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专题03 平面向量小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江·二模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标运算即可求得答案.
【详解】由题意知 ， ，
故 ,
故选：B
2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在 中， ， ，设 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】由 ， 可知 分别为 的中点，所以
,
故选：B3．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知平面向量 ，则（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为钝角 D． 在 上的投影向量的模为
【答案】D
【分析】根据题意，由向量的概念即可判断A，由平面向量的坐标运算即可判断BCD.
【详解】向量不能比较大小，故A错误；
，则 ，故B错误；
，则 与 的夹角为锐角，故C错误；
在 上的投影向量的模为 ，所以D正确；
故选:D
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知单位向量 满足 ，其中
，则 在 上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.
【详解】因为单位向量 满足 ，
所以 ，
由投影向量计算公式可知 在 上的投影向量是 ，
即故 ，而 ，故 .
故选：D
5．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知 ， ， ，则
向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出两个向量的数量积，再根据公式可求投影向量.
【详解】因为 ，故 ，
故 ，而向量 在向量 方向上的投影向量为 ，
故选：B.
6．（2023·浙江·校联考二模）在三角形 中， 和 分
别是 边上的高和中线，则 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】将 作为基底，用基底表示 和 ，根据数量积的规则计算即可.
【详解】
设 ，则有
，由余弦定理得 ，
，
其中 ， ，解得 ，
；
故选：C.
7．（2023·浙江·高三专题练习）设 是平行四边形 的对角线的交点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.
【详解】 是平行四边形 的对角线的交点，则 ,
所以
.
故选：A.
8．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知两个非零向量 ， 满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
，故选:D.
9．（2023·浙江·高三专题练习）在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边
BC上中点，记 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量运算的三角形法则，用 ， 表示 即可.
【详解】
故选：C.
10．（2023·浙江·高三专题练习）已知非零向量 满足 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】对 两边平方计算可得答案.
【详解】∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
解得 .
故选：A.
11．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在 中， 是线段 上一点，满足
是线段 的中点，设 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算，求出 ，得到 的值，再对各选项
分析判断即可求出结果.
【详解】因为 是线段 上一点，满足 ，所以
，
又 是线段 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，故 ，
故选：B.
12．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在 中， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】选用基底 ，利用向量的线性运算表示向量 .
【详解】 中， ， ，如图所示，.
故选：C
13．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）物理学中，如果一个物体受到力的作
用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：
（其中 是功， 是力， 是位移）一物体在力 和 的作
用下，由点 移动到点 ，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等
于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】利用条件，先求出两个力的合力 及 ，再利用功的计算公式即可求出
结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，又 ， ，所
以 ，故 .
故选：A.
14．（2023·浙江·校联考三模）已知点 是边长为1的正十二边形 边上任意
一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．-2【答案】B
【分析】根据数量积 的几何意义： 等于 长度 与 在
的方向上的投影 的乘积，结合图形求解.
【详解】
延长 ， 交于 ，由题意 ，
过 分别作 的垂线，垂足为 ，
正十二边形 的每个内角为 ，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
则 ，
∵ ， 为 的夹角，
∴数量积 的几何意义： 等于 长度 与 在 的方向上
的投影 的乘积，
由图可知，当 在线段 上时， 取得最小值，
此时 .
故选：B.15．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知平面向量 ， ，向量 ，
在单位向量 上的投影向量分别为 ， ，且 ，则 可以是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由 为单位向量可得 ，再结合投影向量的概念、向量
坐标运算以及题设所给的条件可得 ，从而解得 与 的值，
即可得解.
【详解】设 ，由 为单位向量可得 ， ，
因为向量 ， 在单位向量 上的投影向量分别为 ， ，
所以 ， ，即 ，
，
因为 ， ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 与 不同时为0，即 ，则 ，所以 ，
所以 或 .
故选：C
16．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知点 分别为直线
上的动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得 ，从而得到其最小值为点 到直线
的距离的平方，结合点到直线的距离公式即可得到结果.
