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重难点突破 04 立体几何表面积与体积
一．选择题（共3小题）
1．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有一个“鳖臑”，
底面 ， ，且 ， ，则该四面体的体积为
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：依题意有， 底面 ， ，且 ， ，
则
．
所以该四面体体积为2．
故选： ．
2．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为
的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为
A． B． C． D．
【解答】解：如图示圆柱中，底面半径为 ，底面直径为 ，母线长为 ．
过圆柱底面圆周上一点 作与圆柱底面所成角为 的平面为一个椭圆面，且 ．
在直角三角形 中， ， ，所以 ．
所以 为母线 的中点，过 作与圆柱底面平行的平面则平分整个圆柱．
在下半个圆柱中，椭圆面截两部分的体积为 ，所以椭圆面截整个几何体，所得两部分的体积之比为 ．
故选： ．
3．四棱锥 的底面 是平行四边形，点 、 分别为 、 的中点，连
接 交 的延长线于点 ，平面 将四棱锥 分成两部分的体积分别为 ，
且满足 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
则平面 将四棱锥 分成多面体 和多面体 两部分，
显然 ， ．
设平行四边形 的面积为 ，因为点 为 的中点，所以 ，
设 到平面 的距离为 ，因为点 为 的中点，所以点 到平面 的距离为
，
取 中点 ，连接 ，则 ，且 ，又点 ， ， 共线且 ，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，所以点 到平面 的距离为 ，
故 ，
，
因此 ．
故选： ．
二．多选题（共1小题）
4．如图，在棱长为 1的正方体 中，点 满足 ，其中
， ， ， ，则A．当 时，
B．当 ，时，点 到平面 的距离为
C．当 时， 平面
D．当 时，三棱锥 的体积恒为
【解答】解：对于 ，
当 时，此时点 与点 重合，由正方体性质可得 ， ，
，
所以四边形 为平行四边形，从而 ，
又因为 ，所以 ，即 ，故 正确；
对于 ，当 时，此时点 为 的中点，由 选项分析可知 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，从而得点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设
为 ，
因为三棱锥 与三棱锥 是同一个三棱锥，且△ 为边长为 的等边
三角形，
所以 ，从而得 ，解得 ，故 错误；
对于 ，
当 时，此时 ， ， 三点共线，
由 选项分析可知 平面 ，同理可证 平面 ，
又因为 ， 平面 ， ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，从而得 平面 ，故 正确；
对于 ，当 时，点 在△ 中与 平行的中位线 上，即 ，
由 选项分析可知 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，从而点 到平面 的距离为定值，
为点 到平面 的距离的一半，即 ，
底面为边长为 的等边三角形，所以 ，
则 的体积为 ，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共1小题）
5．四棱锥 的底面 是平行四边形，点 、 分别为 、 的中点，平
面 将四棱锥 分成两部分的体积分别为 ， 且满足 ，则 ．
【解答】解：如图，延长 ， 交于点 ，连接 交 于点 ，
底面 为平行四边形， 与 全等，
且 与 相似，相似比为2，
设 的面积为 ，则四边形 的面积为 ，
设点 到底面 的距离为 ，则 ，
又 为 的中点， ，
，得 ，
，
，
则 ．
故答案为： ．
四．解答题（共15小题）
6．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，
，点 ， 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点．
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 的体积．【解答】解：（1）证明：在三棱柱 中， 平面 ，则 平面
，
由 平面 ，则 ，
因为 ，则 ，又 为 的中点，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
由 平面 ，所以 ．
（2）设点 到平面 的距离为 ，则 等于点 到平面 的距离 ，
易知 ，△ 的面积为 ，
所以 ．
7．如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 平面
．
（1）求证： 平面 ；
（2）设 ， ，求三棱锥 的体积．
【解答】解：（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
且 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
因为 ，所以 为等腰三角形，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
8．如图，在正四棱锥 中， ， 分别为 ， 的中点， ．
（1）证明： ， ， ， 四点共面．
（2）记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 的值．
【解答】解：（1）证明：因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， ，
所 以
故 ， ， ， 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知， ， ，
设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ，
由 是 的中点得 ，
由 得 ，
所以 ．
9．《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两
堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角
形的四面体的统称．如图所示， 是长方体．
（1）求证：三棱锥 为鳖臑；
（2）若 ， ， ，求三棱锥 的表面积．
【解答】解：（1）证明： 是长方体，则 底面 ，
则 ，则面 是直角三角形，
同时， ，则面 是直角三角形，
又由 面 ，则有 ，面 为直角三角形，同时， ，则面 是直角三角形，
故棱锥 的四个面均为直角三角形，故三棱锥 为鳖臑；
（2）根据题意，△ 中， ，其面积 ，
△ 中， ，且 ，其面积 ，
中， ，其面积 ，
△ 中， ，且 ，其面积 ，
故三棱锥 的表面积 ．
10．如图 1，在 中， ， 分别为 ， 的中点； 为 的中点，
， ，将 沿 折起到△ 的位置，使得平面 平面
，如图2，点 是线段 上的一点（不包含端点）．
（1）求证： ；
（2）若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的体积．【解答】解：（1）由题意可知： ， ， ，
又 为 的中点， ．
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， ；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ，2， ， ，0， ， ， ， ， ，1， ，
．
设 ，
则 ，
又 ，设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ，得 ，
又 ，
设直线 和平面 所成角的大小为 ，，
解得 或 （舍 ， ．
．
即三棱锥 的体积为 ．
11．如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 平面 ，且满足
．
（1）利用向量基本定理求 的值；
（2）求三棱锥 的体积．
【解答】解：（1）因为点 平面 ，且满足 ，
由 、 、 、 四点共面，根据空间向量基本定理知，
，解得 ；
（2）以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ，
所以 ，0， ，1， ，0， ， ， ，
所以 ，0， ， ，1， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，则 ，取 ，则 ，所以 ，1， ，
所以点 到平面 的距离为 ，
所以 的面积为 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
