A．3√6 B．6√6 C．2√10 D．4√10
1 1
2．（2024·江苏·模拟预测）锐角△ABC中，sinC= ，sin(A−B)= ，AB=8，则AB边上的高CD长
3 4
为（ ）
36√2 19√11
A． B． C．4√7+6√3 D．3√15+8√2
5 7
3．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2,B=2C，
则a+b的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
(2,10) (2+2√2,10) (2+2√2,4+2√3) (4+2√3,10)
4．（2024·河北·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=3,b=2,∠BAC
4√6
的平分线AD的长为 ，则BC边上的高线AH的长等于（ ）
5
4 4√2
A． B．
3 3
4√3
C．2 D．
3
sinB 6a−b
5．（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知c=6, = ，
sinA b则△ABC面积的最大值为（ ）
19 21
A． B． C．12 D．15.
2 2
6．（2024·新疆喀什·三模）在△ABC中，AB=2，BC=√7，∠BAC=120°，D是BC边一点，AD是
∠BAC的角平分线，则AD=（ ）
2
A． B．1 C．2 D．√3
3
7．（2024·广东广州·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=3，b=2，
4√6
∠BAC的平分线AD的长为 ，则BC边上的中线AH的长等于（ ）
5
√17 4√2 √17 4√3
A． B． C． D．
2 3 4 3
8．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在
半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（ ）
A． B．
(8,12] (8√2,12]
C． D．
(8,8√2] (4,8√2]
二、多选题
π
9．（2024·云南曲靖·模拟预测）在△ABC中，AB=4，AC=6，A= ，D为边BC上一动点，则
3
（ ）
A．BC=2√7
12√3
B．当AD为角A的角平分线时，AD=
5
C．当D为边BC中点时，AD=3√2
19
D．若点P为△ABC内任一点，⃗PA⋅(⃗PB+⃗PC)的最小值为−
410．（2024·山东济南·三模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若a=1，
且sin A−bsinB=(c+b)sinC，则（ ）
√3 √3
A．sin A= B．△ABC面积的最大值为
2 4
2√3 √3
C．R= D．BC边上的高的最大值为
3 6
11．（2024·河北邯郸·三模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为
√3
(a2+c2−b2)，则下列说法正确的是（ ）
4
1 1
A．cosAcosC的取值范围是(− , ]
2 4
√3
B．若D为边AC的中点，且BD=1，则△ABC的面积的最大值为
3
a (1 )
C．若△ABC是锐角三角形，则 的取值范围是 ,2
c 2
D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE=√3，则a+4c的最小值为10
三、填空题
12．（24-25高三上·江苏·开学考试）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若
(b−c)sinB=bsin(A−C)，则角A= ．
b c
13．（2024·全国·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,cosC= + ,∠BAC的平分
a 2a
线AD交BC于点D.若AD=1，则△ABC周长的最小值为 .
14．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在半径为2，圆心角为60°的扇形的弧PQ上任取一点A，点B在线
段OQ上，且AB//OP，则△ABP面积的最大值为 .
四、解答题
15．（2024·贵州黔南·一模）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
sin A+√3cosA=0，a=7，b=3.
(1)求A和c；(2)已知点D在线段BC上，且AD平分∠BAC，求AD的长.
16．（2024·浙江·模拟预测）已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足
sinA c−b
= .
sinB+sinC b
π
(1)若C= ，求B；
3
a+c
(2)求 的取值范围．
b
3
17．（2024·河南·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且c=5a,cosB= .
5
(1)求cosC；
(2)记 的面积为 ，其外接圆的面积为 ，求S .
△ABC S S 1
1 2 S
2
18．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中AB=2百米，
BC=1百米，AD=CD，AD⊥CD，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟
AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．π
(1)若∠ABC= ，求排水沟BD的长；
2
(2)若∠ABC=α，试用α表示4条人行道的总长度．
19．（2024·广东东莞·模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量
⃗m=(cosA,cosB),⃗n=(a,2c−b)，且⃗m//⃗n.
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求△ABC周长的取值范围.
