重难点突破07立体几何中求角度、线段、距离（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_第七章空间向量与立体几何

重难点突破 07 立体几何中求角度、线段、 距离 1．四棱锥 中，四边形 为菱形， ， ，平面 平面 ． （1）证明： ； （2）若 ，且 与平面 成角为 ，点 在棱 上，且 ，求平 面 与平面 的夹角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：因为四边形 为菱形， 所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，故 ． （2）设 ，则 为 、 的中点， 又因为 ， 所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 因为 ， 、 平面 ， 所以 平面 ， 所以 为 与平面 所成角，故 ， 由于四边形 为边长为 ， 的菱形， 所以 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间 直角坐标系： 则 ， ， ，1， ， ， ， ， ，0， ， 由 ， 得 ，且 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取 ，则 ， ， 所以 ， 又平面 的一个法向量为 ， 所以 ， 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ． 2．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ， ， 的中点为 ． （1）求证： 平面 ． （2）若 ，求二面角 的余弦值．【解答】解：（1）证明：设 ，连接 ， 由于 ， 分别是 ， 的中点， 所以 ， 由于 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （2）设 是 的中点，连接 ， ， 则 ， 所以 平面 ， 由于 ， 平面 ， 所以 ， ， 由于 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以 ，则 ， 以 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系： 平面 的一个法向量为 ，， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 ，则 ， ， 故可设 ， 设二面角 为 ，由图可知 为锐角， 所以 ， 所以二面角 的余弦值为 ． 3．在三棱锥 中，底面 是边长为2的等边三角形，点 在底面 上的射影 为棱 的中点 ，且 与底面 所成角为 ，点 为线段 上一动点． （1）证明： ； （2）若 ，求点 到平面 的距离． 【解答】证明：（1）分别连接 ， ， 为 中点， 为等边三角形，， 点 在底面 上的投影为点 ， 平面 ， 又 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 面 ， 又 面 ， ． 解：（2）设点 到平面 的距离为 ，点 到面 的距离为 ， ， ， 为 在底面 上的投影， 为 与面 所成角， ， 垂直平分 ， ， 为正三角形， ， 中，易得 ， ， 到 的距离为 ， ，又 ， 由 ， ， ， ，点 到平面 的距离为 ． 4．如图，在四棱柱 中，侧棱 平面 ， ， ， ， ， 为棱 的中点． （1）证明： ． （2）设 ，若 到平面 的距离为 ，求 ． 【解答】证明：（1）以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，4， ， ，4， ，所以 ，0， ， ，2， ， 所以 ， 所以 ，即 ； 解：（2）因为 ，4， ， ，2， ， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ，所以 ，即 ，令 ，解得 ，0， ， 因为 ，0， ， 所以 到平面 的距离 ， 由题意可知 ，解得 ． 5．如图，正三棱柱 中，各棱长均为4， 是 的中点． （1）求点 到直线 的距离； （2）求点 到平面 的距离． 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 是 的中点， ，4， ． （1） ，则 ． 设点 到直线 的距离为 ， 则 ． （2）设平面 的一个法向量为 ， 则由 ， 得 ， 令 ，则 ，即 ． 易知 ，设点 到平面 的距离为 ， 则 ． 6．如图，在正三棱柱 中， ，此三棱柱的体积为 ， 为侧棱上点，且 ， 、 分别为 、 的中点． （1）求此三棱柱的表面积； （2）求异面直线 与 所成角的大小； （3）求 与平面 所成角的大小． 【解答】解：（1）设底面正三角形的边长为 ，则其面积为 ， 三棱柱 的体积为 ， ，解得 ， 三棱柱的侧面积为 ， 三棱柱的表面积为 ． （2）如图，取 的中点 ，连接 ， ，可得 ， 异面直线 与 所成角，即为直线 与 所成角， ， 在直角△ 中，有 ， 在直角 中，有 ， 取 的中点 ，连接 ， ， 在直角 中，有 ， 在 中，由余弦定理得： ， 异面直线 与 所成角的大小为 ； （3）如图， 取 的中点 ，可得 ， 由正三棱柱的结构特征易知平面 平面 ， 又平面 平面 ， 平面 ，直线 与平面 所成的角即为 ， 在 △ 中， ， 又 ， 在 △ 中， ， ． 7．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， 平面 ， 为 中点，且 ． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的余弦值． 【解答】解：（1）如图， 连接 ，交 于点 ，连接 ， 为 中点， 为 中点， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间 直角坐标系，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ， ， ， 由题有 轴 面 ，显然向量 是平面 的一个法向量， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， ， ， 即直线 与平面 所成角的余弦值为 ． 8．如图正方体 中，棱长为 ， 、 分别为 、 的中点． （1）求证： ； （2）求 与平面 所成角的大小．【解答】解：（1）证明：如图， 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系． 则 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， ，0， ， （1） ， ， ， ，0， ， ， ； （2）解： ，0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ，则 即 ， 令 ，则 ， ，所以 ，设 与平面 所成角的大小为 ， 则 ， ， 与平面 所成角的大小为 ． 9．