文档内容
晋中市 2025 年 1 月高一年级期末调研测试试卷
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式化简求值即可.
详解】 ，
【
故选：B
2. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】求出集合 、 ，利用补集的定义可得出集合 .
【详解】因为 ， ，
故 .
故选：C.
3. 已知函数 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得函数 的最小值.
【详解】当 时， ，则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此，函数 的最小值为 .
故选：A.
4. 在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，
血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断.
【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除 A，D，停止
注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．
故选：B．
5. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三
角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为 ，则该勒洛三角形的面积为（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式与扇形面积公式计算即可.
【详解】设等边三角形的边长为 ，
所以 ，可得 ，
因此等边三角形的面积为 ，扇形面积为 ；则对应的弓形面积为 ,
所以该勒洛三角形的面积为 .
故选：D
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. 4
C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算得解.
【详解】依题意， ， ，
联立解得 ，
所以 .
故选：D
7. 已知 ， ，则下列判断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性可判断AC选项；求出 、 的范围，结合不等式的基本性质可判断B选项；利用对数的运算性质结合对数函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为对数函数 在(0,+∞)上为增函数，
则 ，A对；
对于B选项，因为对数函数 在(0,+∞)上为增函数，
则 ， ，
即 ， ，所以， ，B错；
对于C选项， ，即 ，C对；
对于D选项， ，D对.
故选：B.
8. 已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数 的对称性，可得出 ，即可得出实数 的值.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 的图象关于直线 对称，因为函数 有唯一零点，则 ，解得 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断
C选项；利用特殊值法可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为 ，在不等式 的两边同时除以 可得 ，A对；
对于B选项， ，则 ，B错；
对于C选项，因为 ，则 ，则 ，
因为对数函数 为 上的增函数，则 ，C对；
对于D选项，取 ， ， ，则 ，D错.
故选：AC.
10. 已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 的图象为轴对称图形B. 若 在区间 上单调递减，则m的取值范围是
C. 若 的值域为 ，则m的取值范围是
D. 若关于x的方程 有且仅有3个实数解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】设 .对于A：根据二次函数对称性分析判断；对于B：可知 在区间
上单调递增，且 在区间 上恒成立，进而列式求解即可；对于C：可知
的值域包含 ，进而列式求解；对于D：分析可知 与 、 共有3个交点，进而
分析求解.
【详解】设 ，
对于选项A：若 ，可知 的图象为轴对称图形，
所以 的图象为轴对称图形，故A正确；
对于选项B：因为 在区间 上单调递减，且 在定义域 内单调递减，
可知 在区间 上单调递增，且 在区间 上恒成立，
显然 不合题意，则 ，
可得 ，解得 ，
所以m的取值范围是 ，故B错误；
若 的值域为 ，可知 的值域包含 ，若 ， 的值域为 ，符合题意；
若 ，则 ，解得 ，
综上所述：m的取值范围是 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，可得 或 ，
可知 与 、 共有3个交点，
可知 的最值为为 或2，且 ，
则 ，解得 ，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)（ ， ， ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
.
A
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上有且只有2个零点
D. 若 （ ），则
【答案】BCD【解析】
【分析】由函数图象求出 的解析式，再根据特殊点的三角函数值计算可得 A错误，由对称性可判断
B正确，利用三角函数图象性质可得C正确，由周期性可得当 ，则 正
确，即D正确.
【详解】根据图象可知 ，又易知图象过点 ，
即 ，即 ，又 ，可得 ；
由对称性可知函数 的对称轴为 ，即 的图象关于直线 对称,即B正确；
由图可知周期为 ，可得 ；
又 ，所以 ，
结合图象可得 ，解得
因此当 时，符合题意，即 ，所以A错误；
所以 ，令 ，可得 ，
即 ，
又 ，可得 时，则 ，即 在区间 上有且只有2个零点，可得
C正确；若 （ ），则 ；
因此 ，显然当 时， ，即D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象由对称性以及周期范围求得解析式，再由正弦函数性质
判断可得结论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 化简： __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式可化简所求代数式.
【详解】 .
故答案为： .
13. 已知 （ ），则 __________.
【答案】16
【解析】
【分析】换元令 ，可得 ，运算求解即可.
【详解】因为 ，且 ，
令 ，则 ，
可得 ，整理可得 ，解得 或 （舍去），即 ，所以 .
故答案为：16.
14. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设 ，用符号 表示不大于 的最大整数，如
， ，称函数 为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能
看到它的身影，则函数 的零点有__________个.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数新定义得 ，结合方程得 求 范围，然后对 的范围进
行分类讨论，求出 的值，然后解方程g(x)=0即可.
【详解】由题意 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
由 可得 ，解得 或 ，
由 可得 ，解得 ，
所以， 或 ，
当 时， ，此时， ，
由g(x)=0可得 或 （舍去）；
当 时， ，此时， ，
由g(x)=0可得 或 （舍去）；又因为 ，
综上所述，函数 的零点有 个.
