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专题 18 难点探究专题：实际问题与一元一次方程之六大类型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】................................................................................................1
【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】................................................................................................5
【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】..............................................................................................11
【类型四 一元一次方程的应用--配套问题】..............................................................................................18
【类型五 一元一次方程的应用--电费和水费问题】..................................................................................22
【类型六 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】..............................................................................28
【典型例题】
【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】
例题：（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学
问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几
何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人
无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【答案】39人，15辆车
【分析】设一共有x人，分别表示两种方式的车辆数，根据车辆数相等建立方程求解即可．
【详解】设一共有x人，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
答：一共有39人，15辆车．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文
是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根
绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，问木头长多少尺?若设
木头长为 尺，可求得 的值为 ．
【答案】 / /
【分析】设木材的长为x尺，根据“用绳子去量一根木头的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木头的
长，木头还剩余一尺”，结合绳子的长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．
【详解】解：设木头的长为 尺，
依题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店
李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7
人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
【答案】店中共有8间房
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【详解】解：设店中共有x间房
依题意得： ，
解得： ，
答：店中共有8间房．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
3．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问
题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几
何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一
碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
【答案】72个【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出
方程即可．
【详解】解：设有x个客人，则
，
解得， ，
答；有72个客人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系列出方程．
4．（2023秋·七年级课时练习）“鸡兔同笼”是中国古代数学名题之一，记载于《孙子算经》之中，其大
意为，若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问：笼中鸡和兔各
有多少只？
【答案】鸡有23只，兔有12只
【分析】设鸡为 只，根据有94只脚列出方程，解之即可．
【详解】解：设鸡为 只，那么兔有 只，鸡的脚有 只，兔的脚有 只，
则有 ，
解得 ，
所以 （只）．
答：鸡有23只，兔有12只．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2023·安徽六安·统考二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿
子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，
用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是
多少尺？
【答案】绳索长为20尺，竿长15尺．
【分析】设绳索长 尺，则竿长为 尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解
即可．
【详解】解∶设绳索长 尺，则竿长为 尺．根据题意可得，
解得
（尺），
答：绳索长为20尺，竿长15尺．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关
键．
6．（2023秋·北京·九年级清华附中校考开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：
先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留
3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也
恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量 个搬运工的体重和 块等重的条形石的重量+1个
搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得， ______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量 ______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【答案】 ；260；2；5590
【分析】根据题意，表示出大象的重量可表示为 斤，也可表示为 斤，进而可
列方程求解即可.
【详解】解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量 个搬运工的体重和 块等重的条形石的
重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为： ．
②解这个方程得， ．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量 个搬运工的体重；④ ，
即最终可求得：大象的体重为5590斤．
故答案为： ；260；2；5590．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】
例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调
查，在换季时积压了一批服装。为了缓解资金压力，小张决定打折销售．若每件服装按标价的6折出售将
亏10元，而按标价的8折出售将赚40元．
(1)请计算每件服装标价多少元？每件服装成本多少元？（用一元一次方程求解）
(2)为尽快减少库存，又要保证不亏本，请问小张最多能打几折？
【答案】(1)标价为 元，服装成本 元
(2)
【分析】（1）可以设标价是x元，根据题意列方程解答，本题的等量关系是衣服的成本，分别以六折和八
折表示出成本，即可列出方程．
（2）为了尽快减少库存，又要保证不亏本，也就是打折后等于成本，在（1）的结论的基础上，列方程解
答即可．
【详解】（1）设标价是x元，
由题意得， ，
解得， ，
这种服装的成本是 （元）
答：标价为 元，服装成本 元．
（2）设最多打y折，
由题意得， ，
解得， ，
答：最多能打 折．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习）云阳新世纪超市销售蓝莓，第一周的进价是每千克30元，销量是200千克；第二周的进价是每千克25元，销量是400千克．已知第二周的售价比第一周的售价每千
克少10元，第二周比第一周多获利2000元．
(1)求第二周该水果每千克的售价是多少元？
(2)第三周该水果的进价是每千克20元．经市场调查发现，如果第三周的售价比第二周降低 ，销量是
第二周销量的3倍．此时获利比第二周增加了 求t的值．
【答案】(1)40元
(2)37.5
【分析】（1）设第二周该水果每千克售价是 元．利用第二周比第一周多获利2000元列方程，求解即可；
（2）根据第三周的售价比第二周降低 %，销量是第二周销量的3倍，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设第二周该水果每千克售价是 元．
则 ，
解得： ，
答：第二周该水果每千克售价是40元；
（2）解：根据题意可得：
令t%＝a
解得 a＝0.375
故t＝37.5．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出第三周的销量与每千克利润和理解题意列出方
程是解题关键．
2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售
价150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．
(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？
(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120
元，他只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与
“每满100元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反
而要多付7.6元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？
【答案】(1)购进甲种服装25件(2)购买一件甲种服装需要 元
【分析】（1）设购进甲种服装x件，则购进乙种服装 件，根据总进价用去 元列方程求解即可；
（1）该超市第二天推出的让利活动是先打 折再进行满减活动，根据乙种服装打折后的价钱在200元到
299元之间此时购买反而要多付7.6元列方程求解．
【详解】（1）解：设购进甲种服装x件，则购进乙种服装 件，
根据题意得： ，
解得： ．
答：购进甲种服装25件．
（2）该超市第二天推出的让利活动是先打 折再进行满减活动，
根据题意得：
解得： ，
(元)，
(元)．
答：购买一件甲种服装需要109.5元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，设恰当未知数列出方程是解题的关键．
3．（2023·全国·七年级假期作业）某水果店第一次购进西瓜 千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马
上又购进 千克西瓜，进货价比第一次每千克少 元，两次进货共花费 元．
(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?
