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重难点突破 07 立体几何中求角度、线段、
距离
1．四棱锥 中，四边形 为菱形， ， ，平面 平面
．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 与平面 成角为 ，点 在棱 上，且 ，求平
面 与平面 的夹角的余弦值．2．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ， ，
的中点为 ．
（1）求证： 平面 ．
（2）若 ，求二面角 的余弦值．3．在三棱锥 中，底面 是边长为2的等边三角形，点 在底面 上的射影
为棱 的中点 ，且 与底面 所成角为 ，点 为线段 上一动点．
（1）证明： ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．4．如图，在四棱柱 中，侧棱 平面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．
（1）证明： ．
（2）设 ，若 到平面 的距离为 ，求 ．5．如图，正三棱柱 中，各棱长均为4， 是 的中点．
（1）求点 到直线 的距离；
（2）求点 到平面 的距离．6．如图，在正三棱柱 中， ，此三棱柱的体积为 ， 为侧棱
上点，且 ， 、 分别为 、 的中点．
（1）求此三棱柱的表面积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小；
（3）求 与平面 所成角的大小．7．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， 平面 ，
为 中点，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值．8．如图正方体 中，棱长为 ， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： ；
（2）求 与平面 所成角的大小．9．如图，正方体 的棱长为2．
（1）用空间向量方法证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．10．如图，在菱形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，
将 沿 折起，使点 到点 的位置， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 为线段 上一点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．11．如图，在三棱柱 中，△ 为等边三角形，四边形 为菱形，
， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的正弦值为 ？
若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由．12．如图，某多面体的底面 为正方形， ， ， ， ，
．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求二面角 的平面角的正弦值．13．如图，在四棱锥 — 中，底面 为矩形，侧棱 底面 ，
， ， ， 为 的中点．
（1）求直线 与平面 所成角的正切值；
（2）在侧棱 内找一点 ，使 面 ，并求出 点到 和 的距离．14．如图，在长方体 中， ， ，点 在 上，且
．
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求点 到平面 的距离．15．在梯形 中， ， ， ， 为 的中点，
线段 与 交于 点（如图 ．将 沿 折起到 位置，使得平面
平面 （如图 ．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
， ， ，点 是 中点．
（1）证明： 面 ；
（2）若面 面 ，求二面角 的余弦值．17．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
， ． 是棱 上一点， 平面 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥 的体积．
条件①：点 到平面 的距离为 ；
条件②：直线 与平面 所成的角为 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．如图，在三棱锥 中， ， ， ， 为等边三角形，
， ， 的中点分别为 ， ， ，且 ．
（1）证明：平面 平面 ．
（2）若 为 的中点，求点 到平面 的距离．19 ． 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 的 底 面 是 直 角 梯 形 ， ，
，二面角 的大小为 ， 是 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．20．如图所示，多面体 中，底面 为正方形，四边形 为矩形，且
， ， ．
（Ⅰ）求平面 与平面 所成二面角大小．
（Ⅱ）点 在线段 上，当 平面 时，求 与平面 所成的角的正弦值．
