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重难点突破 03 立体几何中线面平行与垂
直证明专项训练
1．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，
，点 ， 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点．
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 的体积．2．如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 平面
．
（1）求证： 平面 ；
（2）设 ， ，求三棱锥 的体积．3．如图，在正四棱锥 中， ， 分别为 ， 的中点， ．
（1）证明： ， ， ， 四点共面．
（2）记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 的值．4 ． 如 图 ， 已 知 四 边 形 为 菱 形 ， 平 面 ， 平 面 ，
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求 的长．5．如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为2的等边三角形， ，
分别是 ， 的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．6．棱长为2的正方体中， 、 分别是 、 的中点， 在棱 上，且 ，
是 的中点．
（1）求证： ；
（2）求 ， ．7．如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， ， 为 的中点．
（1）求证： 面 ；
（2）求证：平面 平面 ．8．如图所示，在四棱锥 中，已知 底面 ，且底面 为梯形，
， ， ，点 在线段 上， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．9．如图，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求证：平面 平面 ．10．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
， 为 中点， 为 中点， 为线段 上动点．
（1）若 为 中点，求证： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ．11．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 是菱形，点 是
对角线 与 的交点， ， ， 是 的中点，连接 ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）证明：平面 平面 ．12．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 为等腰直
角三角形，且 ，点 为棱 上的点，平面 与棱 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求证：平面 平面 ．13．已知正四棱柱 中， ， ．
（1）求正四棱柱 的表面积；
（2）求证：平面 平面 ．14．如图，在棱长是2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求异面直线 与 所成角的大小．
（Ⅱ）证明： 平面 ．15．如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是 ，
的中点．求证：
（1）四边形 为平行四边形；
（2） 平面 ．16．如图所示，在四棱锥 中， 是正方形， 平面 ，
， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ．17．如图， 平面 ， 为圆 的直径， ， 分别为棱 ， 的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）证明：平面 平面 ．18．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ，
为 的中点， 为棱 上一动点．
（1） 在棱 上何处时，可使得 平面 ？并证明你的结论；
（2）求证：平面 平面 ．19．如图，四边形 是矩形， 平面 ， 平面 ，点 在棱 上．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求证： ．20．如图，矩形 所在平面与直角梯形 所在的平面垂直， ，
．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求证：平面 平面 ．