(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有 %的损耗，第二
次购进的西瓜有 %的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利 元，每千克西瓜的售价为多少元?
【答案】(1) 元
(2) 元
【分析】（1）设第一次购进西瓜的进价为每千克 元，则第二次购进西瓜的进价为每千克 元，根
据题意列一元一次方程即可求解．
（2）设每千克西瓜的售价为 元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即
可求解．
【详解】（1）设第一次购进西瓜的进价为每千克 元，则第二次购进西瓜的进价为每千克 元，依题意得： ，
解得： ．
答：第一次购进西瓜的进价为每千克 元．
（2）设每千克西瓜的售价为 元，
依题意得：
解得： ．
答：每千克西瓜的售价为 元．
【点睛】此题主要考查了一元一 次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键．
4．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，
利润率 ；乙种商品每件进价40元，售价60元．
(1)每件甲种商品的进价为 元；每件乙商品的利润率为 ．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？
(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于或等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按购物总金额打九折
超过600元 其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？
【答案】(1)50；
(2)购进甲种商品100件
(3)购进乙种商品13件
【分析】（1）设每件甲种商品的进价为x元，根据 列出方程解方程即可，根据
求出乙商品的利润率即可；
（2）设购进甲种商品y件，则购进乙种商品 件，根据甲、乙两种商品的总进价为21000元，列出
方程，解方程即可；
（3）设小华购买乙种商品总价为m元，根据小华购买乙种商品实际付款564元列出方程，解方程得出实际付款数，然后再求出件数即可．
【详解】（1）解：设每件甲种商品的进价为x元，根据题意得：
，
解得： ，
每件乙商品的利润率为： ；
故答案为：50； ．
（2）解：设购进甲种商品y件，则购进乙种商品 件，根据题意得：
，
解得： ，
（件），
答：购进甲种商品100件．
（3）解： （元），
（元），
∵ ，
∴小华购买乙种商品总价超过600元，
设小华购买乙种商品总价为m元，根据题意得：
，
解得： ，
（件），
答：购进乙种商品13件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程，熟练掌握
， ．
5．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市
中小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学
本学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺
的标价为90元/副，优惠活动如下：
销售量 单价不超过10副的部分 每副立减14元
超过10副但不超过20副的部分 每副立减22元
超过20副的部分 每副立减30元
(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；
②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；
③若该班级家委会购买了 副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）
(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．
【答案】(1)①152，②1100，③
(2)25副
【分析】（1）①根据购买“不超过10副” 确定优惠条件，并列式计算；②根据购买“超过10副但不超
过20副” 确定优惠条件，并列式计算；③ 购买了 副这种防蓝光眼镜，根据根据销售量“不超
过10台的部分”、“超过20台的部分”确定优惠条件，然后列出代数式；；
（2）设购买了x副这种防蓝光眼镜，需要对销售量分三种情况进行讨论．
【详解】（1）① （元），
故答案为：152；
② （元），
故答案为：1100；
③ （元）
故答案为：
（2）设他们购买了x副防蓝光眼镜，
①当 时，均价76元，不合题意，舍去；
②当 时，
解之得， ，不在范围内，舍去；
③当 时，解之得，
答：他们购买了25副防蓝光眼镜．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】
例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织
员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅
行社表示给予每位旅客 折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．
(1)若参加旅游的人数为x，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x
的式子表示）．
(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?