12．如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为2的等边三角形， ，
分别是 ， 的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【解答】解：（1）证明：因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 是等边三角形， 是 的中点，
所以 ，因为 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
因为底面 和侧面 都是边长为2的等边三角形，
所以 ．
13．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，侧面
面 ， ， ， 为 的中点．
（1）求证：面 面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求 与面 所成角的正弦值；
（3）若平面 与平面 所成的锐二面角大小为 ，求四棱锥 的体积．
【解答】解：（1）证明：如图，分别取 、 中点 、 ，连接 ， ， ，
则 且 ，
又 ， ，
， ，
四边形 为平行四边形， ，
又 ，
， ，
平面 平面 ，且平面 平面 ， ，
平面 ， 平面 ，， ，
，且 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ；
（2）过点 作 ，则 平面 ，
由（1）得 平面 ，
， ，
所以二面角 的平面角为 ，即 ，
又 ，
即 为正三角形，
， ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，4， ， ，2， ， ，
又 为 中点， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
则 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）设 ， ，
则 ， ， ，
所以 ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，2，
， ，0， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
又平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
， ，
解得 或 （舍 ，
则 ， ，
所 以 四 棱 锥 的 体 积 为
．
14．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班
人具有重要战略意义，为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高
中组织学生到工厂进行实践劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为 ，高为 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面
内．
（1）求该圆柱的侧面积的最大值；
（2）求该圆柱的体积的最大值．
【解答】解：（1）设圆柱的半径为 ，高为 ，
则由题意可得 ，解得 ，
所以圆柱的侧面积为 ， ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时取“ ”，所以圆柱的侧面积最大值为 ．
（2）圆柱的体积为 ，
求导，得 ，
令 ，解得 或 （不合题意，舍去），
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
当 时， 取最大值 ，
所以圆柱体的最大体积为 ．
15．如图，在多面体 中，四边形 与 均为直角梯形， ，， 平面 ， ， ．
（1）已知点 为 上一点，且 ，求证： 与平面 不平行；
（2）已知直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求该多面体 的体积．
【解答】解：（1）证明： 平面 ， ， 平面 ，
， ，又 ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标
系，
则 ，2， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ，
，0， ， ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，得 ，1， ，
，且不存在 ，使得 ，即 与 不共线，与平面 不平行且不垂直．
（2）设 且 ，则 ，0， ， ， ， ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
，
化简得 ，解得 或 （舍 ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
， ，又 ， ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
，
，
，
，
．
16．已知四棱锥 ，底面 是菱形， ， 底面 ，且
，点 ， 分别是棱 和 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积．【解答】解：（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ， ，
因为底面 是菱形，所以 且 ，
因为点 ， 分别是棱 和 的中点，所以 且 ， 且
，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）由题意可得： ．
17．如图，在正四棱锥 中， ， 是棱 的中点；
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．【解答】（1）证明：因为四边形 为正方形， ，则 为 的中点，连
接 ，
因为 为 的中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：在正四棱锥 中， 为底面 的中心，连接 ，
则 底面 ， ， ，
因为 为 的中点，则点 到平面 的距离为 ，
三棱锥 的体积： ．
18．如图，四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ， ， 、分别是 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的表面积．
【解答】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，
矩形 中， 是 的中点，
则 ，且 ， ，且 ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形．
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）解：因为 、 为直角三角形，
则 ， ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，
过点 作 ，垂足为 ，设 ， ，
则 ，即 ，
解得 ，从而 ，
所以 ，所以三棱锥 的表面积为 ．
19．如图，四棱锥 中，四边形 为直角梯形，平面 平面 ，
， ， ， ．
（1）若 与 相似，三棱锥 的外接球的球心恰为 中点，求 与平
面 所成角的正弦值；
（2）求四棱锥 体积的最大值．
【解答】解：（1）由题意知 ， 平面 平面 ，平面 平
面 ，
且 ， 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， ，
又 三棱锥 外接球的球心恰为 中点，
， ，，即 ，
， ，
又 ， ， ，
设 与平面 所成角的正弦值为 ， ．
即 与平面 所成角的正弦值为 ．
（2）易知四边形 的面积为3，
如图以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
易知点 在平面 内，设 ， ， ， ，1， ， ，2， ，
由 得 ，
即 ，即 ，
轨迹是在面 上，以 为圆心， 为半径的圆，
要使四棱锥 体积最大，即 到平面 距离最大，且最大值为 ，
四棱锥 体积最大值 ．20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生
活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图 1所示．一个普通的蒙古包可视为
一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底
面直径为6米．
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 知 米 ， 米 ， 米 ， 所 以
（米 ．
（1）圆锥部分的侧面积为 （平方米）．
圆柱部分的侧面积为 （平方米）．
所以该蒙古包的侧面积为 （平方米）．（2）圆锥部分的体积为 （立方米），
圆柱部分的体积为 （立方米）．
所以该蒙古包的体积为 （立方米）．
