文档内容
考点 28 正弦定理、余弦定理（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
【知识点】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ ；
内容 ＝ ＝ ＝2R b2＝ ；
c2＝
(1)a＝2Rsin A，
b＝ ，
c＝ ； cos A＝ ；
变形 (2)sin A＝， cos B＝ ；
sin B＝ ， cos C＝
sin C＝ ；
(3)a∶b∶c＝____________
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A0，φ>0)个单位长度而
非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω为负时应先变成正值
【例题1】（2024·广东江门·二模） 是 内一点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若
，且 ，则 .
【变式2】（2024·山东日照·二模） 的内角 的对边分别为 ．分别以
为边长的正三角形的面积依次为 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ， ，求 ．【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且 .
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，点F为 的垂心， ，求 的取值范围.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用
A＋B＋C＝π这个结论．
【例题2】（2024·陕西渭南·三模）已知 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
若 ，且 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若
，则 的形状为 .
【变式2】（2024·安徽淮北·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
(1)试判断 的形状；
(2)若 ，求 周长的最大值.【变式3】（2024·内蒙古·三模）在 中，内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，证明： 为直角三角形.
命题点2 三角形的面积
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【例题3】（2024·云南昆明·三模）已知 中， ， ， ，则
的面积等于（ ）
A．3 B． C．5 D．
【变式1】（2024·安徽·三模）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满
足 , ，则 的面积是
．
【变式2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形 中，内角 对应边分别为 且
.(1)求 的大小；
(2)如图所示， 为 外一点， ， ， ， ，求
及 的面积.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）在 中，已知 .
(1)求证： ；
(2)若D为AB的中点，且 ， ，求 的面积.
命题点3 与平面几何有关的问题
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通
常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题
时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，
再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想
【例题4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形 中，
，记 与 的面积分别为 ，则 的值为
（ ）A．2 B． C．1 D．
【变式1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在 中， ， ， 、
分别在边 、 上， ， 且 .则 值是 ；
的面积是 .
【变式2】（2024·广东梅州·二模）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
， ，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当 ，且 时，求AC的长；
（Ⅱ）当 ，且 时，求 的面积 ．【变式3】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆 的半径为2，直线 与圆 相
切于点 ，圆 上的点 从点 处逆时针转动到最高点 处，记
.
(1)当 时，求 的面积；
(2)试确定 的值，使得 的面积等于 的面积的2倍.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ， ，则（ ）
A． 为锐角三角形 B． 为直角三角形
C． 为钝角三角形 D． 的形状无法确定
2．（2024·贵州遵义·三模）在 中，角 的对边分别为 ，D为 的中点，已知 ， ，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·河南·阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
， ， 的平分线交边AC于点D，且 ，则 （ ）
A． B． C．6 D．
4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在 中， ， 为 内一
点， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·江西·二模）已知 中， 为 的角平分
线，交 于点 为 中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的面积为
D． 在 的外接圆上，则 的最大值为
6．（2024·重庆·模拟预测）已知 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则
下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 为钝角三角形D．若 ，则 为锐角三角形
三、填空题
7．（2024·北京昌平·二模）已知 中， ，则 ．
8．（2024·江苏·二模）设钝角 三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若
， ， ，则 .
9．（2024·河南·三模）如图，在 中，角 所对的边分别为 ，已知
， 的平分线 交边 于点 边上的高为 边上的
高为 ， ，则 ；
.
四、解答题
10．（2024·上海宝山·二模）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值，并判断此时 的形状.
11．（2024·江西·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，其外接圆的
半径为 ，且 ．(1)求角 ；
(2)若 的角平分线交 于点 ，点 在线段 上， ，求 的
面积．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·浙江金华·三模）在 中，角 的对边分别为 ， ， .若 ，
， ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
2．（2024·青海西宁·二模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出
以下4个命题：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 一定为直角三角形；（3）若 ， ， ，则 外接圆半径为 ；
（4）若 ，则 一定是等边三角形.
则其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
满足 ，且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为 的等腰三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．等腰直角三角形
6．（2024·吉林长春·模拟预测） 的内角 所对的边分别为
，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
7．（2024·河北秦皇岛·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ，则（ ）
A． 为直角三角形 B． 为锐角三角形
C． 为钝角三角形 D． 的形状无法确定
8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形 满足 ， ，则四边
形 的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）若 的三个内角为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 一定能构成三角形的三条边
B． 一定能构成三角形的三条边C． 一定能构成三角形的三条边
D． 一定能构成三角形的三条边
10．（2024·广东广州·二模）在梯形 中，
，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·浙江·三模）已知 的内角 的对边分别为 ，且
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解
C．当 时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知在 中，点 在线段 上，且
，则 ．
13．（2024·湖南长沙·二模）在 中，若 ， ， ，则
.
14．（2024·福建厦门·三模）记锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若
，则 的取值范围是 .
四、解答题15．（2024·陕西西安·模拟预测）设 的内角 所对的边分别是 且向量
满足 .
(1)求A；
(2)若 ，求BC边上的高 .
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ，
， 的角平分线与 相交于点 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)求 的值.
17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头
的栈道，且 ，在B处测得 ，在D处测得
．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）
(1)求A，C两处景点之间的距离；
(2)栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
18．（2024·湖南·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)证明： 是锐角三角形；
(2)若 ，求 的面积．19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应
位置上）
在 ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)△求角B的大小；
(2)若 ABC为锐角三角形， ，求 的取值范围.
△
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·山东·二模）在 中，设内角 的对边分别为 ，设甲：
，设乙： 是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2024·安徽·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园” 中，
准备修一条三角形健身步道 ，已知扇形的半径 ，圆心角 ， 是扇形
弧上的动点， 是半径 上的动点， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥P﹣ABC所有棱长都等于2，动点M在三棱锥P﹣ABC
的外接球上，且 的最大值为s，最小值为t，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
二、多选题
5．（2024·湖北·模拟预测）在 中， 所对的边为 ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
6．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 一定是等腰三角形
B．若 ，则 一定是等边三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，则 一定是钝角三角形三、填空题
7．（2024·全国·三模）在 中， ， .若
，则 的面积为 .
8．（2024·陕西铜川·三模）已知 的内角 所对的边分别是 ，点 是 的
中点.若 ，且 ，则 .
9．（2024·广西·模拟预测）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
的面积 ，则 的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·河南·三模）已知 是 内一点，
.
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中
百米， 百米， ， ，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、
EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．(1)若 ，求排水沟BD的长；
(2)若 ，试用 表示4条人行道的总长度．