【答案】(1) ；
(2)该单位有员工18人
【分析】（1）甲旅行社的费用为人数乘以单价，再乘以0.85；乙旅行社的费用为（人数 ）乘以单价，
再乘以0.9；
（2）利用甲，乙两家旅行社的费用相同，结合（1）中选择两个旅行社的费用的代数式，列方程，即可解
答．
【详解】（1）解：甲旅行社的费用为 （元）；
乙旅行社的费用为 元，
故答案为： ； ；
（2）解：由题意可得方程 ，
解得 ，
该单位有员工18人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟读题意，理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）张老师暑假带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买
全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若
全票价为240元．(1)若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？
(2)学生数为多少时两个旅行社的收费相同？
【答案】(1)当有学生3人时，甲旅行社需费用600元，乙旅行社需费用576元；当有学生5人时，甲旅行
社需费用840元，乙旅行社需费用864元
(2)学生数为4时两个旅行社的收费相同
【分析】（1）分别根据两种旅行社的收费方式，求出当学生为3人和5人时的费用即可；
（2）设学生有x人，根据两旅行社的收费相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当有学生3人时，甲旅行社需费用： （元）；
乙旅行社需费用： （元）；
当有学生5人时，甲旅行社需费用： （元）；
乙旅行社需费用： （元）；
（2）解：设学生有 人，
由题意得， ，
解得： ．
答：学生数为4时两个旅行社的收费相同．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握
与灵活运用．
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人
（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格
表为：
购买服装的套
1套至50套 51套至90套 91套及以上
数
每套服装的价
50元 40元 30元
格
(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；
(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出?
(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服
装方案．
【答案】(1)2760元
(2)甲班级有52名学生准备参加演出，乙班级有40名学生准备参加演出
(3)甲乙两班联合购买91套演出服装比其他购买方案更省钱【分析】（1）甲、乙两个班级合起来统一购买，总套数超过91套，再结合价格方案即可解答；
（2）设甲班有x名学生准备参加演出，共需要 元，可列方程 ，解
方程求出x的值及代数式 的值即可解答；
（3）有三种方案，一是两班级单独购买，二是两班联合按准备参加演出的学生数购买，三是两班联合购
买91套服装，计算出按每种方案购买分别需要多少钱，再比较三个计算结果的大小，即可得到题意的答案．
【详解】（1）解： （元），
∴甲、乙两个班级合起来统一购买服装共需付款2760元．
故答案为：2760．
（2）解：设甲班有x名学生准备参加演出，
∵甲、乙两个班级共92人，其中甲班51人以上，不足55人，
∴乙班少于50人，
根据题意得 ，解得 ，
∴ （名）．
答：甲、乙两个班级分别有52名学生和40名学生准备参加演出．
（3）解： 两班联合购买91套服装的费用： （元）
两班联合购买84套服装的费用： （元）
甲、乙单独购买的总费用： （元）
∵2730元＜3360元＜4200元，
∴甲、乙两班联合购买91套演出服装比最省钱．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识点，正确地用代数式表示
甲、乙两班单独购买时所需要的总钱数及两班联合购买时所需要的总钱数是解题的关键．
3．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学
校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品
商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（ ）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款
_________元（用含x的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当 时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
【答案】(1) ，
(2)购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多
(3)按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元
【分析】（1）由题意按A方案购买可列式： ，在按B方案购买可列式：
；
（2）由（1）列等式求解即可；
（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，
B方案是篮球和跳绳都按定价的 付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购
买，计算出所需付款金额，进行比较即可．
【详解】（1）解：A方案购买可列式： 元；
按B方案购买可列式： 元；
故答案为： ， ；
（2）由（1）可知，
当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，
即
解得 ．
答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．
（3）当 时，
按A方案购买需付款： （元）；
按B方案购买需付款： （元）；
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：
（元）；
∵ ，
∴省钱的购买方案是：按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．
【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题
的能力．
4．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）为了增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，我县各个学校
都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”．七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店，准备给每
位同学购买一根跳绳．了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示．已知两个班共有学生79人，其中3
班人数超过40人但不超过45人．
(1)若3班有学生44人，以班级为单位每人购买一根跳绳，则两个班共付钱多少元？
(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳，两个班共付钱1340元．
①问两个班级各有多少人？
②两位班长通过讨论和计算，发现有一种购买方案最省钱．请你写出最省钱的购买方案，并通过计算说明
理由．
【答案】(1)1334元
(2)①七年级3班有41人，则七年级4班有38人；②最优惠的方案是两个班合起来买，多买2根，一共购
买81根，最省钱，理由见解析
【分析】（1）根据两个班的人数和跳绳的单价列式计算即可；
（2）①设七年级3班有 人，则七年级4班有 人，根据两个班共付钱1340元列出方程解方程即可；
②分别求出三种不同的购买方案需要花的钱数，然后进行比较即可．
【详解】（1）解： （元）．
答：两个班共付钱1334元．
