跟踪训练04空间直线、平面的垂直（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 04 空间直线、平面的垂直 一．选择题（共15小题） 1．如图正方体 中， ，则下列说法不正确的是 A． 时，平面 平面 B． 时，平面 平面 C． 面积最大时， D． 面积最小时， 【解答】解：以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标 系， 设 ，则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ，， 1 ， ， ， ， ， ， ， ， ，0， ，线段 的中点为 ， ， 设平面 的法向量 ， ， ， 则 ，取 ，则 ， ， ， 对于 ，设平面 的法向量 ， ， ， ，1， ， ，1， ， 则 ，取 ，得 ， ， ， 平面 平面 ， ， ，解得 ，故 正确； 对于 ，设平面 的法向量为 ， ， ， ，0， ， ， ， ， 则 ，取 ，得 ， ， ， 平面 平面 ， ， ，解得 ，故 正确； 对于 ， ，则 ， ， ， ， ， 当 时， 取最大值，则 的面积最大，故 正确；当 时， 取最小值，则 的面积最小，故 错误． 故选： ． 2．如图所示，空间四边形 的各边都相等， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，下列四个结论中正确的个数为 ① 平面 ； ② 平面 ； ③平面 平面 ； ④平面 平面 ． A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：① ， 分别是 ， 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，即①正确； ②由题意知， 和 均为等边三角形， 为 的中点， ， ， ， 、 平面 ， 平面 ，即②正确； ③ 空间四边形 的各边均相等， 棱锥 为正四面体， 点 在底面内的投影为 的中心，设为 ，则 为线段 的靠近点 的三等分点， 若平面 平面 ，则点 在底面内的投影为 的中点，互相矛盾，即③错误； ④由题意知， 和 均为等边三角形， 为 的中点， ， ， ， 、 平面 ，平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ，即④正确． 故选： ． 3 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 ， ， ， ， ，若 为棱 上一点，满足 ，则 A． B． C．1 D．2 【解答】解：如图， 底面 ， ， 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 由 ， ，得 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ， 设 ，则 ， ，2， ， ， ． ，0， ， ， ， ， ．，2， ， 由 ，得 ，即 ． 故选： ． 4．如图，三棱台 中， ，现在以下四项中选择一个，可以证明 的 条 件 有 ： ① ； ② ； ③ ； ④ ． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：如图所示： 设三棱台的三条侧棱交予一点 ， 因为在三棱台 中， ，所以 ， 故 等价于 ，对于条件③：若 ，分别在 ， 中运用余弦定理可得， ， ， 因为 ，且 ，所以 ， 所以 ，故 ，故条件③满足题意； 对于条件①，若 ，则 ， 即 ， 又注意到 ，即 ，且 ， 所以 ， 又 ， ，余弦函数 在 上单调递减， 所以 ，结合以上对条件③的分析，故条件①也满足题意； 对于条件②：不妨设 ， 是两个互相垂直的等边三角形， 且 ， ， 分别是 ， ， 的中点， 因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ， 同时又有 ，满足题意， 此时，取点 为 的中点，连接 ， ，由于 ， 是两个互相垂直的等边三角形， 所以平面 平面 ，且由三线合一可知 ， 又平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 所以 ， ， 由于在等边 中， ， ，故 ， 所以 ，即 ，所以 ，故条件②不满足题意； 对于条件④：分别在 ， 中运用余弦定理可得， ， ， ， 所以 ， 不妨设 ， ， 所以 ， 即 ， 所以 或 ， 换言之，在条件 的情况下， 不一定成立， 所以 不一定成立，故条件④不满足题意， 综上所述，满足题意的条件有：① ，③ ；共有两个． 故选： ． 5．如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， ， ， 为 的中点，若 上存在一点 使得平面 平面 ，则 A． B． C． D．1 【解答】解：取 的中点 ， 的中点 ， 的中点为 ，连接 ， ， ， ， 由 ， ， 可得平面 平面 ， 由平面 平面 ，可得平面 平面 ， 过 作 ，垂足为 ， 底面 是平行四边形，可得 ， 又 ，可得 ， 又 ，可得 平面 ， 平面 ，可得 ， 在 中， ， 为 的中点，可得 ， 则 平面 ， ， 而 ， ， 可得 平面 ， 设 ，则 ， 而 ，则 ， ，所以 ， 故选： ． 6．如图，四边形 ， ， 均为正方形．动点 在线段 上， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则下列选项正确的是 A． B． 平面 C．存在点 ，使得平面 平面 D．