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据 ，得出关于 的范围，再结合 的范围得出
的可能取值，结合代数法求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知非空集合 ， .
（1）若 ，求 ， ；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）代入 ，再由交集、并集的运算可得结果；
（2）根据题意可知 ，限定出不等式关系解不等式可得结果.
【小问1详解】
若 ，可得 ，
又 ，
所以 ， .
【小问2详解】
若 是 的必要不充分条件，则 ，所以 ，解得 ，即 ，
所以a的取值范围为 .
16. 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为
标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅
的窗洞口面积与地面面积分别为a ，b .
（1）若这所住宅的地面面积为100 ，求这所住宅的窗洞口面积的范围；
（2）若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x ，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并
说明理由.
【答案】（1）
（2）变好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果；
（2）利用作差法计算比较出大小，可得结论.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
解得 ，
所以这所住宅的窗洞口面积的范围为 .
【小问2详解】
由题意得 ， ，
原来的窗地面积比为 ，现在的窗地面积比为则 .
因为 ， ，所以. ，
所以 ，即 .
所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.
17. 已知函数 是奇函数，且 的图象经过点 .
（1）求实数 、 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集.
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据题意得出 ， ，求出 、 的值，结合题意检验即可；
（2）证明出函数 在 上是增函数，结合奇函数的性质、同角三角函数的基本关系可得出
，求出 的取值范围，即可得出 的取值范围.
【小问1详解】
对任意的 ， ，则 的定义域为 ，
因为 为奇函数，所以 ，①
又 ，②联立①②，得 ，解得 ，
经检验，当 ， 时， 为定义在 上的奇函数，所以 ， .
【小问2详解】
因为 为定义在 上的奇函数，
所以 等价于 .
由（1）知， ，任取 、 且 ，
则 .
由 ，可知 ，则 ， ， ，
所以 ，即 .
所以 在 上是增函数.
所以 等价于 ，
由 ，得上述不等式等价于 ，
即 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，
则 ， ，
所以原不等式的解集为 ， .18. 已知函数 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，求 在区间 上的最值；
（3）在（2）的条件下，若对任意 ，都存在 ，使得 ，求
实数a的取值范围.
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简后，根据正弦型三角函数的性质求单调增区间；
（2）求出平移后函数解析式，再由正弦型函数的值域、最值的求法求解；
（3）由题意转化为 ，分别求不等式两边函数的最大值即可得解.
【小问1详解】
..
令 ， ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ， .
【小问2详解】
根据（1）知， .
令 ，当 时， .
根据正弦函数的性质，当 ，即 时， 取得最小值 ，此时 取得最小值 ；
当 ，即 时， 取得最大值1，此时 取得最大值2.
所以 ， .
【小问3详解】
不等式 等价于 .
令函数 ，根据题意，有 .
由（2）得 ，由绝对值的几何意义可知，
当 时， ，由 ，解得 ，故 ；
当 时， ，由 ，解得 ，无解.
综上，实数a 取值范围为 .
的
19. 如果函数 在其定义域内存在实数 ，使得 （ ）成立，那么称是函数 的“ 阶梯点”.
（1）判断函数 是否有“ 阶梯点”，并说明理由；
（2）证明：函数 有唯一的“ 阶梯点”；
（3）已知 ，设函数 在 上不存在“ 阶梯点”，求实数a的取值范围.
【答案】（1）否，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 是方程 的解，运算求解即可；
（2）可知 是方程 的解，结合零点存在性定理分析证明；
（3）可知方程 在(0,+∞)上无解，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论运算
求解.
【小问1详解】
假设 有“ 阶梯点” ，则 是方程 的解，
而方程 可化为 该方程无实数解
所以函数 无“ 阶梯点”.
【小问2详解】
假设 是 的“ 阶梯点”，
则 是方程 的解，
将该方程化简整理，得 .令函数 ，显然 是R上的增函数，
又 ， ，故存在唯一的 使得g(x )=0成立，
0
即函数 有唯一的“ 阶梯点”.
【小问3详解】
由题可知 的定义域为(0,+∞).
若函数 在(0,+∞)上不存在“ 阶梯点”，则方程 ①在
(0,+∞)上无解，
①式即 .
由对数运算，得 ，
化为整式方程，得 （ ）.
令 ， ，
则 （ ），
整理，得 （ ）.
故题意等价于方程 （ ）在 时无解.
令函数 （ ），其图象的对称轴为直线 .
当 ，即 时，因为 恒成立，
所以 在(1,+∞)上有零点，不满足题意；当 且 ，即 时， 在(1,+∞)上单调递增，
，所以 在(1,+∞)上无零点，满足题意；
当 且 ，即 时， 在(1,+∞)上单调递减，
， ，
所以 在(1,+∞)上有零点，不满足题意；
当 ，即 时， ，在 时 没有零点，满足题意.
综上，实数a的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，
实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的
性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