（2）解： 3班人数超过40人但不超过45人，
4班人数不少于34人但不到39人，①设七年级3班有 人，则七年级4班有 人，根据题意得：
，
解得： ，
经检验 是方程的解，且符合题意，
（人），
答：七年级3班有41人，则七年级4班有38人．
②Ⅰ：以班级为单位购买，四班多买3根，可以八折优惠，
即： （元）；
Ⅱ：两个班合起来买79根，可以八折优惠，
即： （元）；
Ⅲ：两个班合起来买，再多买2根，可以七五折优惠，
即： ，
∵ ，
最优惠的方案是两个班合起来买，多买2根，一共购买81根，最省钱．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据等
量关系列出方程，准确计算．
5．（2023春·山西长治·七年级统考阶段练习）综合与探究
“双十一”即将来临，某超市规定消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优
惠：
一次性购物 优惠方案
超过200元但不超过600元 超过200元不超过600元的部分打八折
超过600元 每满300元减100元
(1)小博妈妈一次性购物 元，她实际付款_________元．（用含x的式子表示）
(2)小西妈妈一次性购物 元，小博妈妈一次性购物 元，结账时小博妈妈比小西妈妈多付
了336元，求x的值．
(3)小博和妈妈一起在超市购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．妈妈正准备一次性付款，小博
说他有更省钱的方法．你知道他的方法吗，请问小博能为妈妈节省多少钱？
【答案】(1)
(2)
(3)小博的方法是再买两个6元的文具袋（或一件12元的商品），可节省88元
【分析】（1）当 时，按超过200元不超过600元的部分八折计算即可；
（2）因为小西妈妈的费用 时，所以按原价付款；而小博妈妈的费用200<x+400<600，故按超过200
元不超过600元的部分八折付款，再根据小博妈妈比小西妈妈多付336元列出方程求出 即可得答案；
（3）再买2个6元的文具袋总费用可达到900元，根据超过600元，每满300减100元可在原来的基础上
再减100元，优惠力度更大．
【详解】（1）∵ ，
∴超过200元不超过600元的部分打八折，
∴她实际付款 （元），
故答案为：
（2） ，
小西妈妈按原价付款 元．
，
按超过200元不超过600元的部分打八折付款，
小博妈妈实际付款 元，
∵结账时小博妈妈比小西妈妈多付了336元，
，
解得 ，
的值为120．
（3）总费用为 （元）．
，
每满300减100元，
一次性付款的方案实际付款 元．
若再买两个6元的文具袋（或一件12元的商品），
总费用为 元，
再买两个6元的文具袋（或一件12元的商品）后，实际付款 元，共节省 元，
小博的方法是再买两个6元的文具袋（或一件12元的商品），可节省88元．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的
运用，设计方案的运用，仔细理解每个价格对应的优惠方案是解题的关键．
【类型四 一元一次方程的应用--配套问题】
例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间
有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母
120个．
(1)该车间有男生、女生各多少人？
(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，
多少工人负责生产螺母？
【答案】(1)该车间有男生18人，则女生人数是26人
(2)分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母
【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是 人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程
并解答；
（2）首先设应分配y名工人生产螺丝， 名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量
螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是 人，则
．
解得
则 ．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）设应分配y名工人生产螺丝， 名工人生产螺母，由题意得：
解得： ，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·七年级校考开学考试）某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大
齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排 名工人加工大齿轮，才
能刚好配套．
【答案】18
【分析】首先设每天加工大齿轮的有x人，则每天加工小齿轮的有 人，再利用3个大齿轮与2个小
齿轮刚好配成一套得出等式求出答案．
【详解】解：设每天加工的大齿轮的有x人，则每天加工小齿轮的有 人，
根据题意可得； ，
解得： ，
故答案为：18．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用3个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套进而得出等式
是解题关键．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每 米长的某种布料
可做 件上衣或 条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料 米，若全部用来做
这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？
【答案】用 米布料做上衣，用 米布料做裤子，才能恰好配套．
【分析】设用 米布料做上衣，则用 米布料做裤子，根据题意，列出方程，解出 ，再根据裤子
的布料为 ，即可．
【详解】设用 米布料做上衣，则用 米布料做裤子，
∴ ，
解得： ．
∴裤子的布料为： （米）．
答：用 米布料做上衣，用 米布料做裤子，才能恰好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的实际运用．
3．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现在要用5立方米木料制作方桌，请你设计一下，用多少木料制作
桌面，用多少木料制作桌腿，恰好配成方桌多少张？
【答案】用3立方米木料制作桌面，用2立方米木料制作桌腿，恰好配成方桌150张．
【分析】利用一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，利用桌面 桌腿数量，进而得出等式计算即可．
【详解】解：设用 立方米木料做桌面，那么桌腿用木料 立方米，根据题意，得：
，
解得： ，
，
，
答：用3立方米木料制作桌面，用2立方米木料制作桌腿，恰好配成方桌150张．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
4．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）某车间共有90名工人．每名工人平均每天可加工甲种部件
15个或乙种部件8个，应安排加工甲、乙两种部件各多少名工人，才能使每天加工后每3个甲种部件与2
个乙种部件恰好配套？
【答案】安排40名工人生产甲种零件，50名工人生产乙种零件．
【分析】设应分配 人生产甲种零件，则分配 人生产乙种零件，然后列方程计算即可．
【详解】解：设应分配 人生产甲种零件，则分配 人生产乙种零件，
根据题意得： ，
解得： ，
．
答：安排40名工人生产甲种零件，50名工人生产乙种零件．
【点睛】本题考查是一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正
确找出合适的等量关系，列出方程，继而求解．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某车间有22名工人生产螺钉和
螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好配
套.