存在点 ，使得平面 平面 【解答】解：对于 ，取 的中点 ，连接 ，因为 是 的中点，所以 ， 若 ，则 ，这与 矛盾，故选项 错误； 对于 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 又 ，且 ， ， 平面 ， 则 平面 ，故选项 正确； 对于 ，因为直线 与平面 有交点，所以不存在点 ，使得平面 平面 ，故选项 错误； 对于 ，连接 ，因为四边形 为正方形， 所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ， 又平面 平面 ， ，则 平面 ， 记 ，则 平面 ，且 不在平面 ， 所以不存在点 ，使得平面 平面 ，故选项 错误． 故选： ． 7．如图所示，在直角梯形 中， ， ， 分别是 ， 上的 点， ，且 （如图 ，将四边形 沿 折起，连结、 、 （如图 ．在折起的过程中，下列说法中正确的个数 ① 平面 ； ② 、 、 、 四点可能共面； ③若 ，则平面 平面 ； ④平面 与平面 可能垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：对①，在图②中，连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ， 则 为平行四边形，即 ，所以 平面 ，故①正确； 对②，如果 、 、 、 四点共面，则由 平面 ，可得 ， 又 ，所以 ，这样四边形 为平行四边形，与已知矛盾，故②不正 确； 对③，在梯形 中，由平面几何知识易得 ，又 ， 平面 ， 即有 ， 平面 ，则平面 平面 ，故③正确； 对④，在图②中，延长 至 ，使得 ，连接 ， ，由题意得平面 平面 ， 四点共面． 过 作 于 ，则 平面 ，若平面 平面 ， 则过 作直线与平面 垂直，其垂足在 上，矛盾，故④错误． 故选： ． 8．在四棱锥 中， ， ． ， ， 是 的中点．若平面 平面 ，则下列三个结论：① ；② ；③ 中，正确的是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：取线段 的中点 ，连接 ，因为 ，所以 ， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 ，所以 ， 以 为坐标原点， ， 所在直线分别作为 ， 轴，过点 平行于 的直线为 轴 建立如图所示空间直角坐标系， 因为 ，所以 ，又因为 ， 所以 ， 所以 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， 因为 是 的中点，所以 ，1， ， 则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，，1， ， ①因为 ，所以 ，即 ，故①正确； ②因为 ，所以 ，所以 ，故②正确； ③因为 ，所以 ，所以 ，故③正确． 故选： ． 9．平行四边形 中， ， ，将 绕直线 旋转至与面 重合，在旋转过程中（不包括起始位置和终止位置），有可能正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：在 中， ，不可能，若 ， 则 与 共面， 在旋转过程中不可能共面．故 错误； 在 中， ， ， ， 有可能．故 正确； 在 中， ， ，， ， ，但此时是终止位置， 不正确． 在 中，如图，在旋转过程中， 点 在平面 上的投影的轨迹即为线段 ， ， ， 在旋转过程中 与 的夹角（钝角部分）会越来越大， 选项不可能． 故选： ． 10．如图， 垂直于以 为直径的圆所在平面， 为圆上异于 ， 的任意一点， 垂足为 ，点 是 上一点，则下列判断中不正确的是A． 平面 B． C． D．平面 平面 【解答】解：在 中， 为圆上异于 ， 的任意一点， ， ， ， 平面 ， 故 正确； 在 中， 平面 ， 平面 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， 故 正确； 在 中 若 ， 则 平面 ， 则 ，与 矛盾， 故 与 不垂直， 故 错误； 在 中， 平面 ， 面 ， 平面 平面 ， 故 正确． 故选： ． 11．已知在矩形 中， ， 为 的中点，沿着 将 翻折到 ，使平面 平面 ，则 的长为A． B． C．4 D．6 【解答】解：（1）如图所示，取 的中点 ，连接 ， ， 由题意知， ， ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，即有 ， 在等腰 中， ， ， 在 三 角 形 中 ， 可 得 ， 则 ， 故选： ． 12．已知直线 ， 分别在两个不同的平面 ， 内，则“平面 和平面 不垂直”是 “直线 和直线 不垂直”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：作出正三棱柱 （如图所示）， 当面 为面 、面 为面 、直线 为直线 、直线 为直线 时，平面 和平面 不垂直，但直线 和直线 垂直， 即“平面 和平面 不垂直”不是“直线 和直线 不垂直”的充分条件； 当面 为面 、面 为面 、直线 为直线 、直线 为直线 时， 直线 和直线 不垂直，但平面 和平面 垂直， 即“平面 和平面 不垂直”不是“直线 和直线 不垂直”的必要条件； 综上所述，“平面 和平面 不垂直”不是“直线 和直线 不垂直”的既不充分也不必 要条件． 故选： ． 13．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，且平面 平面 ，则 A． 可能为 B．若 是等边三角形，则 也是等边三角形C．若 是等边三角形，则异面直线 和 所成角的余弦值为 D．