跟踪训练05空间向量与立体几何（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 05 空间向量与立体几何 一．选择题（共15小题） 1．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，若 ，则 A． B． C．2 D． 【解答】解：因为 ，故 与 垂直， 故 ，解得 ． 故选： ． 2．在三棱柱 中，可以作为空间向量一组基底的是 A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【解答】解：如图所示： 对于 ，由于向量 ， ， 是共面向量， ，所以 ， ， 是共 面向量，所以不能作为基底，所以 错误， 对于 ，因为 ， ， 是共面向量，故不能作为基底，所以 错误，对于 ，因为 ， ， 这三个向量不共面，所以能作为一组基底，所以 正确， 对于 ，因为 ， ， 是共面向量，所以不能作为基底，所以 错误， 故选： ． 3．如图，已知四面体 的所有棱长都等于 ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点．则 与 分别等于 A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【解答】解：已知四面体 的所有棱长都等于 ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点． 故： ， 所以 ； ． 故选： ． 4．已知 ， ， ，则 等于 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， ， ， 所以 ， 则 ． 故选： ．5．正四面体 的棱长为 ，若点 是该正四面体外接球球面上的一动点，则 的最大值为 A． B． C． D． 【解答】解：如图，设 、 分别为 、 的中 点，作 平面 ，垂足为 ， 则由正四面体的性质可得，正四面体 的外接球的球心 在 上， 因为正四面体 的棱长为 ，且 为正三角形， 所以 ， ， 设四面体 外接球的半径为 ，则 ， ， 即 ，解得 ． 因 为 ， 所 以 ， 外 接 球 的 球 心 到 弦 的 距 离 ． 根 据 向 量 的 运 算 可 知 ： ， 因为 是四面体 外接球的球面上任意一点，则 即 ， 则 ，则 的最大值为 ． 故选： ． 6．已知 ， ， ，则 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：因为 ， ， 所以 ， 因为 所以 ． 故选： ． 7．空间一点 ，3， 出发的一束光线射到平面 上反射后，经点 ，2， 出去， 则该束光线从 到 所经历的路程是 A．2 B． C． D． 【解答】解：由题意画出图象如图，，2， 关于平面 的对称点为： ，2， 则 故选： ． 8．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A． B． C． D． 【解答】解：对于 ，因为 ，所以选项中的向量共面，故 错误； 对于 ，因为 ，所以选项中的向量共面，故 错误； 对于 ，因为 ，故共面，故 错误； 对于 ，设 ，则 ，此方程组无解，不存在实 数 ， ，使得 共面，所以 不共面，故 正确． 故选： ． 9．已知 是坐标原点，空间向量 ， ， ，若线段的中点为 ，则 A．9 B．8 C．3 D． 【解答】解：由题意 ，1， ， ，3， ， ，4， ，则 ，2， ， 所以 ， 所以 ． 故选： ． 10．已知 ，2， ， ，1， ， ，0， 若 ，则 的值为 A． B．1 C．2 D． 【解答】解： ，2， ， ，1， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故选： ． 11．如图，正五边形 放入某平面直角坐标系后，若顶点 ， ， ， 的坐标分 别是 ， ， ， ，则点 的坐标是 A． B． C． D． 【解答】解：因为正五边形 放入某平面直角坐标系后，顶点 ， ， ， 的坐标分别是 ， ， ， ， 所以点 在 轴， 平行 轴， 所以 与 关于 轴对称， 所以点 的坐标是 ， 故选： ． 12．在空间直角坐标系中，以 ，1， ， ， ， ， ，4， 为顶点的三角 形是等腰三角形，其中 ，则 的值为 A． B．4 C． 或4 D．6或4 【解答】解：如果点 ，1， ， ， ， ， ，4， 为顶点的 是以 为底边的等腰三角形， ， ， ， ， 方程无解． 如果点 ，1， ， ， ， ， ，4， 为顶点的 是以 为底边的等 腰三角形， ， ， ． ， 方程无解． 如果点 ，1， ， ， ， ， ，4， 为顶点的 是以 为底边的等腰三角形， ， ， ．解得 ． 故选： ． 13．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边 形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图 立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体 的棱长都是2（如图）， ， 分别为棱 ， 的中点，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： 由正八面体的性质可得 ， ，则 ，． 故选： ． 14．如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点， 为 的 中点，若 ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解：因为 为 与 的交点， 所以 ， 故 ． 故选： ． 15．如图，在平行六面体 中 ， ， ， 为 的中 点，则用向量 ， ， 可表示向量 为A． B． C． D． 【解答】解：在平行六面体 中， ， ， ， 为 的中点， 故 ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．已知空间内不同的四点 、 、 、 ，空间内不共线的三个向量 、 、 ， 、 ，则下列命题正确的是 A．“ ”是“ 、 、 、 共面”的充分且必要条件 B．“ ”是“ 与 、 共面”的充分且必要条件 C．若 ，则 D．