如图，正方体 的棱长为2． （1）用空间向量方法证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：由题，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 正方体 的棱长为2，，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ， 则 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则可得 ， ，即 ； ， ，又 平面 ， 平面 ； （2） ，2， ， ，0， ， ， 由（1）知平面 的一个法向量为 ， 设直线 与平面 所成的角为 ， ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 10．如图，在菱形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 将 沿 折起，使点 到点 的位置， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 为线段 上一点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．【解答】（1）证明：连接 ， ， 与 交于点 ，连接 ， 则 ， 又 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， 则 ， 因为 ， ， ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 在菱形 中， ， ， 则 在 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， 因为 ，所以 ， 则 ， 又 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ． （2）解：以 为原点，以 ， 所在直线分别为 ， 轴， 过 且垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则 ． 由（1）可知，平面 平面 ，易知 所以 ， ． 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ． 设 ， 则 ， 设 与平面 所成角为 ， 显然当 时， ，不满足题意， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以当 ，即 时， 取得最大值为 ． 11．如图，在三棱柱 中，△ 为等边三角形，四边形 为菱形， ， ， ．（1）求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的正弦值为 ？ 若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：如图，连接 与 相交于点 ，连接 ， 四边形 为菱形， ， △ 为等边三角形， 是 的中点， ， 又 、 面 ， ， 面 ，又 面 ，， 又 ， ， ， 平面 ， 平面 ． （2）解：设 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ， 由（1） 平面 ，所以平面 面 ，作 ，所以有 平面 ， 又因为△ 为等边三角形， ， 平面 以 为原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系 则 ， ， ， ，2， ， ，2， ， ， ， ， ， 设 ， ， 则 ， ， 设平面 的一个法向量 ，则有 ， 当 时，则 ，则平面 和平面 垂直，显然不可能，即 ， 令 ，则 ， 由题易知，平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面 的夹角为 ， ， ， ， ，解得 ， ， ， ， 点 存在， ． 12．如图，某多面体的底面 为正方形， ， ， ， ， ． （1）求四棱锥 的体积； （2）求二面角 的平面角的正弦值．【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， （2）因为四边形 为正方形，所以 ，又 ， ， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ． 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ，令 ，则 ， ，则 ， 所以，平面 的一个法向量为 ， 又平面 的一个法向量为 ， 设二面角 的平面角为 ， 所以 ，所以 ，即二面角 的平面角的正弦值为 ． 13．如图，在四棱锥 — 中，底面 为矩形，侧棱 底面 ， ， ， ， 为 的中点． （1）求直线 与平面 所成角的正切值； （2）在侧棱 内找一点 ，使 面 ，并求出 点到 和 的距离． 【解答】解：（1）取 中点 ，连接 、 ，则 ， 由侧棱 底面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 又因为 为矩形，所以 ，侧棱 底面 ， 平面 ，所以 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ，因为 ， ， ， 平面 ，所以 底面 ， 则 为 与 平 面 所 成 角 ， 在 中 ， ， ， ，即直线 与平面 所成角的正切值为 ． （2）在面 内过 作 的垂线交 于 ，则 ， 连 ，则在 中， ， ， 设 为 的中点，连 ，则 ， 因为 ， ， ， ， 平面 ， 所以 面 ， 平面 ，所以 ，又因为 ，则 ， 在平面 内，点 平面 内， 平面 内，且 直线 ，点 不在平面 内， 所以 与 为异面直线，又因为 平面 ，所以 ， 所以 与 异面垂直，即 ， ， ， 平面 ，从而 面 ， 所以点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ． 14．如图，在长方体 中， ， ，点 在 上，且 ． （1）求直线 与 所成角的余弦值； （2）求点 到平面 的距离．【解答】解：（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系， ， 设直线 与直线 所成角为 ， 则 ． （2）由题意 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，又 ， 所以 到平面 的距离为 ． 15．在梯形 中， ， ， ， 为 的中点， 线段 与 交于 点（如图 ．将 沿 折起到 位置，使得平面平面 （如图 ． （1）求二面角 的余弦值； （2）线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）因为 ， ， ， 为 的中点， 所以 ， ， ，所以 ， ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ，所以 ， ， 两两垂直， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的建立空间 直角坐标系， 则 ，0， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，得 ， 设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ， 设二面角 的平面角为 ，由图可知， 为锐角， 所以 ， 则二面角 的余弦值为 ； （2）设 ，则 ，因为 ，1， ， ， ， ， 则 ， ， ， ， 由（1）知平面 的一个法向量为 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 ， 化简得 ，解得 或 （舍去）， 故存在 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ． 