若 是直角三角形，则 平面 【解答】解：由题意，底面 是正方形，所以 ， 又 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 故 平面 ． 对 于 ， 若 ， 则 ， 但 ， 所 以 产 生 矛 盾 ， 则 ，故选项 错误； 对于 ，若 是等边三角形，则有 ，所以 不是等边三角形，故选 项 错误； 对于 ，若 是等边三角形，设边长为2，则 ， 因为 ，则 即为异面直线 与 所成的角， 所以 ，故选项 正确； 对于 ，当 是以 为直角的直角三角形时， 平面 ， 当 是以 （或 为直角的直角三角形时， 与平面 不垂直，故选项 错误． 故选： ． 14．如图，在四面体 中， ，截面 是矩形，则下列结论不一定正确 的是 A．平面 平面 B． 平面 C．平面 平面 D． 平面【解答】解：由 ， 平面 ， 平面 ，得 平面 ， 又 平面 ，平面 平面 ， ， 同理， ， ， ， ， ，又 ， 平面 ， 平面 平面 ， 平面 平面 ， 和 选项均正确； 由 ，得 平面 ， 选项正确； 不能得到 或 ， 不能得到 平面 ，故选项 不一定正确． 故选： ． 15．如图，在直四棱柱 中，底面 为矩形， ， ， 分 别为 ， 的中点，则 A． 平面 且 B． 平面 且 与 不垂直 C． 与平面 相交且 D． 与平面 相交且 与 不垂直 【解答】解：延长 、 相交于点 ，连接 并延长， 因为点 、 分别是 ， 的中点，所以 ， 所以 、 、 三点共线，所以 与平面 相交不平行， 与平面 相交不平行，故 、 不正确； 对于 、 ：连接 与 相交于点 ，因为 ， 是 的中点， 所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ， ， 又 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， 故 正确， 不正确， 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如图），则 A．正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体B．直线 与 是异面直线 C．平面 平面 D．平面 平面 【解答】解：对于 ，正方体 各面中心为顶点的凸多面体 为正八面体， 它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形， 该正方形对角线长等于正方体的棱长， 以 各个面的中心为顶点的正方体为图形 是正方体， 正方体 面对角线长等于 棱长的 ， （正三角形中心到对边的距离等于高的 ，故 正确； 对于 ，如图，连接 ， ， ， ， 则 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点， ， ， 直线 与 是平行线，故 错误； 对于 取 中点 ，连接 ， ， ， 设正方体棱长为1，则 和 都是边长为 的等边三角形， ， ， 是二面角 的平面角， ， ， ， 平面 与平面 不垂直，故 错误； 对于 ， ， ， ， ， ， 平面 平面 ，故 正确． 故选： ．17．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中 点，则下列结论正确的有 A． 平面 B． C． 平面 D． 平面 【解答】解：在三棱锥 中， 平面 ，可得 ． 又 ， ，可得 平面 ，故 正确； 由 ， 为 的中点，可得 ，而 平面 ， 平面 ，可 得 ， 则 平面 ，所以 ，故 、 都正确； 若 平面 ，可得 ，而 平面 ，即有 ， 可得在平面 内， 与 重合，显然矛盾，故 错误． 故选： ． 18．如图所示， 为圆 的直径，点 在圆周上（异于点 ， ，直线 垂直于圆 所在的平面，点 为线段 的中点，以下四个命题正确的是 A． 平面 B． 平面 C． 平面 D．平面 平面 【解答】解： 平面 ，故 错误； 是 的中位线， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 正确； 是直径， ， 又 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，故 错误； 又 平面 ， 平面 平面 ，故 正确． 故选： ． 19．在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 为正方形，则下列命题中 正确的 A． 平面 B． 平面 C． 为直线 的方向向量D．直线 的方向向量一定是平面 的法向量 【解答】解：因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为四边形 是正方形，所以 ，又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，故 正确； 因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故 错误； 因为 ，所以 为直线 的方向向量，故 正确； 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为四边形 是正方形，所以 ，又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，所以直线 的方向向量一定是平面 的法向量，故 正确． 故选： ． 20．在空间直角坐标系 中，已知点 ，1， ， ，0， ， ，1， ，则下 列说法正确的是 A．点 关于 平面对称的点的坐标为 ，1， B．若平面 的法向量 ， ， ，则直线 平面 C．