2024年高考数学一轮复习（新高考版）第5章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）

§5.4 平面向量的综合应用 题型一 平面向量在几何中的应用 例1 (1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则 △ABC的面积的最大值为________． 答案 解析 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，AD＝AB＋AC， 又AD＝，cos∠BAC＝， 所以AD2＝2＝c2＋b2＋bccos∠BAC ＝c2＋b2＋bc， 又＝c2＋b2＋bc＝2＋2＋bc≥2×c×b＋bc＝bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立． 所以bc≤8，又sin∠BAC＝， 所以S ＝bcsin∠BAC≤×8×＝. △ABC (2)(2022·天津)在△ABC中，CA＝a，CB＝b，D是AC的中点，CB＝2BE，试用a，b表示DE为 ________，若AB⊥DE，则∠ACB的最大值为________． 答案 b－a 解析 DE＝CE－CD＝b－a， AB＝CB－CA＝b－a， 由AB⊥DE得(3b－a)·(b－a)＝0， 即3b2＋a2＝4a·b， 所以cos∠ACB＝＝≥＝， 当且仅当|a|＝|b|时取等号，而0<∠ACB<π， 所以∠ACB∈. 思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题． 跟踪训练1 (1)在△ABC中，已知·BC＝0，且·＝，则△ABC为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 答案 A 解析 ，分别表示AB，AC方向上的单位向量， ＋在∠A的角平分线上， ∵·BC＝0， ∴|AB|＝|AC|， 又·＝， ∴cos〈AB，AC〉＝·＝， 则AB与AC的夹角为60°， 即∠BAC＝60°， 可得△ABC是等边三角形． (2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足CD＝2DB，AD＝，则BC的长为( ) A．3 B．3 C．3 D．6 答案 A 解析 因为CD＝2DB， 所以AD＝AB＋BD ＝AB＋BC ＝AB＋(AC－AB) ＝AB＋AC， 设AB＝x，则AD2＝2， 得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92， 即2x2＋9x－126＝0， 因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6， 所以|BC|＝|AC－AB| ＝ ＝＝3. 题型二 和向量有关的最值(范围)问题 命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例2 如图，在△ABC中，点P满足2BP＝PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( ) A．3 B．3 C．1 D. 答案 A 解析 由题意知，AP＝AB＋BP＝AB＋＝AB＋＝＋，又AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)， ∴AP＝＋， 由M，P，N三点共线，得＋＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝3，当且仅当x＝y时等号成立． 故2x＋y的最小值为3. 命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题 例3 已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则 AM·MN的最大值为________． 答案 － 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)， 则BC＝(2,0)，CA＝(－1，)，设BM＝tBC(0≤t≤1)， 则CN＝tCA(0≤t≤1)， 则M(2t－1,0)，N(1－t，t)， ∴AM＝(2t－1，－)，MN＝(2－3t，t)， ∴AM·MN＝(2t－1)×(2－3t)＋(－)×(t) ＝－6t2＋4t－2＝－62－， 当t＝时，AM·MN取得最大值－. 命题点3 与模有关的最值(范围)问题 例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( ) A．[－1，＋1] B．[－1，] C．[，＋1] D．[2－，2＋] 答案 A 解析 a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－ 1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1. 思维升华 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围)． (2)利用基本不等式求最值(范围)． (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． 跟踪训练2 (1)已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD＝，E为线段BC的中点．若F 为线段DE上的一点，且AF＝λAB＋AD，则|AF|的最小值为( ) A. B．3 C. D. 答案 D 解析 设|AB|＝x，|AD|＝y， 则S＝x·y·sin ＝xy＝9， ∴ xy＝18. ∵AF＝λAB＋AD＝λ(AE＋EB)＋AD＝λAE＋AD， ∵E，F，D三点共线，∴ λ＋－＝1⇒λ＝， ∴AF＝AB＋AD， ∴|AF|2＝|AB|2＋AB·AD＋|AD|2 ＝x2＋xy·＋y2≥－5＋2＝5， 当且仅当x＝y时，等号成立． ∴|AF|的最小值为. (2)(2023·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|AP－ AB－AC|＝1，则|AP|的最小值为( ) A.－1 B．2－1 C．2－1 D.－1 答案 C 解析 因为|AB＋AC|2＝AB2＋AC2＋2AB·AC ＝|AB|2＋|AC|2＋2|AB|·|AC|cos ＝12， 所以|AB＋AC|＝2， 由平面向量模的三角不等式可得|AP|＝|(AP－AB－AC)＋(AB＋AC)|≥||AP－AB－AC|－|AB＋AC||＝2 －1. 当且仅当AP－AB－AC与AB＋AC方向相反时，等号成立． 因此|AP|的最小值为2－1. (3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且 PC＝1，则PA·PB的取值范围是( ) A．[－5,3] B．[－3,5]C．[－6,4] D．[－4,6] 答案 D 解析 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)， 则A(3,0)，B(0,4)． 设P(x，y)， 则x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x,4－y)， 所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝2＋(y－2)2－. 又2＋(y－2)2表示圆 x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0,0)到点的距离为，所以 PA·PB∈， 即PA·PB∈[－4,6]，故选D. 课时精练 1．四边形ABCD中，AD＝BC，(AB＋AD)·(AB－AD)＝0，则这个四边形是( ) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 答案 A 解析 由题意，AD＝BC，即|AD|＝|BC|且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形， 又(AB＋AD)·(AB－AD)＝AC·DB＝0，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形． 2．(多选)如图，点A，B在圆C上，则AB·AC的值( ) A．与圆C的半径有关 B．与圆C的半径无关 C．与弦AB的长度有关 D．与点A，B的位置有关 答案 BC 解析 如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，故AB·AC＝|AB|·|AC|·cos∠CAD ＝|AB|·|AC|·＝|AB|2， 故AB·AC的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关． 