【详解】因为 ，由
且点 ， 为直线 上的动点，则 即为点 到直线 的距离，
所以 ，则 ，
故选:C
17．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知直线 与圆 交于 两
点，若 ，其中 为原点，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】由题平方可得 ，化简得到 ，得出垂直关系，
可得圆心到直线的距离，由点到线的距离公式，列式即可得解．
【详解】∵ ，则 ，∴ ，∴ ，
而圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
则 ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴圆心到直线 的距离 ，
∴ ，又 ，∴ .
故选：D.
18．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知单位向量 和
向量 、 满足 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设 ，再分别设 ， ，根据题意可得轨迹方程，再根
据数量积公式数形结合分析即可.
【详解】设 ， ，由 可得 ，化简可
得 ，即 .
设 ，则由 可得 ，故
的轨迹为以 为焦点， 的椭圆，其方程为 .
设 夹角为 ，则 ，由圆与椭圆的性质可得， ，， ，故当 同向，均往 负半轴时， 取得最大值 .
故选：B
二、多选题
19．（2023·浙江·统考二模）已知向量 ， 是单位向量，且 ，则以下结论正
确的是（ ）．
A．若 ，则 B．
C．向量 ， 的夹角为 D．向量 在向量 上的投影向量为
【答案】BD
【分析】举出特例可判断A；根据向量的模的计算可判断B；根据向量的夹角的计算
可判断C；根据投影向量的含义求得向量 在向量 上的投影向量判断D.
【详解】对于A，若 ，则 时，也有 ，故A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，而 ，故 ，C错误；
对于D，向量 在向量 上的投影向量为 ，D正确，
故选：BD20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）如图，直线 ，
点A是 之间的一个定点，点A到 的距离分别为1和2.点 是直线 上一个动点，
过点A作 ，交直线 于点 ，则（ ）
A． B． 面积的最小值是
C． D． 存在最小值
【答案】BC
【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出 ， ， ，根据
及 ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出 ，
，即可判断A；取 中点为 ，连接 ，根据 ，可得
三点共线，且 为 靠近 的三等分点，即可找到 面积与 面积
之间比例关系，进而建立 面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出 ，
再根据基本不等式可判断C；写出 进行化简，根据 的范围即可得到
的最值情况.
【详解】设 中点为 ，
连接 ，
以 为原点， 方向分别为 轴建立如图所示的直角坐标系，则 ， ，
设 ， ， ， ，且 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，故 ，即 ，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
故 ，A错误；
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 三点共线，且 为 靠近 的三等分点，
所以，
当且仅当 ，即 时取等，故B正确；
因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等，
故 ，C正确；
因为 ，
所以
，
因为 且 ，所以 ，
记 ，
，
可知 单调递增，没有最值，即 没有最值，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的
应用，属于较难题目.
三、填空题
21．（2023·浙江·高三专题练习）已知平面向量 ， ，若 ，则
实数 ___________.
【答案】 /0.5
【分析】利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 .
故答案为： .
22．（2023·浙江温州·统考三模）在平行四边形 中，若 ，
则 ___________.
【答案】4
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得 ，然后由数量积的坐标表示可解.
【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，
所以
又
所以
所以
故答案为：4
23．（2023·浙江·高三专题练习）已知向量 ，若 ，
则 __________．【答案】4
【分析】先求出 和 ，再根据平面向量共线的性质求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ．
故答案为：4.
24．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆 上，
点 在直线 上，O坐标原点，且 ，则点 的横坐标的取值范围为
___________．
【答案】
【分析】设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由条件可得点 在以 为直
径的圆上，由条件列不等式可求点Q的横坐标的取值范围.
【详解】因为点 在直线 上，
故设点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即点 在圆 上，
又点 在圆 上，所以两圆有交点，
又圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以点 的横坐标的取值范围为 .
故答案为： .
25．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设 是平面内的两条互相垂直
的直线，线段AB，CD的长度分别为2，10，点A，C在a上，点B，D在b上，若M
是AB的中点，则 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】设直线 与直线 的交点为 ，线段 的中点为 ，由条件确定点 的
轨迹，结合数量积的运算求 的取值范围.
【详解】设直线 与直线 的交点为 ，
因为M是AB的中点， ，
所以 ，故点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
设线段 的中点为 ， ，
所以 ，故点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
因为 ， ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