(1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？
(2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符
合要求？【答案】(1)不符合要求
(2)分配10名工人生产螺钉，12人生产螺母
【分析】（1）计算出每天生产的螺钉数、螺母数，判断是否配套即可；
（2）设分配x名工人生产螺钉，根据一个螺钉要配两个螺母建立方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：每天生产的螺钉数为 （个），
每天生产的螺母数为 （个），
，
这样的安排不符合要求；
（2）解：设分配x名工人生产螺钉，则 名工人生产螺母，
根据题意得： ，
解得 ，
故 （人）．
答：分配10名工人生产螺钉，12人生产螺母才能符合要求．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
6．（2021秋·江西九江·七年级校考期中）在手工制作课上，老师组织班上学生用硬纸制作圆柱形茶叶桶．
这个班共有学生50人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或筒底120个．
(1)这个班有男生、女生各多少人？
(2)茶叶筒要求一个筒身配两个筒底，那么应分配多少人去剪筒身，多少人去剪筒底？
【答案】(1)这个班有男生24人，女生26人
(2)应分配30人去剪筒身，20人去剪筒底
【分析】（1）男生为x人，根据题意有： ，解方程即可求解；
（2）设应分配x人去剪筒身， 人去剪筒底，根据题意有： ，解方程即可求解．
【详解】（1）设男生为x人，
根据题意有： ，
解得： ，
女： (人)，
这个班有男生24人，女生26人；（2）设应分配x人去剪筒身， 人去剪筒底，
根据题意有： ，
解得： ，
筒底的人： (人)，
应分配30人去剪筒身，20人去剪筒底．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，列出相应的一元一次方程，是解答本题的关键．
【类型五 一元一次方程的应用--电费和水费问题】
例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动电话计费方法：
方法 ：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；
方法 ：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．
现在设通话时间是 分钟．
(1)请分别用含 的代数式表示计费方法 、 的通话费用．
(2)用计费方法 的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法 ，则可通话多少分钟？
(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？
【答案】(1)方法 通话 分钟的费用为 元；方法 通话 分钟的费用为 元
(2)改用计费方法 ，可通话 分钟
(3)150分或50分
【分析】（1）根据计费方法A、B表示出通话费用即可；
（2）根据计费方法A、B列方程求出出通话费用即可；
（3）根据题意，分两种情况列出方程，求出方程的解即可得到结果；
【详解】（1）解：由题意可得：
方法A： ，方法B： ；
（2）方法A通话150分钟所需的话费= ，
依题意得： ，
解得： ，
答：改用计费方法B，则可通话 分钟；（3）由题意得， ，
解得： 或
答：当通话时间150分或50分时，两种计费方法产生的费用相差15元．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）南京市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水
吨，计划内用水每吨收费 元，超计划部分每吨按 元收费．
(1)用代数式表示（所填结果需化简）：设用水量为 吨，当用水量小于等于 吨，需付款____元；当用
水量大于 吨，需付款_____元；
(2)某月该单位用水 吨，水费是____元；若用水 吨，水费____元；
(3)若某月该单位缴纳水费 元，则该单位用水多少吨？
【答案】(1) ，
(2)1112，952
(3)该单位用水400吨．
【分析】（1）根据单价×数量=总价根据条件就可以分别求出结论；
（2）把数据分别代入（1）中的代数式求出结果即可．
（3）设该单位用水为x吨，则费用为 ，求出其解即可．
【详解】（1）解：设用水量为x吨，由题意，得
当用水量小于等于300吨，需付款 元，
当用水量大于300吨，需付款 （元），
故答案为： ， ；
（2）解：用水320吨，水费是 （元），
用水280吨，水费是 （元）．
故答案为：1112，952；
（3）解：设该单位用水x吨，由题意，得
，
解得： ．答：该单位用水400吨．
【点睛】本题考查了代数式的运用，代数式的值的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据
单价×数量=总价建立方程是关键．
2．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格
调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
每月用水量 单价
不超过 的部分 3元
超过 不超过 的部
4元
分
超过 的部分 6元
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水 ，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水 ，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水 ，且4月份用水量超过 ，3月份用水量超过 ，共交水费94元，
则该户居民3、4月份各用水多少m³?