一定存在一组实数 、 ，使得 成立 【解答】解： 选项，若 ，则 、 、 、 四点一定共面， 、 、 、 为空间内不同的四点， 、 、 均为非零向量， 若 、 、 、 共面，则 ，“ ”是“ 、 、 、 共面”的充分且必要条件，对， 选项， 与 不共线， 若 ，则 ，对， 选项，若 ，则 与 、 一定共面， 、 、 为空间内不共线的三个向量， 、 、 均为非零向量， 若 与 、 共面，则 ， “ ”是“ 与 、 共面”的充分且必要条件，对， 选项， 与 不共线， 当 与 、 所在的平面垂直时， 不成立． 故选 ． 17．下列说法，不正确的是 A．在空间直角坐标系中， 是坐标平面 的一个法向量 B．若 是直线 的方向向量，则 也是直线 的方向向量 C．若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底 D．对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ， ， ， 四点共面 【解答】解：对于 ，由 ，得到 是坐标平面 的一个法向量，故 正确； 对于 ，当 时，不合题意，故 错误； 对于 ，由 为空间的一个基底，得 不共面， 假设 共面， 则存在唯一实数对 ，使得 ，即 ，显然不成立， 故 不共面， 故 构成空间的另一个基底，故 正确； 对于 ，若 ， 则当且仅当 时， ， ， ， 四点共面， 而 ， ， 故 ， ， ， 四点不共面，故 错误． 故选： ． 18．已知三个非零向量 ， ， 共面，则 A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ，则 D．若 ，则存在实数 ，使 【解答】解：对于 ， ， ，根据相等向量的定义可得 ，故 正确； 对于 ，若 ， ，因为它们为共面向量，则 ，故 正确； 对于 ，由 得 ，因为 ， ， 是三个非零向量， 所以得 ，无法推出 ，故 错误； 对于 ，因为 ， 为非零向量，由平面向量共线定理可知，若 ，则存在唯一的实 数 ，使 ，故 正确． 故选： ． 19．如图， ， ， 两两垂直，且 ， ， ，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，则A．点 关于直线 的对称点的坐标为 ，2， B．点 关于点 的对称点的坐标为 ，2， C． 夹角的余弦值为 D．平面 的一个法向量的坐标为 ，1， 【解答】解： ， ， 两两垂直，且 ， ， ，以点 为坐标原 点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，如图， 对于 ，设点 关于直线 的对称点为 ，则四边形 为正方形， 所以 坐标为 ，2， ，故 正确； 对于 ，设点 关于点 的对称点为 ，则 中点为 ， 由 ，0， ， ，2， 得 ，4， ，故 错误； 对于 ，由 ，得 ， 所以 夹角的余弦值为 ，故 错误；对于 ，因为 ，设平面 的一个法向量的坐标为 ， ， ， 则 ，取 得平面 的一个法向量的坐标为 ，1， ，故 正确． 故选： ． 20．下列关于空间向量的命题中，正确的有 A．已知向量 、则 、 与任意向量都不能构成空间的一个基底 B．若 ， ， ， 四点共面，则 C．若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 D．在四面体 ， ， ， 中，若 ，则 【解答】解：对于 ：由空间基底的定义得 正确； 对于 ：当 ， ， 三点共线， 不在此直线上时，不存在实数组 使得 ，故 错误； 对于 ：因为 是空间的一个基底，可知 ， ， 两两不共线，所以 ， ， 两两也不共线，所以 ， ， 也可作为一个基底，所以 正确； 对于 ：若 ，即 ， ， 即 ， ， 两式相加可得 ，可得 ，即 ，所以 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题）21．已知空间向量 ，2， ， ，3， ，且 与 相互垂直，则实数 的值为 ． 【解答】解： ，2， ， ，3， ， ，2， ，3， ， ， ， 与 相互垂直， ， 解得： ． 故答案为： ． 22．与 同向的单位向量 是 ， ， ． 【解答】解：与 ，2， 同向的单位向量为： ， ， ． 故答案为： ， ， ． 23．在空间直角坐标系 上，有一个等边三角形 ，其中点 在 轴上．已知该 等边三角形的边长为2，重心为 ，点 ， 在平面 上，若 在 轴上的投影是 则 （用字母 表示）． 【解答】解：如图，设 的中点为 ，连接 ，因为等边三角形 的重心为 ，所以 ， 设 在 轴上的投影是 ，则 ， 又 在 轴上的投影是 ，所以 ， 因为该等边三角形的边长为2，在 中， ， 同理可得 ， 因为 ， 所以 ． 故答案为： ． 24．已知向量 ，则 3 或 ． 【解答】解： ，所以 ，解得 或者 ． 故答案为：3或 ． 25．已知点 ，1， 、 ，0， ，若 ，且 ，求 的坐标 ， ， ， ． 【解答】解： 点 ，1， 、 ，0， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， 或 ，1， ． 故答案为： ， ， 或 ，1， ． 四．解答题（共3小题） 26．如图，在三棱锥 中， ， ，点 ， 分 别是 ， 的中点． （1）求 的值； （2）求异面直线 ， 所成角的余弦值．【解答】解：（1）连接 ，因为 ， ，点 ， 分 别是 ， 的中点， 所以 ， ，又因为 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 ， 所以 ， ， 所以 ； （2）因为 ， 舍异面直线 ， 所成的角为 ， 则 ， ． 27．如图所示，在平行六面体 中， 、 分别在 和 上，且 ， ． （1）证明 、 、 、 四点共面； （2）若 ，求 的值．【解答】解：（1）证明： ， 又 ， 又 ， ， ， 故 、 、 、 四点共面； （2） ， 又 ， ， ， ， ． 28．已知在正三棱锥 中，点 ， 分别是线段 ， 的中点，记 ， ， ． （1）分别用 ， ， 来表示向量 ， ； （2）若 ， ， 是两两垂直的单位向量，求向量 与 的数量积．【解答】解：（1）因为点 ， 分别是线段 ， 的中点， 所以 ， ． （2）因为 ， ， 是两两垂直的单位向量， 所以 ， ， 所以 ， 故向量 与 的数量积为 ．