3.如图，在△ABC中，BD＝BC，E为线段AD上的动点，且CE＝xCA＋yCB，则＋的最小值为( ) A．8 B．9 C．12 D．16 答案 D 解析 由已知得CB＝3CD，∴CE＝xCA＋yCB＝xCA＋3yCD， ∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线， ∴x＋3y＝1且x>0，y>0， ∴＋＝(x＋3y)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当x＝y＝时，等号成立． 故＋的最小值为16. 4．在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，若AG·AB＝AG·AC＝6，则△ABC外接圆的半径为( ) A. B. C．2 D．2 答案 C 解析 由AG·AB＝AG·AC，可得AG·(AB－AC)＝AG·CB＝0，则有AG⊥BC， 又在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，则△ABC为等边三角形． 则AG·AB＝×(AB＋AC)·AB ＝＝|AB|2＝6， 解得|AB|＝2， 则△ABC外接圆的半径为×＝×＝2. 5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面 内一点，则(PA＋PC)·PB的最小值是( ) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，所以PB＝(1－x，－y)，PA＋PC＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(PA＋PC)·PB＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝22＋22－， 所以当x＝，y＝时，(PA＋PC)·PB取得最小值－. 6．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于( ) A．1 B．2 C．1＋ D. 答案 D 解析 向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0， 不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)， ∵c·(a＋b－c)＝0， ∴(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0， 即x2＋y2－x－2y＝0， 整理可得2＋(y－1)2＝，则|c|表示圆心为，半径为的圆上的点到原点的距离， 则|c|的最大值为＋＝. 7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( ) A．若OA＋OB＋OC＝0，则点O为△ABC的重心 B．若OA·＝OB·＝0，则点O为△ABC的垂心 C．若(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0，则点O为△ABC的外心 D．若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O为△ABC的内心 答案 AC 解析 选项A，设D为BC的中点，由于OA＝－(OB＋OC)＝－2OD，所以O为BC边上中线的 三等分点(靠近点D)，同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC的重心， 选项A正确； 选项B，向量，分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为AC′和AB′，则它们的差是向量 B′C′，则当OA·＝0，即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的角平分线上，同理由OB·＝0，知点O在 ∠ABC的角平分线上，故O为△ABC的内心，选项B错误； 选项C，由(OA＋OB)·AB＝0，得(OA＋OB)·(OB－OA)＝0，即OB2＝OA2，故|OA|＝|OB|，同理有|OB| ＝|OC|，于是O为△ABC的外心，选项C正确； 选项D，由OA·OB＝OB·OC，得OA·OB－OB·OC＝0，所以OB·(OA－OC)＝0，即OB·CA＝0，所以 OB⊥CA，同理可证OA⊥CB，OC⊥AB，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，选项D错误． 8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节， 我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞 旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图② 中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六 边形的边上运动，MN为圆的直径，则PM·PN的取值范围是( ) A．[1,2] B．[2,3] C. D. 答案 B 解析 如图所示，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ| ＝， 又PM·PN＝(PO＋OM)·(PO＋ON)＝|PO|2＋PO·ON＋PO·OM＋OM·ON＝|PO|2＋PO·(ON＋OM)－1＝|PO|2－ 1， 根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为，此时|PO|2－1＝2， 当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时|PO|2－1＝3， 故PM·PN的取值范围是[2,3]． 9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰DC上的动点，则|2PA＋3PB|的最小值为________． 答案 7 解析 以D为坐标原点，DA，DC分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a， 则2PA＋3PB＝2(2，－b)＋3(1，a－b)＝(7,3a－5b)，|2PA＋3PB|＝≥7，当且仅当b＝时取得最小值7. 10．已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且AP＝λAB＋(2－2λ)AC(λ∈R)，则PA·PC 的最小值为________． 答案 5 解析 取BC的中点O， ∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2)，设P(x，y)， ∴AP＝(x，y－2)，AB＝(－2，－2)，AC＝(2，－2)， ∴AP＝λAB＋(2－2λ)AC＝(4－6λ，2λ－4)，则 ∴P(4－6λ，2λ－2)， ∴PA＝(6λ－4,4－2λ)， PC＝(6λ－2,2－2λ)， ∴PA·PC＝(6λ－4)(6λ－2)＋(4－2λ)(2－2λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知， 当λ＝时，PA·PC取得最小值5. 11．(2022·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足AD＝DC，若P为BD上一点，且满 足AP＝λAB＋μAC，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________． 答案 解析 ∵λ，μ为正实数，AD＝DC，故AC＝4AD， ∴AP＝λAB＋4μAD， 又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1， ∴λμ＝·λ·4μ≤2＝，当且仅当λ＝，μ＝时取等号， 故λμ的最大值为. 12．(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形AA…A 的边AA 上，则PA＋PA＋…＋PA的 1 2 8 1 2 取值范围是______________． 答案 [12＋2，16] 解析 以圆心为原点，AA 所在直线为x轴，AA 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如 7 3 5 1 图所示，则A(0,1)，A，A(1,0)， 1 2 3 A，A(0，－1)，A， 4 5 6 A(－1,0)，A， 7 8 设P(x，y)， 于是PA＋PA＋…＋PA＝8(x2＋y2)＋8， 因为cos 22.5°≤|OP|≤1， 所以≤x2＋y2≤1， 故PA＋PA＋…＋PA的取值范围是[12＋2，16]．