平面向量——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习（含解析）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025高考数学一轮复习易混易错专项复习（含解析）（完结）

（4）平面向量 ——2025 高考数学一轮复习易混易错专项复习 【易混点梳理】 1.向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则. 如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作 ， ， 则向量 叫做a与b的和，记作 ，即 . 三角形法 C 则 b a+b A B 已知两个不共线向量a，b，作 ， ，以 ， 为邻边作 ，则对角线上的向量 . 平行四边 形法则 D a C b a+b b a A B 2.对于零向量与任意向量a，有 . 3.向量加法的运算律： 交换律： ； 结合律： . 4.向量形式的三角不等式： ，当且仅当 方向相同时等号成立. 5.相反向量： ①定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量 的相反向量仍是零向量. ②性质：零向量的相反向量仍是零向量； 和 互为相反向量，于是 ； 若 互为相反向量，则 ， ， .6.向量数乘的定义：规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度与方向规定如下：① ；②当 时， 的方向与 的方向相 同；当 时， 的方向与 的方向相反.当 或 时， . 7.向量数乘的运算律：设 为任意实数，则有： ① ； ② ； ③ . 特别地，有 ； . 8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果 仍是向量.对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 . 9.向量共线（平行）定理：向量 与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 . 10.平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 . 11.基底：若 不共线，则把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 12.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 13.平面向量的坐标运算： 设向量 ，则有下表：运算 文字描述 符号表示 两个向量和的坐标分别等于这两个向 加法 量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两个向 减法 量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这个实 数乘 数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有 已知 ， 向量坐标公 向线段的终点的坐标减去起点的坐标 式 则 14.平面向量共线的坐标表示 （1）设 ，其中 共线的充要条件是存在实数 ，使 . （2）如果用坐标表示，向量 共线的充要条件是 . 15.向量的夹角：已知两个非零向量 ，如图， 是平面上的任意一点，作 ， 则 叫做向量 与 的夹角.记作 . B b θ O A 当 时，向量 同向；当 时，向量 垂直，记作 ；当 时，向量 反 向. 16.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，把数量 叫做向量 与 的数量积（或内积），记作 ，即 .17.投影向量：如图，设 是两个非零向量， ，过 的起点 和终点 ，分 别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到 ，这种变换称为向量 向向量 投 影， 叫做向量 在向量 上的投影向量. B a A b C A B D 1 18.向量数量积的性质：设 是非零向量，它们的夹角是 是与 方向相同的单位向量，则 （1） ； （2） ； （3）当 与 同向时， ；当 与 反向时， ，特别地， 或 ； （4）由 可得， ； （5） 19.向量数量积的运算律 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： .20.平面向量数量积的坐标表示：设向量 ，则 . 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 21.向量模的坐标表示： （1）若向量 ，则 ； （2）若点 ，向量 ，则 . 由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 22.向量夹角的坐标表示：设 都是非零向量， ， 是 与 的夹 角，则 . 23.向量垂直的坐标表示：设向量 ，则 . 【易错题练习】 1.已知 ， ，若 ，则 ( ) A.-1 B. C. D. 2.在 中，AD为BC边上的中线， ，则 ( ) B. A. C. D.3.向量 ， ， ，若 ，且 ，则 的值 为( ) A.2 B. C.3 D. 1 BC 4.已知 中， ， ， ，点D在BC边上，且 3 ，则线段 AD的长度为( ) 3 3 2 3  A. 3 B. 2 C. 3 D. 3 5.已知向量a，b满足 ， ，且 ，则 ( ) A. B. C. D.1    1  AB 2AC   | AC| AP     6.已知AB  AC， ， t .若P是 所在平面内一点，且 | AB| | AC| ， 则 的最大值为( ) 52 2 A.13 B. C. D. 7.（多选）已知向量 ， ， ，则( ) A. B.向量a，b的夹角为 C. D.a在b上的投影向量是    AO xAB yAD 8.（多选）若正方形ABCD中，O为正方形ABCD所在平面内一点，且 ，x,yR ，则下列说法正确的是( )  A. AO可以是平面内任意一个向量 x y 1 B.若 ，则O在直线BD上 1  1  2 1 x y  AP  AO DP AD AB C.若 2 ， 3 ，则 3 3    D.若OA2OB3OC 0，则 S △ABC 6S △BOC 9.设D为 所在平面内一点， .若 ，则 __________. 10.在 中，已知 ， ， ， ， 边上两条中线AM，BN相 交于点P，则 的余弦值为__________.答案以及解析 1.答案：B 解析：因为 ， ，且 ，所以 ，即 ，解得 .故选B. 2.答案：A 解析：如图，因为 ，所以 .由已知可得 ，所以 ， 所以 .故选A. 3.答案：C 解析：由题意，得 ， . 因为 ，所以 ，解得 ， 则 ，即 解得 故 .故选C. 4.答案：D，因为 ， ， 解析：由题意得 ，所以 ，即线段AD的长度为 .故选D. 5.答案：B 解析：由 ，得 ，所以 .将 的两边同时 平方，得 ，即 ，解得 ，所以 ，故 选B. 6.答案：B 解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ， ， ， ， 所以 ，即 ， 故 ， ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.故选 B.7.答案：BD 解析： ， ， ， ， ， ， ，故A错误； ， 又 ， 向量a，b的夹角为 ，故B正确； ， ，故C错误； a在b上的投影向量为 ，故D正确.故选BD. 8.答案：ABD 解析：对于A，由题意 ，又 ， ，以 为基底的坐标 系中，根据平面向量基本定理易知 可以是平面内任意一个向量，故A正确； 对于B，由向量共线的推论知，若 ，则O在直线BD上，故B正确；对于C，由题设 ，则 ，所以 ， 故C错误； 对于D，由 ，则 ，作E为BC的中点，连接 OE，则 ，即 ，且 ，如图所示，所以 ，故D正 确.故选ABD. 9.答案：-3 解析：因为 ，所以 ，即 ， 又 ，所以 ，解得 . 10.答案： 解析：方法一：如图，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 由 ， ， ，得 ， ， .由M，N分别为BC，AC的中点，得 ， ，故 ， ， 所以 . 方法二：由已知得 即为向量 与 的夹角. 因为M，N分别是BC，AC边上的中点，所以 ， . 又因为 ， 所以 ， ， ， 所以 .