【答案】(1)18
(2)水费为 元
(3)该户居民3月份的用水量为 ，4月份的用水量为
【分析】（1）利用表格中收费标准求解即可；
（2）分不超过 的部分、超过 不超过 的部分、超过 的部分三部分计算求和即可；
（3）设3月份的用水量为 ，则4月份的用水量为 ，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解： （元），
故答案为：18；（2）解：由题意，当 时，水费为 元．
（3）解：设3月份的用水量为 ，则4月份的用水量为 ．
根据题意， ，
则 ，
解得 ，
4月份的用水量为 ．
答：该户居民3月份的用水量为 ，4月份的用水量为 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，找到所需的等量关系，并正确列出代数式
和方程是解答的关键．
3．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下
表：已知2022年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元，2022年9月份老李家交电费157元．
一户居民一个月的用电量 电价（元/度）
不超过240度的部分 a
超过240度的部分但不超过400度的部分
超过400度的部分
(1)求表中a的值；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若老李家2022年8月份用电的平均电价为 元/度，求老李家2022年8月份的用电量．
【答案】(1)
(2)260度
(3)560度
【分析】（1）根据单价=费用÷总用电量，计算即可．
（2）根据 判定九月份用电量超过了240度，设九月份用电量为x度，列出方程计算即
可．
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据平均价格为 元/度，判定用电量超过了400度，列出方程计
算即可．【详解】（1）由题意，得 ．
解得 ．
答：表中a的值是 ．
（2）设老李家9月份的用电量为x度
，
，
．
由题意，得 ．
解得 ．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）设老李家8月份的用电量为y度．
，
．
由题意，得
解得 ．
答：老李家2022年8月份的用电量为560度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确判定用电量的范围是解题的关键．
4．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习）小明的爸爸是一名业务员，使用电话的
频率很高，因此他在某电话营业厅选择了A种套餐，如下表（A、B两种套餐接听免费，拨打收费，以下
通话时间全部为拨打时间）：
免费拨打时间（分
固定费用（元） 超出免费时间后单价（元/分钟）
钟）
A 18 1500
B 38 4000
(1)如果小明的爸爸10月份拨打电话2600分钟，求当月的电话费；
(2)小明的爸爸在11月份便登记更换成B套餐，但营业厅告知下月才能生效，11月仍按套餐计费，第二年1
月，小明的爸爸查询到去年11、12月话费共为176元，拨打时间一共为5200分钟。请问他11月和12月
的话费各是多少？
(3)若小明的爸爸没有按照（2）更换套餐，则11、12月话费一共将比实际多花多少钱？【答案】(1)128元
(2)11月话费为 元，12月话费为38元
(3)多花80元钱
【分析】（1）根据“当月话费 月租 超出部分单价 超出免费部分时间”即可得；
（2）设11月份拨打电话 分钟，则12月份拨打电话 分钟，就11月和12月是否超出免费拨打时
间分以下三种情况： 、 和 分别根据总费用为176元，列方程求解得出 ，
即可得11月和12月份的通话时间，再根据（1）中相等关系列式计算可得；
（3）利用（1）中计费公式计算出未更换套餐时的总费用，继而可得答案．
【详解】（1）解：根据题意知，当月的电话费为 （元）；
（2）设11月份拨打电话 分钟，则12月份拨打电话 分钟，
①当 时， ，则 ，
解得： （不符合题意，舍去）；
②当 时， ，则 ，不符合题意，舍去；
③当 时， ，则 ，
解得： ，
即11月份通话2700分钟，12月份通话 分钟，
月话费为 元，12月话费为38元；
（3）若小明的爸爸没有按照（2）更换套餐，
则所需话费为 元，
，
、12月话费一共将比实际多花80元钱．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据表格弄清每月话费的计费方法是解题的根本，由总时间
为5200分钟，就11月和12月是否超出免费拨打时间分类讨论是解题的关键．
5．（2023秋·江苏徐州·七年级统考期末）为缓解用电高峰期的供电缺口，促进电力资源的优化配置，某地
居民用电实施峰谷计费．峰时段为8：00－21：00；谷时段为21：00－次日8：00．下表为该地某户居民
八月份的电费账单（部分信息缺失），设其中的峰时电量为x千瓦·时，根据所给信息，解决下列问题．
户主 *** 用电户号 ******
家庭地址 ****** 2022年 08月
合计金额 166元 合计电量 350千瓦·时抄送周期 2022-06-01－－2022-08-01
备注：合计电量=峰时电量+谷时电量
计费数量（千瓦•
单价（元） 金额（元）
时）
峰时电量 0.56 x ②______
谷时电量 0.36 ①_____ ③______
(1)填空（用含x的代数式表示）：①________，②__________，③______；
(2)由题意，可列方程为___________；
(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦 时？
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)该账单中的峰时电量为200千瓦•时，谷时电量150千瓦•时．
【分析】（1）根据表格中的信息即可解答；
（2）根据“总费用=峰时费用+谷时费”列出方程即可；
