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重难点突破 03 解三角形大题专项训练
(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形的面积；二是给出三角形的面积，
求其他量．解题时主要应用三角形面积公式S＝absin C，此公式既与边长的乘积有关，又
与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．
(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的
量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法
求解范围即可．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A、B、C<π，b－c<a<b＋c，
三角形中大边对大角等．
【例1】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝
c.
(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长；
(3)若c＝，△ABC的面积为S，求△ABC面积S的最大值；
(4)若c＝，△ABC的周长为L，求△ABC的周长L的取值范围；
(5)若△ABC为锐角三角形，c＝，求△ABC周长L的取值范围；
(6)若△ABC为锐角三角形，c＝，求△ABC面积S的取值范围．
(1)由已知及正弦定理得1．（2023•临沂一模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
2．（2023•泉州模拟） 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．已知
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长的取值范围．3．（2023•德州一模）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求证： ；
（2）若 的角平分线交 于 ，且 ，求 面积的取值范围．
4．（2023•盐城三模）在 中， 为 的角平分线，且 ．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）若 ，求边 的取值范围．5．（2023•抚松县校级模拟）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．
已知锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且____（填序号）．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）求 的取值范围．
6．（2023•龙凤区校级模拟）如图，在 中， ．延长 到 ，使得 ，
且 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）当 时，求 面积的取值范围．7．（2023•安康一模）已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
（1）若 ，求 外接圆的面积；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
8．（2023•定远县校级模拟）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向
量 ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．9．（2023•湖南三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 边上的高为 ，求 的周长．
10．（2023•重庆模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
．
（1）求角 ；
（2）若 的面积为1，求 的周长的最小值．11．（2023•青羊区校级模拟）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， 为 在 方向上的投影向量，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的周长．
12．（2023•麒麟区校级模拟）在锐角 中，角 ， ， ，的对边分别为 ， ， ，
从 条 件 ① ： ， 条 件 ② ： ， 条 件 ③ ：
这三个条件中选择一个作为已知条件．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的取值范围．13．（2023•云南模拟）已知函数 在 上单调，
且 ．
（1）求 的解析式；
（2）若钝角 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，
求 周长的最大值．
14．（2023•晋中模拟） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其中 ，
且满足 ．
（1）求 的外接圆半径；
（2）若 的平分线 交 于点 ，且 ，求 的面积．15 ． （ 2023• 枣 强 县 校 级 模 拟 ） 已 知 的 内 角 ， ， 满 足
．
（1）求角 ；
（2）若 的外接圆半径为1，求 的面积 的最大值．
16．（2023•湖南一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
且 ．
（1）求 的外接圆半径 ；
（2）求 内切圆半径 的取值范围．17．（2023•西固区校级二模）若 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足
．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 周长的取值范围．
18．（2023•榆林三模）已知 ， ， 分别为 的内角 ， ， 所对的边，
，且 ．
（1）求 ；
（2）求 的取值范围．19．（2023•武昌区校级模拟）已知 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若
满足 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
20．（2023•晋江市校级模拟）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，
的面积 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围．21．（2023•安徽三模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 ；
（2）设 的中点为 ，且 ，求 的取值范围．
22．（2023•济宁三模）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．23．（2023•浙江模拟）在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满
足 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）已知 是 的平分线，若 ，求线段 长度的取值范围．
24．（2023•叙州区校级模拟）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已
知 的面积 ， ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）求 周长的取值范围．25．（2023•长沙模拟）已知向量 ，且函数 ．
（1）求 的最小正周期及对称中心；
（2）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，角 为锐角， ．若
，且 的面积为 ，求 的周长．
26．（2023•琼海校级三模）在① ，② ，③
中选一个，补充在下面的横线中，并解答．
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足____．
（1）求 ；
（2）若内角 的角平分线交 于 点，且 ，求 的面积的最小值．27．（2023•沙坪坝区校级模拟）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
且 ．
（1）求 的值；
（2）若 为 中点，且 ，求 面积的最大值．
28．（2023•邵阳一模）如图， 为 内的一点， 记为 ， 记为 ，且
， 在 中的对边分别记为 ， ， ， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ， ， ，记 ，求线段 的长和 面积的最
大值．29．（2023•大连模拟）已知函数 的最小正周期为
是函数 一个零点．
（1）求 ， ；
（2）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，求 面积的
最大值．
30．（2023•茂名一模）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
（1）求证： ；
（2）求 的取值范围．31．（2023•鼓楼区校级模拟）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的对边
长， ，且 ．
（1）求角 的值；
（2）求 面积的取值范围．
32．（2023•乌鲁木齐三模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 大小；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．33．（2023•重庆模拟）在锐角 中， ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对
的边，外接圆周长为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）记 的面积为 ，求 的取值范围．
34．（2023•武侯区校级模拟）已知函数 ，且
图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作
为已知条件作答．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 的图象的一个对称中心为 ；
条件③： 的图象经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
（A），求 面积的取值范围．35．（2023•河北模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 ；
（2）已知 的外接圆半径为4，若 有最大值，求实数 的取值范围．