若 分别为平面 ， 的法向量，则平面 平面 D．点 到直线 的距离为 【解答】解：在空间直角坐标系 中，点 ，1， 关于 平面对称的点的坐标为，1， ，故 正确； ，0， ， ，1， ， ， 又平面 的法向量 ， ， ， ，则 平面 ，故 错误； ， ， ， 且 分别为平面 ， 的法向量， 平面 平面 ，故 正确； ， 在 上的投影为 ， 则点 到直线 的距离为 ，故 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21． 中， ， ， ， 为 中点，将 沿 折叠， 当平面 平面 时， ， 两点之间的距离为 ． 【解答】解：取 中点 ，连结 ， ， 中， ， ， ， 为 中点， ， ， ， ， 将 沿 折叠，当平面 平面 时， 平面 ， ，， 两点之间的距离 ． 故答案为： ． 22．平面与平面垂直的判定定理符号语言为： ， （答案不唯一） ． 【解答】解：平面与平面垂直的判定定理： ， ． 故答案为： ， （答案不唯一）． 23．如图，已知 垂直于正方形 所在的平面，连接 ， ， ， ， ， 则图中所标的各线段中，一定与 垂直的线段有 3 条；若 ，则 的 值是 ． 【解答】解： 与 为正方形 的两对角线， ，又 垂直于正方形 所在的平面， ， 又 ， 平面 ， ， ， ，一定与 垂直的线段有3条； ， 垂直于正方形 所在的平面， ， ， 平面 ，同理 平面 ， ， ， 若 ，不妨设 ，则 ， ， 同理可得 ，又 ，在 中由余弦定理可得： ． 故答案为：3； ． 24．已知矩形 的边 ， ， 平面 ，若 边上有且只有一点 ，使 ，则 的值为 1. 5 ． 【解答】解： 平面 ， ， 若 边上存在点 ，使 ， 则 面 ， 即 ， 以 为直径的圆和 相交即可． ， 圆的半径为3， 要使线段 和半径为 的圆相切， 则 ， 即 ， 的值是1.5． 故答案为：1.5．25．在长方体 中， ，动点 满足 且在线段 上，当 与 垂直时， 的值为 ． 【解答】解：由题意，以 为坐标原点，以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的 正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示， 则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ， 可得 ，1， ，得 ， ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 由 ，可得 ，即 ，解得 或 ， 所以实数 的值为 ．故答案为： ． 四．解答题（共3小题） 26．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， ， 点 是 的中点， 且交 于点 ． （1）求证： 平面 ； （2）求证： ； （3）求证：平面 平面 ． 【解答】证明：（1）连结 交 于 ，连结 ， 是正方形， 是 的中点． 是 的中点， 是 的中位线． ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2） 是正方形， 底面 ， 底面 ， ， 又 ，且 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ； （3） 底面 ， 底面 ， ，易知 ，又 ，且 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ，又 ， 是 的中点， ， 又 ，且 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ，又 ，且 ， ， 平面 ， 平面 ．又 平面 ， 平面 平面 ． 27．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，三角形 为正三 角形，且侧面 底面 ． ， 分别为线段 ， 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请求出 的值； 若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：连接 交 于 点，连接 ， 因为四边形 是菱形， 所以点 为 的中点． 又因为 为 的中点， 所以 ． 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； （2） 三角形 为正三角形，且侧面 底面 ， 是 的中点， ， 平面 ， 连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 是 的中位线， ，即 平面 ， 延长 交 于 ，则平面 平面 ． 因为 ， 所以 ， ， 又因为 ， 所以 ， 则 ， 故存在点 使得平面 平面 ， ． 28．如图，在直三棱柱 中，平面 平面 ，侧面 是边长为 2的正方形， ， 分别是 与 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求证： ． 【解答】证明：（1）取 中点 ，连接 、 ， 则 ， ， ， ， ， ，四边形 是平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）连接 ， 是正方形， ， 又平面 平面 且交线为 ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， ， 又 直三棱柱 中 平面 ， 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 又 平面 ．