（3）解出（2）中的方程即可．
【详解】（1）解：峰时费用为： （元），
谷时电量为： 元，
谷时费用为： 元；
故答案为： ， ， ；
（2）解：根据题意得： ；
故答案为： ；
（3）解：解（2）中的方程： ，
得： ，
则 ，
∴该账单中的峰时电量为200千瓦•时，谷时电量150千瓦•时．【点睛】本题主要考查列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题关键．
【类型六 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】
例题：（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）如图，数轴单位长度为1，点P、A、B是数轴上的三个
点，其中B点表示的数是5．
(1)点A表示的数是______，点P表示的数是______．
(2)若点A以3个单位/秒的速度向数轴的正方向运动，点B以个2单位/秒的速度向数铀的正方向运动，点
P以个1单位/秒的速度向数轴的正方向运动，且三点同时开始运动．
①当A、P两点重合时，求运动时间；
②当其中一点是另外两点所在线段中点时，求运动时间．
【答案】(1) ，
(2)①1秒② 秒
【分析】（1）根据点 表示的数，确定原点的位置，即可得到点 和点 表示的数；
（2）①利用速度差乘以时间等于运动之前 的距离，计算即可；②分点 是 的中点和 为 的中点，
两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵B点表示的数是5，
由图可知： 的中点为原点的位置，
∴ 点表示的数为 ， 点表示的数 ；
故答案为： ， ；
（2）①设运动时间为 秒，由题意，得： ，
解得： ；
∴A、P两点重合时，运动时间为1秒；
②由图和题意可知，点 不可能为 的中点，
当点 是 的中点时，由题意，得： ，
解得： ；当点 为 的中点时，由题意，得： ，
此方程无解，不符合题意；
∴ ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握两点间的距离公式，找准等量关系，正确的列出方程，
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为5，点C到点
A、B的距离相等，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．设点P运动的时间为
t秒（ ）．
(1)点C表示的数是__________；
(2)当点P到达点B时，求t的值；
(3)点P表示的数是__________（用含t的代数式表示）；
(4)当P、C两点之间的距离为2个单位长度时，直接写出t的值．
【答案】(1) ；
(2)6；
(3) ；
(4) 或 ．
【分析】（1）设点C表示的数为m，根据点C到点A、B的距离相等列方程即可得到答案；
（2）求出 的距离，根据行程问题列方程即可得到答案；
（3）根据数轴上两点间距离等于两数之差绝对值即可得到答案；
（4）分类P在C的左边与右边两类讨论，根据距离列方程即可得到答案；
【详解】（1）解：设点C表示的数为m，
∵点C到点A、B的距离相等，
，
解得： ，
故答案为 ；
（2）解：∵点A表示的数为 ，点B表示的数为5，
∴ ，由题意可得，
，
∴ ；
（3）解：设点P表示的数为n，
由题意可得，
，解得： ，
故答案为： ；
（4）解：由（1）得，
，
① 当P在C的左边时，由题意可得，
，
解得： ；
② 当P在C的右边时，由题意可得，
，
解得 ；
综上所述： 或 ；
【点睛】本题考查数轴上两点间距离及行程相距问题，解题的关键是注意分类讨论．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，在一条不完整的数轴上，动点A向左移动12个单位长度到达
点B，再向右移动28个单位长度到达点C．
(1)观察猜想：若点A表示的数为0，则点B表示的数为________________，点C表示的数为
________________；
(2)问题解决：在（1）的条件下，若小虫P从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时
另一只小虫Q从点C出发，以4个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的点D处相
遇，则点D表示的数是多少？
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，设两只小虫运动t秒时在数轴上相距8个单位长度，求出t的值．
【答案】(1) ，16
(2)点 表示的数是 ．
(3) 的值为 或6【分析】（1）依据点A表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点B、点C表示的数；
（2）设小虫P与小虫Q的运动的时间为t，根据两小虫运动路程之和为28列出方程并解答；
（3）根据点P，Q的运动可得出点P，Q运动后所对应的数，根据P，Q相距8个单位及数轴上两点间的
距离建立方程即可解答．
【详解】（1）解：若点A表示的数为0，则点B表示的数为 ，点C表示的数为 ；
故答案为： ，16；
（2）解：设小虫 与小虫 运动的时间为 秒．
依题意，得 ，
解得 ．
故点 表示的数是 ；
（3）解：①若两只小虫相遇前在数轴上相距8个单位长度，
则 ，
解得 ；
②若两只小虫相遇后在数轴上相距8个单位长度，
则 ，解得 ．
综上所述， 的值为 或6．
【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用．关键是能根据题意列出算式．
3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知a，b满足 ，a，b分别对应数轴上的
A，B两点．
(1)直接写出 ， ；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，求运动时间为多少时，点P到点A
的距离是点P到点B的距离的2倍?