16．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ，点 是 中点． （1）证明： 面 ； （2）若面 面 ，求二面角 的余弦值．【解答】（1）证明：取 的中点 ，连结 、 ， 为 中点， ， 且 ， 在梯形 中， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ． （2）解：取 的中点 ，连接 ， 的中点为 ，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， ，面 面 ，所以 ， ， ， 分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得 ，2， ， ，4， ， ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， 设 ， ， 为平面 的一个法向量，则 ， 取 ，得 ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ，则 ，取 ，则， ， 所以 ，2， ， ．二面角 为钝二面角， 因此，二面角 的余弦值为 ． 17．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ． 是棱 上一点， 平面 ． （1）求证： 为 的中点； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥 的体积． 条件①：点 到平面 的距离为 ； 条件②：直线 与平面 所成的角为 ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解答】（1）证明：过点 作 交 于点 ，连接 ，如图所示：因为 ，所以 ，所以 ， ， ， 四点共面， 又因为 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，所以 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， ， 由 ， ，所以 ， ， 所以 ， ，所以 为 的中位线， 故 为 的中点； （2）解：过 作 于 ，连接 ， 因为 ，又 ，且 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 ， 因为 ，所以 为 中点，则 ，即 ， 又平面 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 如图，建立空间直角坐标系 ，设 ， 由题意得， ，1， ， ，1， ， ，0， ， ， ， ， ，0， ，所以 ，0， ， ，1， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 则有 ，令 ，得 ， 可得平面 的法向量为 ， ， ， 选择条件①： 因为 到平面 的距离为 ， 所以 ，解得 ， 所以四棱锥 的体积 ； 选择条件②： 因为直线 与平面 所成的角为 ， ， 所以 ，解得 ， 所以四棱锥 的体积 ． 18．如图，在三棱锥 中， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的中点分别为 ， ， ，且 ． （1）证明：平面 平面 ． （2）若 为 的中点，求点 到平面 的距离．【解答】（1）证明：因为 为等边三角形， ， 分别是 ， 的中点， 且 ，所以 ， 所以 ， 又 ，所以 ，即 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ； （2）解：连接 ，由于 为等边三角形， 是 的中点， 所以 ， 又由（1）可知平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 为 的中点，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离， 在直角 中，可知 ， 在直角 中，可知 ， 因为 是 的中位线，所以 ， 的面积 ，设点 到平面 的距离为 ， 则三棱锥 的体积 ， 又 的面积 ， 点 到平面 的距离为 ， 所以三棱锥 的体积 ， 由 ，得 ， 即点 到平面 的距离为 ． 19 ． 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 直 角 梯 形 ， ， ，二面角 的大小为 ， 是 中点． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 【解答】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，因为直角梯形 中， ，且 ， 所以四边形 是平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又 是 中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又 ， ， 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）解：连接 ，由 ， 知： ， 由（1）知： 且 ， ，在平面 内过点 作 交 于点 ， 则 ， ， 两两互相垂直，以 为坐标原点， 以 方向分别为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则 ， 从而 ，设平面 的法向量为 ， 则有 ，即 ，令 ，得 ， 易知平面 的一个法向量为 ， ， 由题意知，二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 ． 20．如图所示，多面体 中，底面 为正方形，四边形 为矩形，且 ， ， ． （Ⅰ）求平面 与平面 所成二面角大小． （Ⅱ）点 在线段 上，当 平面 时，求 与平面 所成的角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ） 四边形 是矩形， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， 平面 与平面 的交线为 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， 平面 与平面 所成二面角大小为 ． （Ⅱ）如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，连接 ， 则平面 与平面 交于 ， ， 平面 ， 平面 ， ， 点 为 的中点， 则 ，0， ， ， ， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， ， ， 则 ，取 ，得 ， ， ， 则 ， 与平面 所成的角的正弦值为 ．