重难点突破03立体几何中线面平行与垂直证明专项训练（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_第七章空间向量与立体几何

重难点突破 03 立体几何中线面平行与垂 直证明专项训练 1．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点 ， 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点． （1）求证： ； （2）求三棱锥 的体积．2．如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ． （1）求证： 平面 ； （2）设 ， ，求三棱锥 的体积．3．如图，在正四棱锥 中， ， 分别为 ， 的中点， ． （1）证明： ， ， ， 四点共面． （2）记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 的值．4 ． 如 图 ， 已 知 四 边 形 为 菱 形 ， 平 面 ， 平 面 ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若平面 平面 ，求 的长．5．如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为2的等边三角形， ， 分别是 ， 的中点， ． （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积．6．棱长为2的正方体中， 、 分别是 、 的中点， 在棱 上，且 ， 是 的中点． （1）求证： ； （2）求 ， ．7．如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， ， 为 的中点． （1）求证： 面 ； （2）求证：平面 平面 ．8．如图所示，在四棱锥 中，已知 底面 ，且底面 为梯形， ， ， ，点 在线段 上， ． （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ．9．如图，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形， 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求证：平面 平面 ．10．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 为 中点， 为 中点， 为线段 上动点． （1）若 为 中点，求证： 平面 ； （2）证明：平面 平面 ．11．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 是菱形，点 是 对角线 与 的交点， ， ， 是 的中点，连接 ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）证明：平面 平面 ．12．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 为等腰直 角三角形，且 ，点 为棱 上的点，平面 与棱 交于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求证：平面 平面 ．13．已知正四棱柱 中， ， ． （1）求正四棱柱 的表面积； （2）求证：平面 平面 ．14．如图，在棱长是2的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点． （Ⅰ）求异面直线 与 所成角的大小． （Ⅱ）证明： 平面 ．15．如图，在长方体 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点．求证： （1）四边形 为平行四边形； （2） 平面 ．16．如图所示，在四棱锥 中， 是正方形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点． （1）求证：平面 平面 ； （2）证明：平面 平面 ．17．如图， 平面 ， 为圆 的直径， ， 分别为棱 ， 的中点． （1）证明： 平面 ． （2）证明：平面 平面 ．18．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， 为 的中点， 为棱 上一动点． （1） 在棱 上何处时，可使得 平面 ？并证明你的结论； （2）求证：平面 平面 ．19．如图，四边形 是矩形， 平面 ， 平面 ，点 在棱 上． （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ； （3）求证： ．20．如图，矩形 所在平面与直角梯形 所在的平面垂直， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）若 ，求证：平面 平面 ．