(3)数轴上还有一点C对应的数为30．若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和
每秒1个单位长度的速度向C点运动．P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点
P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4？并求此时点Q对应的数．
【答案】(1)4，16(2)运动时间为 或8秒时，点 到点 的距离是点 到点 的距离的2倍
(3)点 表示的数为20，24，25，27
【分析】（1）求出 、 的值即可解决问题；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）分四种情形构建方程即可解决问题；
【详解】（1）解： ， 满足 ，
， ，
故答案为4，16．
（2）解：设运动时间为 ．
由题意： 或 ，
解得 或8，
运动时间为 或8秒时，点 到点 的距离是点 到点 的距离的2倍；
（3）解：设点 和点 运动 秒时， 、 两点之间的距离为4．
由题意得： 或 或 或 ，
解得 或8或9或11，
即点 和点 运动4或8或9或11秒时， ， 两点之间的距离为4．
此时点 表示的数为20，24，25，27．
【点睛】本题考查多项式、数轴、行程问题的应用等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用
分类讨论的思想思考问题．
4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知 是最小的正整数， 是 的相反数， ，且 ， ，
分别是点 ， ， 在数轴上对应的数.动点 从点 出发沿数轴正方向匀速运动，动点 同时从点 出
发也沿数轴正方向匀速运动，点 的速度是每秒2个单位长度，点 的速度是每秒1个单位长度，设点的运动时间为 秒．
(1) _______， _______， ________；
(2)若点 是 的中点，直接写出点 在数轴上对应的数为________；
(3)当 时，求线段 长为；
(4)若 ， 出发的同时，求经过多少秒，点 恰好追上点 ？
(5)若 ， 出发的同时，动点 从点 出发沿数轴正方向匀速运动，速度为每秒4个单位长度，当点
追上点 后，点 立即按原速度沿数轴负方向匀速运动，直接写出点 追上点 后，再运动________秒，
到 的距离等于 到 的距离？
【答案】(1)1，6， ；
(2)3.5；
(3)4；
(4)5秒；
(5) 或2．
【分析】（1）由已知条件即可确定 、 、 的值；
（2）根据数轴上中点所表示的数为端点所表示数之和的一半求解即可；
（3）设运动 秒后， 点对应的数是 ， 点对应的数是 ， ，把 代入即可；
（4）点 恰好追上点 ，即： ，求出 即可；
（5）设 秒后 追上 ，求出此时的 ，可得点 ，点 ，点 表示的数，设点 追上点 后，再运动
秒， 到 的距离等于 到 的距离，分两种情况：①当 在 的右侧时，②当 在 的左侧时，列
出方程求解即可．
【详解】（1）解：解：∵ 是最小的正整数，
∴ ，
∵ 是 的相反数，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：1，6， ；
（2）由题意，可知A点表示的数是1，B点表示的数是6，
∵点 是 的中点，
∴点 所表示的为： ；
故答案为：3.5；
（3）设运动 秒后， 点对应的数是 ， 点对应的数是 ，
则 ，
当 时， ；
（4）点 恰好追上点 ，即： ，
∴
即： ， 出发的同时，求经过5秒，点 恰好追上点 ；
（5）可知C点表示的数是 ，则
设 秒后 追上 ，由题意得： ，
解得 ，此时，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
设点 追上点 后，再运动 秒， 到 的距离等于 到 的距离，
①当 在 的右侧时，由题意得 ，
解得 ，
②当 在 的左侧时，由题意得 ，解得 ，
∴再运动 秒或2秒， 到 的距离等于 到 的距离．
故答案为： 或2．
【点睛】本题考查数轴，列代数式，代数式求值与一元一次方程的应用；能够由已知确定P、Q、M点运
动后对应的数，利用两点间距离的求法列出方程解题是关键．
